第6章电容、电感及线性动态电路第第6 6章章 电容、电感及线性动态电路电容、电感及线性动态电路 6.1 电容元件电容元件6.2 电感元件电感元件7.3 线性动态电路的分析线性动态电路的分析小结小结第6章电容、电感及线性动态电路第6章 电容、电感及线性动态电路 在电路模型中往往不可防止地要包含电容元件和电感元件。这些元件要用微分的u i关系来表征，因此有时称为动态元件dynamic element。 含有动态元件的电路称为动态电路。 动态电路在任一时辰的呼应response，由鼓励产生的电流和电压称为呼应与鼓励excitation，在电路中产生电压和电流的原因称为鼓励的全部过去历史有关，这主要是由动态元件的性能所决议的 。 本章首先引见动态元件的电压电流关系，动态元件的储能性质，最后重点分析包含一个动态元件的一阶线性动态电路 。 第6章电容、电感及线性动态电路6.1 电容元件 把两片金属极板用介质隔开就可以构成一个简单的电容器capacitor。由于介质是不导电的，在外电源的作用下，极板上便能分别聚集等量的异性电荷。 电容器是一种能聚集电荷的部件。电荷的聚集过程也就是电场的建立过程，在这过程中外力所作的功应等于电容器中所贮藏的能量，因此也可以说电容器是一种可以储存电能的部件。电容器的符号以下图所示 。 对于一定的电容器，极板上所聚集的电荷与外加的电压成正比。假设比例系数是一常数，这种电容元件就是线性的，其比例系数就是电容器的电容量capacitance，简称电容，用符号C表示，即 ： 电路中运用最多的是平行板电容器，当极板面积为S (m2 )，极板间的间隔为dm，极板间介质的介电常数F/m时，其电容为： 一个实践的电容器，除了标明它的电容量外，还标明它的额定任务电压。运用电容器时不应超越它的额定任务电压。 第6章电容、电感及线性动态电路6.1.1电容电压与电流的关系设电容元件两端电压与电流为关联参考方向，如上图所示。当电容两端电压有du变化时，那么电容器上的电荷量也必有相应的dq变化，即：dq=Cdu所以流过电容电路的电流： 线性电容元件的电流与电压的变化率成正比，电容电压变化越快，即越大，电流就越大。 上式还阐明了电容的一个重要性质：假设在任何时辰，经过电容的电流只能为有限值，那么，就必需为有限值，这就意味着电容两端的电压不能够跃变，而只能是延续变化的。电容电压不能跃变是分析动态电路时一个很有用的概念。 对上式积分，可得电容的电压u与i的函数关系，即：假设只思索对某一恣意选定的初始时辰t以后电容的情况，上式可写成：第6章电容、电感及线性动态电路【例】 知加在F电容器上的电压为一三角形波，如图(a)所示，求电容电流。 解 ：知电容两端电压u(t)，求电流i(t)，可用下式。 由于三角波对称，周期为ms，只需分析半个周期。 当0t0.25ms时，u105t当0.25t0.5ms时，u105t+200故得电流随时间变化的曲线如图中(b)所示，可以看出，电流是一个矩形波。 第6章电容、电感及线性动态电路6.1.2 电容元件的储能 普通来说，电压、电流都是随时间变化的，那么，功率也是随时间变化的。每一瞬间的功率，称为瞬时功率。以符号p表示，那么：p=ui 把同一瞬时的电压和电流相乘，可逐点绘出功率随时间变化的曲线，称为功率波形图。从功率波形图可以看出，功率有时为正，有时为负。阐明电容有时吸收功率，有时却又放出功率。 电容的能量总是正值，但有时增长，有时减少。即在一段时间，电容吸收了能量，在另一段时间，却又把它释放出来。因此，电容是一种能储存能量的元件，不是耗能元件。 电容储存的能量为： 例如t = -时，电容器上无电荷贮藏，即q(-)=0，那么u(-)=0，那么，电容器上t时辰的储能： 第6章电容、电感及线性动态电路【例】定值电流mA从t=0时开场对电容充电，C=1000F。10s后电容的储能是多少？100s后储能又是多少？设电容初始电压为零。 解：知i=4mAu(0)=0V，当t=10s时当t=100s时或 ： 作业：P112 1，2，3 第6章电容、电感及线性动态电路6.2电感元件将一导线绕成螺旋状或将导线绕在铁心或磁心上就构成常用的电感器或电感线圈。 当电感线圈中有电流经过时，线圈周围就建立了磁场，即有磁感线穿过线圈，经过空间，构成封锁的线。