主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第二讲1第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究的对象 研究的方法 研究的桥梁函数与极限2 第一章 二、复合函数二、复合函数 三、初等函数三、初等函数 一、基本初等函数一、基本初等函数第二节初等函数3象工厂里的机器是由若干个零件组合而成那样，初等函数也是由几个基本初等函数：幂函数、 指数函数、 对数函数、三角函数、反三角函数、 （常数）所组成。我们将在复习基本初等函数的基础上，给出复合函数和初等函数的概念。 它们是微积分中要研究的主要函数。4一、基本初等函数一、基本初等函数1、幂函数为常数，它可以取使函数有意义的任意实数，此函数的定义域要由来确定。例如：其图形P18无论为何值， 幂函数在内总是有定义。51.1.幂函数幂函数1、图形都通过点1，1）。2、时，图形过原点， 且在内单调增加。3、时，图形在内单调减少。图像特点：图像特点：6幂函数的图形和性质幂函数的图形和性质1、图形都通过点1，1）。2、时，图形过原点，且在内单调增加。3、时，图形在内单调减少。图像特点及性质：图像特点及性质：7例例1：求函数：求函数的定义域。解：解：有82、指数函数、指数函数此类函数的特点是：底数均为常数， 指数是变量定义定义 称为指数函数，用描点法在同一坐标系中引例引例三个函数的图形分别为:它的定义域是整个实数9指数函数指数函数（3）曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐下降。但与 x 轴不相交.(4)与的图形对称于 y 轴.（1图形在 x 轴的上方（2图形均过点性质：性质：10指数函数指数函数是常用的指数函数.11特别有以特别有以e e 为底的指数函数：为底的指数函数：e 为无理数。12指数函数的运算性质指数函数的运算性质:例例5: 比较下列数值的大小比较下列数值的大小解解:解解:13则有下列实数指数幂的运算法则：则有下列实数指数幂的运算法则：设实数指数幂实数指数幂 可推断：可推断：143、 对数函数的定义对数函数的定义的反函数记为称为对数函数,指数函数与对数函数互为反函数。15对数函数的图像和性质对数函数的图像和性质(1)(1)一般对数函数的图像一般对数函数的图像16(2) (2) 对数函数的性质对数函数的性质2、图形在 y 轴的右方1、图形均过点(4)与的图形对称于 x 轴.不与 y 轴相交。曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐下降。3、17特别：自然对数函数特别：自然对数函数的反函数记为称为自然对数函数,互为反函数。与18(3) 对数函数的运算性质：对数函数的运算性质：以 e 为底的对数是常用的对数，称为自然对数，记为19例例2：验证函数是单调增加的。证：证：且是单调增加的。20则此函数为奇函数的奇偶性解解例例3 判断函数判断函数21主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第二讲224、三角函数、三角函数在直角三角形中：正弦余弦正切余切正割余割23(1)角的概念的推广角的概念的推广在平面内, 角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。始边终边顶点射线在旋转的初始位置OA，射线旋转的终止位置OB ，射线的端点O称为角 的顶点。称为角 的终边。称为角 的始边；例如：观察自行车车轮上某辐条角的绕轴旋转，可以按逆时针方向旋转，旋转的角度范围可以转 600，还可以静止不作任何旋转。也可以按顺时针方向旋转，1) 正角、正角、负角和零角角和零角24角也可以转过当射线没有旋转时， 认为它形成一个角为零角。逆时针和顺时针方向的两种旋转， 是具有相反意义1周，2周等；按逆时针方向旋转而成的角 为正角；按顺时针方向旋转而成的角 为负角；的量。习惯上规定：习惯上规定：25（2） 任意三角形任意三角形角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。当射线绕着它的端点旋转一周以上，3600 的角。就形成大于261) 象限角象限角则该角不属于第几-300角为第四象限的角。则把角为了方便我们在直角坐标系中讨论角。若角的终边在第几象限内，始边与 x 轴的正半轴重合。就称该角为第几象限内若角的终边在坐标轴上，的顶点与坐标原点重合；的角；象限的角。2400角为第三象限的角。900角不是属于任何象限的角。272) 弧度制弧度制角度制：角度制：1弧度的角，简记为1 ，读作1弧度。把等于半径长的圆弧所对的圆心角称为一般地，记为在半径为 r 的圆中，心角 的弧度数的绝对值是：零角的弧度数是0。正角的弧度数是一个正数，把一个周角的 规定为1度的角，这种以度为单位度量角的制度称为角度制。弧度制：弧度制：用弧度做单位度量角的制度称为弧度制。长度为l 的圆弧所对的圆负角的弧度数是一个负数，记为10角。28可见，可见，弧度制中扇形弧长公式1弧度其中特殊角的角度和弧度之间的对应值：角度制与弧度制之间的交换：可化为可化为度0030045060090012001350150018002700弧度029设角 是一个任意角，则任意角 的正弦、余弦及正切分别定义为：在角 的终边上取不重合于原点的任意一点这一点到原点的距离为：30则任意角 的正切、余弦及正弦的倒数分别定义为余切、正割、及余割31当任意角 的终边余切落在 x 轴上，无意义。当任意角 的终边正切落在y 轴上，无意义。余割正割除此之外， 上述六个比值对于每一个确定的角 都有唯一的值与之确定。32若将任意角看作自变量，都是角 的三角函数。