第五章第五章 自适应模糊控制自适应模糊控制 模模糊糊控控制制的的突突出出优优点点是是能能够够比比较较容容易易地地将将人人的的控控制制经经验验溶溶入入到到控控制制器器中中，但但若若缺缺乏乏这这样样的的控控制制经经验验，很很难难设设计计出出高高水水平平的的模模糊糊控控制制器器。而而且且，由由于于模模糊糊控控制制器器采采用用了了IF-THRNIF-THRN控控制制规规则则，不不便便于于控控制制参参数数的的学学习习和和调调整整，使使得得构构造造具有自适应的模糊控制器较困难。具有自适应的模糊控制器较困难。最新智能控制chap5 自适应模糊控制是指具有自适应学习算法的模糊逻辑系自适应模糊控制是指具有自适应学习算法的模糊逻辑系统，其学习算法是依靠数据信息来调整模糊逻辑系统的参数。统，其学习算法是依靠数据信息来调整模糊逻辑系统的参数。一个自适应模糊控制器可以用一个单一的自适应模糊系统构一个自适应模糊控制器可以用一个单一的自适应模糊系统构成，也可以用若干个自适应模糊系统构成。与传统的自适应成，也可以用若干个自适应模糊系统构成。与传统的自适应控制相比，自适应模糊控制的优越性在于它可以利用操作人控制相比，自适应模糊控制的优越性在于它可以利用操作人员提供的语言性模糊信息，而传统的自适应控制则不能。这员提供的语言性模糊信息，而传统的自适应控制则不能。这一点对具有高度不确定因素的系统尤其重要。一点对具有高度不确定因素的系统尤其重要。最新智能控制chap5 自适应模糊控制有两种不同的形式：自适应模糊控制有两种不同的形式：(1)(1)直接自适应模糊控制直接自适应模糊控制: :根据实际系统性能与理根据实际系统性能与理想性能之间的偏差，通过一定的方法来直接调整想性能之间的偏差，通过一定的方法来直接调整控制器的参数；控制器的参数；(2)(2)间接自适应模糊控制间接自适应模糊控制: :通过在线辨识获得控制通过在线辨识获得控制对象的模型，然后根据所得模型在线设计模糊控对象的模型，然后根据所得模型在线设计模糊控制器。制器。最新智能控制chap55.1 模糊逼近模糊逼近5.1.1 模糊系统的设计模糊系统的设计 设二维模糊系统设二维模糊系统 为集合为集合上的一个函数，上的一个函数，其解析式形式未知。假其解析式形式未知。假设对设对任意一任意一 个个 ，都能得到，都能得到 ，则可设计一个逼近，则可设计一个逼近的模糊系统。模糊系统的设计步骤为：的模糊系统。模糊系统的设计步骤为： 步步骤骤1 1：在：在 上定上定义义 个个标标准的、一致准的、一致的和完的和完备备的模糊集。的模糊集。 最新智能控制chap5 步骤步骤2 2：组建：组建 条模糊集条模糊集IF-THENIF-THEN规则：规则： ：如果：如果 为为 且且 为为 ，则，则 为为 其中，其中， 将模糊集将模糊集 的中心（用的中心（用 表示）选择为表示）选择为 （5.1）最新智能控制chap5步骤步骤3 3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平均解模糊器，根据 条规则来构造模糊系统 （5.2） 5.1.2 5.1.2 模糊系统的逼近精度模糊系统的逼近精度最新智能控制chap5 万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神经网络之外的一个新的万能逼近器。模糊系统较之其它逼经网络之外的一个新的万能逼近器。模糊系统较之其它逼近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万能近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万能逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础，逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础，同时也从根本上解释了模糊系统在实际中得到成功应用的同时也从根本上解释了模糊系统在实际中得到成功应用的原因。