磁感线的方向与电流的方向有关，由右手螺旋法那么确定，如下图。 磁场也储存能量，因此电感线圈是一种可以储存磁能的部件。 当线圈中间和周围没有铁磁物质时，经过线圈的电流变化，穿过线圈的磁通也将发生变化，且磁通的变化与电流i的变化成正比关系。=N=Li或长直螺旋管的电感量为 : 实践的电感线圈可用一个理想电感元件作为它的模型，如以下图所示。 第6章电容、电感及线性动态电路6.2.1 电感电压与电流的关系 当经过电感的电流发生变化时，磁链也相应地发生变化，根据电磁感应定律，电感两端出现感应电压，当感应电压的参考方向与电流参考方向一致时，感应电压等于磁链的变化率，即 :以线性电感-i关系式代入得: 上式阐明：在某一时辰电感电压取决于该时辰电流的变化率，而与该时辰的电流过去的历史无关。 上式还阐明电感的一个重要性质：假设电感的电压只能为有限值，那么电感的电流是不能突变的，这和电容电压不能跃变的道理是类似的，也是分析动态电路时一个很有用的概念。 也可以把电感的电流i表示为电压u的函数，可得： 在任选初始时辰t0以后，上式可表示为： 上式阐明。在某一时辰t的电感电流值取决于其初始值i(t0)以及在t0，t区间一切的电压值。 下面经过例题来阐明。 第6章电容、电感及线性动态电路(2)当0t1s时，i=5tA 解： uab为电阻的电压，应与i成正比，据此可绘出uab的波形图。ubc的为电感电压，应与i对t的导数成正比，也就是与i t曲线的斜率成正比，据此可绘出ubc的的波形图。各波形图如下图。 【例】电路如图(a)所示，电流源的电流波形如图(b)所示。(1)、绘出uab与ubc的波形图。(2)、写出uab与ubc的表示式。当1t3s时，i=-5t+10A当3t4s时，i=5t-20 A 第6章电容、电感及线性动态电路6.2.2电感的储能电感是储存磁能的元件，储能公式的推导与电容储能公式一样。 电感的功率为：因此，电感元件上储存的能量为 ：对于线性电感 ：假设t=-时，电感上电流为零，那么上式可写为 ： 可见，电感在某一时辰的储能只与该时辰的电流值有关，电流添加时，吸收能量，电流下降时，释放能量，电感元件并不耗费能量，是一个储能元件。 第6章电容、电感及线性动态电路【例】有一=3H的理想电感元件，知流过它的电流是梯形波，如下图。求电压的波形，分析能量储放情况。 解：此电流的周期为16s。在t=2、6、10、14s各点上不延续。由于对称，可以只分析前半个周期的三段oa、ab、bc 当0t2s时i=2t当2t6s时i=4当6t8s时 i=4-2(t-6)=16-2t 由此可见，电压是一矩形波。 第6章电容、电感及线性动态电路6.3 线性动态电路的分析 不论是电阻性电路还是动态电路，各支路电流和各支路电压都受基尔霍夫定律的约束，只是在动态电路中，来自元件性质的约束，除了电阻元件的欧姆定律，还有电容、电感的电压电流关系，需用微分或积分的方式来表示，因此，线性动态电路不能用线性代数方程，而要用线性微分方程来描画。 在实践任务中，经常遇到只包含一个动态元件的线性动态电路，这种动态电路是用线性常系数一阶微分方程来描画的，故称为一阶动态电路。 以电容元件为例，这类电路可以用上图(式(a)来概括。图中所示的方框部分只由电阻和电源组成，可以用戴维南等效电路替代，因此，这类动态电路的分析问题可归结为图 (b)所示电路的分析问题。 第6章电容、电感及线性动态电路6.3.1 稳态与暂态 在自然界中，事物的运动规律通常是：在特定条件下处于一种稳定形状，一旦条件改动，就要过渡到另一种新的稳定形状。 事物从一种稳态进到另一种新的稳定形状往往需求一定的时间一个过程的，这段时间或这个过程称为过渡过程或暂态过程。 引起过渡过程的缘由有二：一是换路如：电路的接通、断开，电路接线的改动或是电路参数、电源的忽然变化等都称为“换路；二是具有储能元件，即动态元件。在电子技术中常利用RC电路的过渡过程，即暂态过程来产生所需波形或产生延时作成电子式时间继电器等。电路在暂态过程中也会出现过电压或过电流景象，有时会损坏电气设备，呵斥严重事故。因此，我们必需认识和掌握过渡过程这一物理景象的规律，以便在工程实践上既能充分地利用它，又能设法防止它的危害。