那么余切函数余切函数正切函数正切函数余割函数余割函数正割函数正割函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数33由于都是角 的三角函数可得同角三角函数的基本恒等式：一、倒数关系一、倒数关系二、商数关系二、商数关系三、平方关系三、平方关系即即34锐角特殊角的三角函数值锐角特殊角的三角函数值弧度函数名35特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值对于特殊角的三角函数值，可以由三角函数的定义直接得到， 列表如下：角函数名不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在363600 + 转化为锐角转化为锐角 的三角函数公式称为的三角函数公式称为 、 900 + 、 1800 + 、2700 + 、 三角函数的诱导公式。关于为了便于记忆，可概括为口诀： 奇变偶不变，符号看象限。奇变偶不变，符号看象限。其中奇变偶不变是指角的形式化为后，当k 为奇数时， 函数名称改变。当k 为偶数时， 函数名称不变。符号看象限是指公式右边的三角函数前的正、负号，符号看象限是指公式右边的三角函数前的正、负号，看左边的角视为锐角所在象限的三角函数的符号来确定。此结论对正割、余割同样适用。37可以将任意角的三角利用三角函数的简化公式，进而求值， 其一般步骤为：一、把负角的三角函数化为正角的三角函数；二、把大于2 角的三角函数化为0到2 间的三角函数；三、把 0到2 间的三角函数， 化为锐角三角函数，然后求值。函数化为锐角三角函数，38（1）、正弦函数）、正弦函数的图像的定义域：的图像和性质的图像和性质1正弦函数正弦函数周期通过描点法作的图像。列表作图：39因为终边相同的角的三角函数值相等。即根据正弦函数的周期性， 可以将其在上的图形延拓成整个数轴上的图形。正弦函数的图像称为正弦曲线。402正弦函数的性质正弦函数的性质1、是有界函数是奇函数，4、周期3、是单增函数。此为最小周期。图形关于原点对称。值域W: -1, 141（2余弦函数余弦函数的图像的定义域：的图像和性质的图像和性质1余弦函数余弦函数周期通过描点法作的图像。列表作图：42因为终边相同的角的三角函数值相等。 即根据余弦函数的周期性， 可以将其在上的图形延拓成整个数轴上的图形。余弦函数的图像称为余弦曲线。432余弦函数的性质余弦函数的性质1、是有界函数是偶函数对称于y 轴。4、周期3、是单减函数。值域W: -1, 144（3正切函数正切函数图像图像1、正切函数的图像正切函数45正切函数的图像正切函数的图像46正切函数的性质正切函数的性质1在定义域中是无界函数。2是奇函数3在内是单调增函数。4周期为47（4余切函数余切函数图形图形在内是单调减函数。48余切函数的图形：余切函数的图形：性质：性质：（1在定义域（2是奇函数。（3在内是单调减函数。（4周期为中是无界函数。49（5正割函数正割函数50（6余割函数余割函数51通常把正切、可以把等式的两边分别变换成同一个式子；利用两边的差为零；等方法。通常是由繁到简，或者利用左右两边的比值为1在证明三角恒等式时，余切、正割、余割函数都化成正弦和余弦函数。这往往有利于发现等式两边的关系，并利用平方在进行变换、化简的过程中，也可以关系式常常可使式子简化。52常用的三角函数的公式常用的三角函数的公式53例例1 知解解利用三角函数的基本恒等式，已知三角函数值求出其它三角函数的值； 也可以对三角函数式进行变形、化简并证明一些简单的三角恒等式。且角 是第二象限的角，求且角 是第二象限的角可以根据角 的一个54例例2 解解代入知且求得且55例例3 化简解解原式证明证明例例4 证明左边右边565、反三角函数、反三角函数三角函数的对应关系在其定义域内是单值的，但是，它们的反对应关系是多值的。根据反函数的定义，三角函数在其定义域内是没有反函数的。如果把三角函数的定义域划分成若干个区间，使在每个区间函数的反对应关系是单值的。那么，三角函数在这些区间内都分别存在反函数。57（1 1反正弦函数反正弦函数正弦函数反正弦函数定义定义 正弦函数在上的反函数，称为反正弦函数，记为58反正弦函数的性质反正弦函数的性质（1在 -1, 1 上有界函数。（2是奇函数（3在上是单调增函数。59（2 2） 反余弦函数反余弦函数余弦函数反余弦函数定义定义 余弦函数在上的反函数，称为反余弦函数，记为60反余弦函数的性质反余弦函数的性质（1在 -1, 1 是有界函数。（2是非奇非偶函数（3在上是单调减函数。61（3） 反正切函数反正切函数正切函数在单调区间内存在反函数。62反正切函数反正切函数定义定义正切函数在上的反函数，称为反正切函数，记为定义域：值域：其图形：63反正切函数的性质反正切函数的性质（1在（2是奇函数（3在上是单调增函数。内是有界函数64性质性质（1在（2是非奇非偶函数（3在上是单调减函数。内是有界函数（4反余切函数反余切函数65二、二、 复合函数复合函数定义：定义：的定义域内，对于函数主要掌握把一个函数通过步骤，熟练地分解为几个简单函数。那么即： 设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 66不能构成复合函数 .可定义复合函数例如例如, 函数链函数链 :但函数67两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数:或68例例2：设：设求解：解：即：69求 f ( x ) .解：解：例例3：知：知令70三三. 初等函数初等函数定义定义由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如例如 并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.例如：有理整函数例如：有理整函数有理分式函数有理分式函数71非初等函数举例:符号函数符号函数当 x 0当 x = 0当 x 0取整函数取整函数当无穷级数无穷级数 如：如：72内容小结内容小结3. 初等函数的结构1、 掌握基本初等函数的图形、性质2、了解复合函数73休息片刻休息片刻74P22 2， 4， 5 1,3，6 作业作业75