原因。最新智能控制chap5 万能逼近定理万能逼近定理 令令 为式（为式（5.25.2）中的二维模糊）中的二维模糊系统，系统， 为式（为式（5.15.1）中的未知函数，）中的未知函数，如果如果 在在 上是上是连续连续可微的，可微的，模糊系统的模糊系统的逼近精度为：逼近精度为： (5.3) (5.4) 式中式中，无穷维范数，无穷维范数 定义为定义为 。最新智能控制chap5 由由(5.4)(5.4)式可知：假设式可知：假设 的模糊集的个数为的模糊集的个数为 ，其变化范围的长度为其变化范围的长度为 ，则模糊系统的逼近精度满，则模糊系统的逼近精度满足足即：即：最新智能控制chap5由该定理可得到以下结论：由该定理可得到以下结论：（1 1）形形如如式式（5.25.2）的的模模糊糊系系统统是是万万能能逼逼近近器器，对对任任意意给定的给定的 ，都可将，都可将 和和 选得足够小，使选得足够小，使 成立，从而保证成立，从而保证 。（2 2）通通过过对对每每个个 定定义义更更多多的的模模糊糊集集可可以以得得到到更更为为准准确确的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。（3 3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 关于关于 和和 的导数边界，即的导数边界，即 和和 。同时，在。同时，在设计过程中，还必须知道设计过程中，还必须知道 在在 处的值。处的值。 最新智能控制chap55.1.3 5.1.3 仿真实例仿真实例 实实例例1 1 针对一维函数 ，设计一个模糊系统 ，使之一致的逼近定义在 上的连续函数 ，所需精度为 ，即 。最新智能控制chap5 由于 ，由式（5.3）可知， ，故取 满足精度要求。取 ，则模糊集的个数为 。在 上定义31个具有三角形隶属函数的模糊集 ，如图5-1所示。所设计的模糊系统为：最新智能控制chap5 图5-1 隶属函数 最新智能控制chap5 一维函数逼近仿真程序见chap5_1.m。逼近效果如图5-2和5-3所示 ： 图5-2 模糊逼近 最新智能控制chap5 图5-3 逼近误差 最新智能控制chap5实例实例2 2 针对二维函数 ，设计一个模糊系统 ，使之一致的逼近定义在 上的连续函数 所需精度为 。 最新智能控制chap5由于 ，由式（5.3）可知，取 ， 时，有满足精度要求。由于 ，此时模糊集的个数为 即 和 分别在 上定义11个具有三角形隶属函数的模糊集 。 最新智能控制chap5所设计的模糊系统为： (5.6)该模糊系统由 条规则来逼近函数 最新智能控制chap5 二维函数逼近仿真程序见chap5_2.m。 和 的隶属函数及 的逼近效果如图5-4至5-7所示 最新智能控制chap5图5-4 的隶属函数最新智能控制chap5 图5-5 的隶属函数 最新智能控制chap5 图5-6 模糊逼近 最新智能控制chap5图5-7 逼近误差最新智能控制chap55.2 5.2 间接自适应模糊控制间接自适应模糊控制5.2.1 5.2.1 问题描述问题描述 考虑如下 阶非线性系统： (5.7)其中 和 为未知非线性函数， 和 分别为系统的输入和输出。 设位置指令为 ，令 (5.8)最新智能控制chap5选择 ，使多项式 的所有根部都在复平面左半开平面上。 取控制律为 (5.9) 将(5.9)代入(5.7)，得到闭环控制系统的方程： (5.10) 由 的选取，可得 时 ，即系统的输出 渐进地收敛于理想输出 。 最新智能控制chap5 如果非线性函数 和 是已知的，则可以选择控制 来消除其非线性的性质，然后再根据线性控制理论设计控制器。 最新智能控制chap55.2.2 5.2.2 控制器的设计控制器的设计 如果 和 未知，控制律（5.9）很难实现。