第6章电容、电感及线性动态电路6.3.2 换路定那么及初始值确实定 设t=0为换路瞬间，以t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。0-和0+在数值上都等于0，但是前者是指从负值趋于零，后者是从正值趋于零。 从t=0-到t=0+瞬间，由电容元件，电感元件的性质可知，电容元件上的电压不能跃变，电感元件中的电流不能跃变，这就是换路定那么。用公式表示，那么为： 留意：换路定那么只能确定换路瞬时t=0+时的不能跃变的uc和iL的初始值，而ic和uL以及电路中其它元件的电压、电流初始值是可以跃变的能否跃变，由详细电路构造而定。 由换路定那么确定了uc (0+)或iL(0+)初始值后，电路中其它元件的电压、电流的初始值可按以下原那么计算确定： 1换路瞬间，电容元件当作恒压源。假设uc(0-)=0，那么uc (0+)=0，电容元件在换路瞬间相当于短路。 2换路瞬间，电感元件当作恒流源。假设iL (0-)=0。那么iL (0+)=0，电感元件在换路瞬间相当于开路。 3运用KCL、KVL及直流电路中的分析方法，可计算电路在换路瞬间元件的电压、电流的初始值。 第6章电容、电感及线性动态电路【例】 确定以下图所示电路在换路后开封锁合各电流和电压的初始值。设开关在闭合前换路前电容元件和电感元件均未储存能量。 解：1求t=0-时电容电压uc(0-)和电感电流iL(0-)。由知条件可知：uc(0-)=0iL(0-)=02作出t=0+时的等效电路。由电路可知：uc(0+)=uc(0-)=0iL(0+)=iL(0-)=03根据t=0+的等效电路，运用直流电路中的分析方法，即可求出各电压、电流的初始值为： iL (0+)=0iC(0+)= i1(0+)=Us/R1uc (0+)=0uR1 (0+)= UsuR2 (0+)=0 uL (0+)= uR1 (0+)= Us 第6章电容、电感及线性动态电路 【例例】如如图图a所所示示电电路路中中,知知US=18V,R1=1, R2=2, R3=3, L=0.5H, C=4.7F, 开开关关S在在t=0时时合合上上,设设S合合上上前前电电路路已已进进入入稳稳态态。试试求求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、 uC(0+)。 解：第一步,作t=0等效电路如图b所示,这时电感相当于短路,电容相当于开路。第二步,根据t=0等效电路,计算换路前的电感电流和电容电压:根据换路定律,可得： 第三步,作t=0+等效电路如图c所示,这时电感L相当于一个12A的电流源,电容C相当于一个12V的电压源。第6章电容、电感及线性动态电路第四步,根据t=0+等效电路,计算其它的相关初始值:第6章电容、电感及线性动态电路【例】如图a所示电路在t=0时换路,即开关S由位置1合到位置2。设换路前电路曾经稳定,求换路后的初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。 解(1作t=0等效电路如图b所示。那么有：2作t=0+等效电路如图c所示。由此可得： 第6章电容、电感及线性动态电路【例】如图a所示电路,t=0时辰开关S闭合,换路前电路无储能。试求开封锁合后各电压、电流的初始值。 解 1根据题中所给定条件,换路前电路无储能,故得出： 2作t=0+等效电路如图b所示,这时电容相当于短路,电感相当于开路。 那么有：作业：作业：P113 6P113 6、7 7、8 8第6章电容、电感及线性动态电路6.3.3 RC串联电路的零输入呼应 以下图(a)为串联电路，换路前，开关在“位置，电路已处于稳态，电容器两端已被充电到uc =E。在t=0瞬间进展换路，即将开关由“切换到“位置上。根据换路定那么，换路瞬间电容两端电压uc不能跃变， 因此有： 在t0时，电路中并无电源作用，这种没有外施鼓励，仅有初始储能的电路称为零输入电路。由储能元件的初始储能的作用在电路中产生的呼应称为零输入呼应。 换路后，根据基尔霍夫电压定律，可得： icR+uc= t0 式中： 代入上式，得： 上式是一个一阶线性常系数齐次微分方程，它的通解为： 其中=RC称为时间常数 第6章电容、电感及线性动态电路于是零输入电路的微分方程的解为： 此解是输入鼓励为零时所得，即为零输入呼应，它阐明电容器在放电时电压uc随时间变化的规律。 