5相似三角形判定定理的证明1.1.相似三角形的判定方法一相似三角形的判定方法一: :(1)_(1)_角分角分别_的两个三角形相似的两个三角形相似. .(2)(2)应用格式用格式:A_D,B_E,:A_D,B_E,ABC_DEF.ABC_DEF.两两相等相等= = =2.2.相似三角形的判定方法二相似三角形的判定方法二: :(1)_(1)_成比例且成比例且夹角角_的两个三角形相似的两个三角形相似. .(2)(2)应用格式用格式:_,A_D,:_,A_D,ABC_DEF.ABC_DEF.两两边相等相等= =3.3.三角形相似的判定方法三三角形相似的判定方法三: :(1)(1)三三边成比例的两个三角形相似成比例的两个三角形相似. .(2)(2)应用格式用格式:_,:_,ABC_DEF.ABC_DEF.【思维诊断思维诊断】( (打打“”“”或或“”) ”) 1.1.等腰直角三角形都相似等腰直角三角形都相似. .( )( )2.2.有一有一组角角对应相等的两个等腰三角形相似相等的两个等腰三角形相似. .( )( )3.3.有一有一组角角对应相等的两个直角三角形相似相等的两个直角三角形相似. .( )( )4.4.直角三角形与直角三角形与该三角形中被斜三角形中被斜边上的高分成的两个上的高分成的两个较小的直小的直角三角形彼此相似角三角形彼此相似. .( )( )知识点一知识点一 相似三角形的判定相似三角形的判定【示范示范题1 1】如如图, ,在在ABCABC和和ADEADE中中,BAD=,BAD=CAE,ABC=ADE.CAE,ABC=ADE.(1)(1)写出写出图中两中两对相似三角形相似三角形( (不得添加不得添加辅助助线).).(2)(2)请分分别说明明(1)(1)中两中两对三角形相似的理由三角形相似的理由. .【思路点拨思路点拨】BAD=CAEBAC=DAEABCADEBAD=CAEBAC=DAEABCADE对对应边的比相等应边的比相等ABDACE.ABDACE.【自主解答自主解答】(1)ABCADE,ABDACE.(1)ABCADE,ABDACE.(2)(2)证证ABCADE.BAD=CAE,ABCADE.BAD=CAE,BAD+DAC=CAE+DAC,BAD+DAC=CAE+DAC,即即BAC=DAE.BAC=DAE.又又ABC=ADE,ABC=ADE,ABCADE.ABCADE.证证ABDACE.ABDACE.ABCADE, ABCADE, 又又BAD=CAE,ABDACE.BAD=CAE,ABDACE.【想一想想一想】此此题中如果已知中如果已知ABDACE,ABDACE,如何如何证明明ABCADE.ABCADE.提示提示: :ABDACE,ABDACE,BAD=CAE,BAD=CAE,BAD+DAC=CAE+DAC,BAD+DAC=CAE+DAC,即即BAC=DAE.BAC=DAE.又又 又又BAC=DAE,BAC=DAE,ABCADE.ABCADE.【微点拨微点拨】证明三角形相似时证明三角形相似时, ,需要两个条件需要两个条件, ,如果题目中出现公共角或对如果题目中出现公共角或对顶角时顶角时, ,需要再证明另一角相等需要再证明另一角相等, ,或者证明夹这个角的两边成比或者证明夹这个角的两边成比例例. .【方法一点通方法一点通】相似三角形的判定方法的选择相似三角形的判定方法的选择1.1.三边成比例三边成比例: :当给出的边比较多或者有边的比例关系时当给出的边比较多或者有边的比例关系时, ,选用选用三边成比例判定三边成比例判定. .2.2.两组角相等两组角相等: :当出现平行线、对顶角、公共角或者给出几个当出现平行线、对顶角、公共角或者给出几个角的大小时角的大小时, ,选用两组角对应相等判定选用两组角对应相等判定. .3.3.两组边对应成比例且夹角相等两组边对应成比例且夹角相等: :当已知条件中只有一组角相当已知条件中只有一组角相等时等时, ,通过证明夹角的两边成比例判定通过证明夹角的两边成比例判定. .知识点二知识点二 相似三角形判定的相似三角形判定的综合合应用用【示范示范题2 2】如如图,AB=3AC,BD=3AE,AB=3AC,BD=3AE,又又BDAC,BDAC,点点B,A,EB,A,E在同一条在同一条直直线上上. .(1)(1)求求证:ABDCAE.(2):ABDCAE.(2)如果如果AC=BD,AD=2 BD,AC=BD,AD=2 BD,设BD=a,BD=a,求求BCBC的的长. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)证等比证等比证等角证等角得结论得结论(2)(2)等量代换等量代换求出求出DD求出求出EE求出求出BCBC【自主解答自主解答】(1)AB=3AC,BD=3AE, (1)AB=3AC,BD=3AE, BDAC,EAC=DBA,ABDCAE.BDAC,EAC=DBA,ABDCAE.(2)(2)连接连接BC,AB=3AC=3BD=3a,BD=3AE,AE= BD= a,BC,AB=3AC=3BD=3a,BD=3AE,AE= BD= a,AD=2 BD=2 a,AD=2 BD=2 a,在在ABDABD中中,AB,AB2 2=(3a)=(3a)2 2=9a=9a2 2,AD,AD2 2+BD+BD2 2=(2 a)=(2 a)2 2+a+a2 2=9a=9a2 2, ,ADAD2 2+BD+BD2 2=AB=AB2 2,D=90,D=90, ,由由(1)(1)知知ABDCAE,E=D=90ABDCAE,E=D=90, ,在在RtAECRtAEC中中,EC,EC2 2=AC=AC2 2-AE-AE2 2=a=a2 2- - 在在RtBECRtBEC中中, , 【想一想想一想】在示范在示范题2(2)2(2)的条件下的条件下, ,连接接CD,CD,此此时四四边形形ABDCABDC是什么特殊的是什么特殊的四四边形形? ?提示提示: :平行四边形平行四边形. .ACBD,AC=BD,ACBD,AC=BD,四边形四边形ABDCABDC是平行四边形是平行四边形. .【备选例例题】已知四已知四边形形ABCDABCD、四、四边形形DCFEDCFE、四、四边形形EFHGEFHG都是都是边长为1 1的正方形的正方形, ,则1+2+31+2+3是多少度是多少度? ?【解析解析】由题意知由题意知AC= ,CF=1,CH=2,AC= ,CF=1,CH=2,所以所以 又又ACF=HCA,ACF=HCA,所以所以ACFHCA,ACFHCA,所以所以2=CAH,2=CAH,又因为又因为1=3+CAH,1=3+CAH,所以所以1+2+3=1+CAH+1-CAH=21=901+2+3=1+CAH+1-CAH=21=90. .【方法一点通方法一点通】相似三角形判定的综合应用相似三角形判定的综合应用1.1.在证明三角形相似时在证明三角形相似时, ,经常要用到两种判定方法判定三角形经常要用到两种判定方法判定三角形相似相似, ,其中用一种判定方法证明三角形相似其中用一种判定方法证明三角形相似, ,是为另一种判定方是为另一种判定方法证明相似三角形作准备的法证明相似三角形作准备的. .2.2.用相似三角形的判定方法证明三角形相似时要注意几种方法用相似三角形的判定方法证明三角形相似时要注意几种方法综合应用综合应用. .同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全