可采用模糊系统 和 代替 和 ，实现自适应模糊控制。 最新智能控制chap51. 1. 基本的模糊系统基本的模糊系统以 来逼近 为例，可用两步构造模糊系统：步骤1：对变量 ( )，定义 个模糊集合 ( )。步骤2：采用以下 条模糊规则来构造模糊系统： IF is AND is THEN is (5.11)其中 ， 。 最新智能控制chap5 采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，则模糊系统的输出为 (5.12)其中 为 的隶属函数。最新智能控制chap5 令令 是是自自由由参参数数，放放在在集集合合 中中。引引入入向向量量 ，(5.12)(5.12)式变为式变为 (5.13) (5.13)其中其中 为为 维向量，其第维向量，其第 个元素为个元素为 (5.14) (5.14)最新智能控制chap52. 2. 自适应模糊滑模控制器的设计自适应模糊滑模控制器的设计 采用模糊系统逼近 和 ，则控制律（5.9）变为 (5.15), (5.16)其中 为模糊向量，参数 和 根据自适应律而变化。 最新智能控制chap5 设计自适应律为： (5.17) (5.18) 自适应模糊控制系统如图5-8所示。最新智能控制chap5图5-8 自适应模糊控制系统最新智能控制chap53. 3. 稳定性分析稳定性分析由式（5.15）代入式（5.7）可得如下模糊控制系统的闭环动态 （5.19）令： , （5.20） 最新智能控制chap5则动态方程（5.19）可写为向量形式： (5.21)设最优参数为 (5.22) (5.23)其中 和 分别为 和 的 集合。 最新智能控制chap5定义最小逼近误差为 (5.24)式（5.21）可写为： （5.25）将式（5.16）代入式(5.25),可得闭环动态方程： （5.26）该方程清晰地描述了跟踪误差和控制参数 、 之间的关系。自适应律的任务是为 、 确定一个调节机理，使得跟踪误差 和参数误差 、 达到最小。最新智能控制chap5定义Lyapunov函数 (5.27)式中 ， 是正常数， 为一个正定矩阵且满足Lyapunov方程 （5.28）其中 是一个任意的 正定矩阵， 由式（5.20）给出。 最新智能控制chap5取 ， ， 。令 ， 则（5.26）式变为：最新智能控制chap5即 的导数为： （5.29） 最新智能控制chap5将 将自适应律（5.17）和（5.18）代入上式，得： （5.30） 由于 ，通过选取最小逼近误差 非常小的模糊系统，可实现 。 最新智能控制chap55.2.3 5.2.3 仿真实例仿真实例 被控对象取单级倒立摆，如图5-5所示，其动态方程如下： 其中 和 分别为摆角和摆速， ， 为小车质量， 为摆杆质量， ， 为摆长的一半， ， 为控制输入。 最新智能控制chap5位置指令为 。取以下5种隶属函数： 由于i=1,2,则用于逼近 和 的模糊规则分别有25条。最新智能控制chap5图5-5 单级倒立摆系统示意图 最新智能控制chap5 根据隶属函数设计程序，可得到隶属函数图，如图5-6所示。图图5-6 的隶属函数的隶属函数 最新智能控制chap5 倒立摆初始状态为 ， 和 的初始值取0.10，采用控制律（5.9），取 自适应参数取 ， 。 在程序中，分别用 、 、 和表示模糊系统 的分子、分母及 ，仿真结果如图5-7至图5-10所示。 最新智能控制chap5图5-7 位置跟踪最新智能控制chap5图5-8 控制输入信号最新智能控制chap5图图5-9 及及 的变化的变化 最新智能控制chap5图图5-10 及及 的变化的变化 最新智能控制chap5间接模糊自适应控制仿真程序有间接模糊自适应控制仿真程序有5个：个：（1）隶属函数设计程序：）隶属函数设计程序：chap5_3mf.m；(2) Simulink主程序：主程序：chap5_3sim.mdl；(3) 控制器控制器S函数：函数：chap5_3s.m；(4) 被控对象被控对象S函数：函数：chap5_3plant.m；(5) 作图程序：作图程序：chap5_3plot.m。