电阻电压和放电电流随时间变化的规律为： uc、ic、uR同是RC一阶电路的零输入呼应，它们都是随时间按指数规律衰减的，如上图 (b)所示。电压、电流衰减的快慢，取决于时间常数的大小。 RC电路中的时间常数正比于R和C的乘积。适当调理RC电路中的参数R或C，就可以控制RC放电过程的快慢。右图为具有不同时间常数时uc衰减曲线。或： 第6章电容、电感及线性动态电路【例】 在以下图中，一个已充电的电容器经电阻R放电，知C=100F，R=5K，电容的初始储能为5103J。求：1零输入呼应uc和ic；2电容电压衰减到3.68V时所需时间；3欲使在t=2s时电容器电压减到7.5V，放电电阻R应为多大？ 解： (1)由知初始储能求出电容器的初始电压uc(0+)， 那么： 零输入呼应：2由于电容电压从初始值10V下降到3.68V，即衰减到初始值的36.8%，由前面分析可知，正好经过了一个时间常数，那么t=0.5s3由 得：第6章电容、电感及线性动态电路6.3.4直流鼓励下RC串联电路的零形状呼应以下图所示RC充电电路，开关S闭合前，如电容上电压为零，我们称储能元件没有初始储能的电路为零形状电路。开关S闭合后，电容开场充电，在充电过程中电压uc和电流i的变化显然仅仅是由外施鼓励引起的，这种仅由外施鼓励引起的呼应称为零形状呼应。开关S闭合后，由KVL可得：或 ：上式是一个一阶常系数线性非齐次微分方程。 RC电路零形状uc呼应的全解：RC零形状电流呼应为：RC零形状电阻上的电压为：RC零形状电路中，uc、i、uR的变化曲线如右图所示。第6章电容、电感及线性动态电路【例】在以下图电路中，知s=12V，1=R2=10K，=1000pF，开关S闭合前电路处于零形状。t=0时，开封锁合，求开封锁合后的uc、ic、iR及i。解：运用戴维南定理得t0时的电路就电容支路两端看进去的部分进展化简，得如图b所示。 2电阻R1支路与C并联，R1两端电压的呼应，就是uc电压的呼应，因此iR的呼应可按欧姆定律求得，为：(3)由KCL，所以：作业：P114：10，11，12第6章电容、电感及线性动态电路6.3.5 RL串联电路的动态分析 RL电路中由于储能元件L的存在，因此在换路后，电路要有一个暂态过程才干进入新的稳定形状。根据换路定那么，线圈中的电流在换路瞬间是不能突变的。RL电路的暂态过程与RC电路的暂态过程的分析方法是一样的。 1.RL串联电路的零输入呼应 右图为RL串联电路，S闭合前，电路已处于稳态，电感中的电流为： 电感中储存的磁场能为： t=0瞬间开关S闭合，将RL支路短接。由于电感电流不能跃变，这一电流在t=0瞬间仍在右边RL回路中继续流动，以后逐渐下降到零。因此S闭合后电路的呼应为零输入呼应。 换路后，由KVL列出电路方程为：uR+uL=0或： 第6章电容、电感及线性动态电路 上式是一个一阶常系数线性齐次微分方程。其解法与RC串联电路零输入呼应一样。iL的零输入呼应为： 其中：为电路时间常数 电阻R两端电压的零输入呼应为： 电感电压uL为： 负号表示电感线圈两端电压的实践极性与参考方向相反。 iL、uR、uL同是RL电路的零输入呼应，它们都按指数规律衰减，如上图所示，电压、电流衰减的快慢，同样是取决于时间常数的大小。 第6章电容、电感及线性动态电路【例】如图a所示为一丈量电路,知L=0.4H,R=1,US=12V,电压表的内阻RV=10k,量程为50V。开关S原来闭合,电路已处于稳态。在t=0时,将开关翻开,试求:1电流i(t)和电压表两端的电压uV(t);2t=0时S刚翻开电压表两端的电压。 解解：1 1t0t0电电路路如如图图b b所所示示, ,为一为一RLRL电路。电路的时间常数为：电路。电路的时间常数为： 电感中电流的初始值为： 电感电流的表达式为： 电压表两端的电压为：第6章电容、电感及线性动态电路2RL串联电路的零形状呼应 在以下图的电路中，开关S闭合前电路中电流为零。开封锁合后，由KVL得： uR+ uL=U， 所以得： 上式与RC零形状呼应电路类似，因此可用一样的方法求出此微分方程的解，即： 式中=L/RuR的呼应为：u的呼应为： 呼应曲线如上图所示，由曲线可见，iL的按指数规律增长，经过35时间，暂态过程终了，iL到达稳态值U/R，而此时电感线圈两端电压已趋近为零在直流电路中，线圈视为短路，那么uR()=U。 