见附录。见附录。 最新智能控制chap55.3 5.3 直接自适应模糊控制直接自适应模糊控制 直接模糊自适应控制和间接自适应模糊控制所采用的规则形式不同。间接自适应模糊控制利用的是被控对象的知识，而直接模糊自适应控制采用的是控制知识。 最新智能控制chap55.3.1 5.3.1 问题问题描述描述考虑如下方程所描述的研究对象 （5.31） （5.32）式中， 为未知函数， 为未知的正常数。 最新智能控制chap5 直接自适应模糊控制采用下面IF-THEN模糊规则来描述控制知识：如果 是 且且 是 ，则 是 （5.33） 式中， ， 为 中模糊集合，且 。 设位置指令为 ，令 (5.34)最新智能控制chap5选择 ，使多项式 的所有根部都在复平面左半开平面上。取控制律为 (5.35)将(5.35)代入(5.31)，得到闭环控制系统的方程： (5.36) 由 的选取，可得 时 ，即系统的输出 渐进地收敛于理想输出 。 最新智能控制chap5 直接型模糊自适应控制是基于模糊系统设计一个反馈控制器 和一个调整参数向量 的自适应律，使得系统输出 尽可能地跟踪理想输出 。 最新智能控制chap55.3.2 5.3.2 控制器的设计控制器的设计 直接自适应模糊控制器为 （5.37）式中， 是一个模糊系统， 是可调参数集合。 最新智能控制chap5模糊系统 可由以下两步来构造：步骤1： 对变量 ，定义 个模糊集合 ( )步骤2：用以下 条模糊规则来构造模糊系统 : 如果 是 且且 是 ，则 是 （5.38）其中， , 。 最新智能控制chap5 采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器来设计模糊控制器，即 （5.39）令 是自由参数，放在集合 中，则模糊控制器为： (5.40)其中 为 维向量 。最新智能控制chap5其第其第 个元素为个元素为 (5.41) (5.41) 模糊控制规则（模糊控制规则（5.335.33）是通过设置其初始参数而）是通过设置其初始参数而被嵌入到模糊控制器中的。被嵌入到模糊控制器中的。 最新智能控制chap55.3.3 5.3.3 自适应律的设计自适应律的设计 将式（5.35）、（5.37）代入式（5.31），并整理得：（5.42）令（5.43）最新智能控制chap5则闭环系统动态方程（5.42）可写成向量形式： （5.44） （5.45）定义最优参数为:最新智能控制chap5定义最小逼近误差为： （5.46）由式（5.44）可得： （5.47）由式（5.40），可将误差方程（5.47）改写为： （5.48） 最新智能控制chap5定义Lyapunov函数： （5.49）其中参数 是正的常数。 为一个正定矩阵且满足Lyapunov方程 （5.50）其中 是一个任意的 正定矩阵， 由式（5.43）给出。 最新智能控制chap5令则（5.48）式变为：取最新智能控制chap5 即 的导数为： （5.51） 最新智能控制chap5令 为 的最后一列，由 可知则式（5.51）变为： （5.52）取自适应律 （5.53）则 （5.54） 最新智能控制chap5 由于 ， 是最小逼近误差，通过设计足够多规则的模糊系统 ，可使 充分小，并满足 ，从而使得 。直接型自适应模糊控制系统的结构如图5-15所示。最新智能控制chap5图5-15 直接型自适应模糊控制系统 最新智能控制chap55.3.4 5.3.4 仿真实例仿真实例 被控对象为一二阶系统：位置指令为 。最新智能控制chap5取以下6种隶属函数：最新智能控制chap5 系统摆初始状态为 ， 的初始值取0，采用控制律（5.39），取 , , 自适应参数取 。 根据隶属函数设计程序，可得到隶属函数图，如图5-16所示。在控制系统仿真程序中，分别用 、 和 表示模糊系统 的分子、分母及 ，仿真结果如图5-17和图5-18所示。 最新智能控制chap5图图5-12 的隶属函数的隶属函数 最新智能控制chap5图图5-13 位置跟踪位置跟踪 最新智能控制chap5图图5-14 控制输入信号控制输入信号 最新智能控制chap5直接自适应模糊控制程序有直接自适应模糊控制程序有5个：个：（1）隶属函数设计程序）隶属函数设计程序chap5_4mf.m； (2) Simulink主程序主程序chap5_4sim.mdl；(3) 控制器控制器S函数程序函数程序chap5_4s.m；(4) 被控对象被控对象S函数程序函数程序chap5_4plant.m；(5) 作图程序：作图程序：chap5_4plot.m。最新智能控制chap55.4 机器人关节数学模型在在许许多多生生产产场场合合，利利用用机机器器人人取取代代人人体体操操作作，不不仅仅提提高高了了生生产产效效率率，而而且且还还能能完完成成一一些些人人所所不不能能完完成成的的高高强强度度、危危险险作作业业。机机械械臂是工臂是工业业机器人中常机器人中常见见的一的一类类被控被控对对象。象。 一个典型的多关一个典型的多关节节机器人如机器人如图图5-195-19所示。所示。图图5-19 一个一个8关节机器人关节机器人最新智能控制chap5 式中为关节角位移量，为机器人的惯性矩阵，表示离心力和哥氏式中为关节角位移量，为机器人的惯性矩阵，表示离心力和哥氏力，为重力项，表示摩擦力矩，为控制力矩，为外加扰动。力，为重力项，表示摩擦力矩，为控制力矩，为外加扰动。 一个典型的多关一个典型的多关节节机器人如机器人如图图5-205-20所示。所示。（5.55） 考虑一个关节机器人，其动态性能可由二阶非线性微分考虑一个关节机器人，其动态性能可由二阶非线性微分方程描述：方程描述：图图5-20双关节刚性机械手示意图双关节刚性机械手示意图 最新智能控制chap5 机械手动力学模型的特点：机械手动力学模型的特点：1、动力学模型包含的项数多。随着机器人关节数的增加，、动力学模型包含的项数多。随着机器人关节数的增加，方程中包含的项数增加。方程中包含的项数增加。2、高度非线性，方程的每一项都含有正弦余弦等非线性因、高度非线性，方程的每一项都含有正弦余弦等非线性因素。素。3、高度耦合。、高度耦合。4、模型不确定性和时变性。当机器人搬运物体时，由于所、模型不确定性和时变性。当机器人搬运物体时，由于所持物件不同，负载会发生变化，另外，关节的摩擦力矩也会持物件不同，负载会发生变化，另外，关节的摩擦力矩也会随时间变化。随时间变化。最新智能控制chap5 机械手动力学模型有以下几个特性：机械手动力学模型有以下几个特性：1、 为一个正定对称矩阵，且是有界的，即存在已知正常数为一个正定对称矩阵，且是有界的，即存在已知正常数 和和 ，使得，使得 ；2、 有界，即存在已知有界，即存在已知 ，使得，使得 成立；成立；3、矩阵、矩阵 为斜对称矩阵；为斜对称矩阵；4、未知扰动满足、未知扰动满足 ， 为一个已知正常数。为一个已知正常数。最新智能控制chap55.5.1 系统描述系统描述5.5 基于模糊补偿的机械手自适应模糊控制 机器人的动态方程为：机器人的动态方程为：（5.56） 其中其中 为惯为惯性力矩，性力矩， 是向心力和哥氏力矩，是向心力和哥氏力矩， 是重力是重力项项， 是是由摩擦由摩擦 、扰动扰动 、负载变负载变化的不确定化的不确定项组项组成。成。5.5.2 基于模糊补偿的控制基于模糊补偿的控制 假设、和为已知，且所有状态变量可测得。定义误差函数为：假设、和为已知，且所有状态变量可测得。定义误差函数为： （5.57） 其中其中 为正定阵，为正定阵， 为跟踪误差。为跟踪误差。 