第6章电容、电感及线性动态电路 【例】如下图电路，知U=18V，R=1500，L=15H。求：1时间常数；2uL和iL的表达式；3经过10ms后的uL和iL的数值。 解1时间常数=L/R=15/1500=10-2s=10ms2 (3)当t=10ms，即t=时作业： P114 13、14第6章电容、电感及线性动态电路6.3.6 一阶动态电路的全呼应 在一阶动态电路中，当储能元件为非零初始形状换路瞬间已具有初始储能，且有外施鼓励时，两者共同作用下，在电路中产生的呼应，称为一阶动态电路的全呼应。 下面以在直流鼓励下非零形状的RC电路为例，阐明全呼应的分析方法，其电路如以下图所示。开关S动作前，在“1位置，且处于稳态，即uc(0-)=E0。t=0瞬间，S由“1切换到“2位置，此时根据基尔霍夫电压定律，可写出： 非零形状uc的全呼应为：式中=C，为换路后的时间常数。 由上式可见，RC一阶电路的全呼应由两部分叠加而成，即稳态分量uc()和按指数规律衰减的暂态分量uc(0+) - uc()两部分组成。 或 由上式可见，全呼应又是零输入呼应和零形状呼应叠加的结果，这表达了线性电路的叠加性。 第6章电容、电感及线性动态电路上图电路中uc的呼应可分为三种情况： 1E0=E，uc(t)=E，阐明电路无暂态过程，由于uc的初始值等于uc的稳态值，相当于没有换路。 2E0E，即uc的初始值小于稳态值。在暂态过程中，电容继续充电，uc将按指数规律增长到稳态值，见右图所示。 3E0E，即uc初始值大于稳态值。电容器在换路后将处于放电形状，uc将按指数规律衰减到稳态值，见右图所示。 第6章电容、电感及线性动态电路6.3.7 三要素法 由前面分析可知，一阶动态电路的过渡过程通常是：电路中各处的电压、电流都是按指数规律变化的，它们都是从初始值开场，逐渐增长或是逐渐衰减到达稳态值的，并且同一电路各支路电流和电压的时间常数都是一样的。由全呼应式也可以发现，只需知道了电容电压的稳态值uc()，初始值uc(0+)及RC电路的时间常数，就可以直接写出电容电压过渡过程的表达式。 设f(t)代表电路中恣意支路的电压或电流；f()表示该支路电压或电流的稳态值；f (0+)表示换路后该支路的电压或电流的初始值，那么有： 这就是计算电路中恣意变量全呼应的普通公式。因此，在分析电路时，只需抓住f (0+)，f()和这三个要素，就能画出波形图，并能立刻写出相应的解析表达式。 留意： =RC或=L/R。其中R应了解为从动态元件两端看进去的戴维南等效电路中的等效电阻。 第6章电容、电感及线性动态电路 三要素的计算三要素的计算 (1)初始值f(0+)。第一步作t=0等效电路,确定独立初始值;第二步作t=0+等效电路,计算相关初始值。(2)稳态值f()。可经过作换路后t=稳态等效电路来求取。作t=电路时,电容相当于开路;电感相当于短路。(3)时间常数。RC电路=RC,RL电路=L/R。其中R是换路后从动态元件两端看进去的戴维南等效电阻。需求指出的是,三要素法仅适用于一阶线性电路,对于二阶或高阶电路是不适用的。第6章电容、电感及线性动态电路【例】用三要素法求以下图中当S闭合后的u3，并画出其变化曲线。设电路原先曾经处于稳定。知U=12V，R1=R3=5，R2=10K，C=100PF。 解：1求u3(0+)由KVL：而 所以： 2 3 故 作业： P15、16、17第6章电容、电感及线性动态电路 本章小结 1电容元件上电压与电流的关系是 ，电流ic与电压的变化率成正比， 所以电容元件是动态元件。储存在电场中的能量为 。 2电感元件上电压与电流的关系是 ，电压uL与电流的变化率成正比， 故电感元件也是动态元件。储存在磁场中的能量为 。 3根据换路定那么uc (0+)= uc (0-) ；iL (0+)= iL (0-)；可以确定换路瞬间储 能元件的初始值。4RC或RL一阶电路的分析。经过列微分方程逐渐计算得出结果的分析方法， 称为经典法，应该深化了解。但在实践运算中，可利用三要素法。此法非 常方便，应该掌握。 其中：稳态值f()、初始值f(0+)与时间常数称为一阶电路的三要素。