最新智能控制chap5 定义定义（5.58）定义定义Lyapunov函数函数 （5.59）其中，其中， 则则则则（5.60）最新智能控制chap5 其中其中 为未知非线性函数，采用基于为未知非线性函数，采用基于MIMO的模糊系统的模糊系统 来来逼近逼近 。 参考文献参考文献15，设计以下两种基于模糊补偿的自适应控制律。，设计以下两种基于模糊补偿的自适应控制律。 1.自适应控制律的设计自适应控制律的设计 设计控制律为：设计控制律为：（5.61）其中其中 ， ， ，（5.62）最新智能控制chap5其中其中 ， 为模糊系统。为模糊系统。 （5.63）将控制律式（将控制律式（5.61）代入式（）代入式（5.60），得），得定模糊逼近误差为：定模糊逼近误差为：最新智能控制chap5自适应律为自适应律为（5.64）则则2.鲁棒自适应控制鲁棒自适应控制为了消除逼近误差造成的影响，保证系统稳定，在控制律中采用了鲁为了消除逼近误差造成的影响，保证系统稳定，在控制律中采用了鲁棒项。设计鲁棒自适应律为棒项。设计鲁棒自适应律为其中其中 。将控制律式（将控制律式（5.65）代入式（）代入式（5.59），得），得（5.65）最新智能控制chap5 假设机器人关节个数为假设机器人关节个数为 个，如果采用基于个，如果采用基于MIMO的模糊系的模糊系统统 来逼近来逼近 ，则对每个关节来说，输入变量个，则对每个关节来说，输入变量个数为数为3个。如果个。如果 针对个关节机器人力臂，对每个输入变量设针对个关节机器人力臂，对每个输入变量设计计 个隶属函数，则规则总数为个隶属函数，则规则总数为 。 例如，机器人关节个数为例如，机器人关节个数为2，每个关节输入变量个数为，每个关节输入变量个数为3，每个输入变量设计每个输入变量设计5个隶属函数，则规则总数为，如此多的模糊个隶属函数，则规则总数为，如此多的模糊规则会导致计算量过大。为了减少模糊规则的个数，应针对的规则会导致计算量过大。为了减少模糊规则的个数，应针对的具体表达形式分别进行设计。具体表达形式分别进行设计。 最新智能控制chap5 模糊自适应控制律为模糊自适应控制律为 （5.68） 当当 只包括摩擦只包括摩擦 项项 时，可只考虑针对摩擦进行模糊逼近的时，可只考虑针对摩擦进行模糊逼近的模糊补偿。由于摩擦力只与速度信号有关，用于逼近摩擦的模糊系统可模糊补偿。由于摩擦力只与速度信号有关，用于逼近摩擦的模糊系统可表示为表示为 ，可根据基于传统模糊补偿的控制器设计方法，即式，可根据基于传统模糊补偿的控制器设计方法，即式（5.61）、式（）、式（5.64）和式（）和式（5.65）来设计控制律。）来设计控制律。5.5.3基于摩擦补偿的控制基于摩擦补偿的控制 模糊系统设计为模糊系统设计为 最新智能控制chap5 其中其中 （5.68） 当针对双关节刚性机械手，其动力学方程为（当针对双关节刚性机械手，其动力学方程为（5.56），具体表达如下：），具体表达如下： 5.5.4 仿真实例仿真实例 令令 ， ， 。取系统参数。取系统参数 ， ， ， 。 最新智能控制chap5 控制目标是使双关节的输出控制目标是使双关节的输出 、 分别跟踪期望轨迹分别跟踪期望轨迹 和和 。定义隶属函数为：。定义隶属函数为： 其中其中 分别为分别为 ， ，0， 和和 ， ， 分别为分别为NB，NS，ZO，PS，PB。 其中针对带有摩擦的情况，采用基于摩擦模糊补偿的机械手控制，取其中针对带有摩擦的情况，采用基于摩擦模糊补偿的机械手控制，取控制器设计参数为控制器设计参数为 ， ， ， 。取系统始状。取系统始状态为态为 ，取摩擦项为，取摩擦项为 ，取干扰项为取干扰项为 。在鲁棒控制律中，取。在鲁棒控制律中，取 。 最新智能控制chap5 采用鲁棒控制律式（5.67），自适应律取式（5.68），仿真结果见图5-21至图5-23。图图5-21 双关双关节节位置跟踪位置跟踪图图5-22 双关双关节节摩擦及其摩擦及其补偿补偿最新智能控制chap5图图5-23 双关双关节节控制控制输输入入最新智能控制chap5