内内 容容第一章 函数(Function)与极限(Limit)第二章 导数(Derivative)和微分第三章 导数的应用第四章 不定积分(Integral)第五章 定积分及其应用12第一章第一章 函数和极限函数和极限1.1 预备知识 一. 集合(Set)一切数学的基础 二. 实数(Real Number) 在微积分中，数就是指实数1.2 函数(Function) 函数是微积分学的运算和研究对象 极限(Limit) 函数的连续性1.1 1.1 预备知识预备知识一、集合一、集合(Set)(Set)1.集合及其表示法集合及其表示法 例例. . 厦大2010级全体学生构成一个集合 所有大于0小于1的数构成一个集合 定义定义(Definition) (Definition) 集合集合是指具有某种属性的事物的全体; 组成这个集合的事物称为该集合的元素。元素。 我们通常用大写字母 A，B，C， 表示集合，用小写字母 a,b,c, 表示集合中的元素。3元素a属于集合A: 记作 元素b不属于集合A: 记作例. 若A是全体正数组成的集合，则 ， 。例.”厦大2010级全体新生中个子高的同学”是否构成一个集合？ 4命题命题(Proposition) 集合元素的性质:1.确定性确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合。2.独立性独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数(Nature Number,记为 )。3.互异性：互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。 例例. 如写成1，1，2，等同于1，2。5命题命题(Proposition) 集合元素的性质:4.无序性无序性： 例例. 1,2, 2,1是同一个集合。 5.纯粹性纯粹性和完备性：完备性： 例例. 给定集合A： A是全体正数组成的集合。 集合A 中所有的元素都要符合x0(纯粹性); 所有符合x0的数都在集合A中(完备性).67集合的表示：集合的表示：（1）列举法列举法列举法优点：列举法优点：简明清楚例例. A=a，b，c，d，e 为5元集。列举法缺点：列举法缺点：有些集合无法表示列举法适用范围：列举法适用范围：包含有限个元素的有限 集或在没有歧义情况下无限个可排列的元素的集合。 小于10的正整数集合： B=1,2,3, , 98（2 2）描述法）描述法例例.是全体正数所组成的集合。是直角坐标平面上的一条直线。集合的表示：集合的表示：9定义定义. . 由有限个元素组成的集合称为有限集有限集； 由无限个元素组成的集合称为无限集无限集； 不含任何元素的集合称为空集，空集，记作 。 例例. . 大于一切自然数的数构成空集。 表示独点集。 为n元集。 自然数集 为无限集。102 2 集合间的关系与运算集合间的关系与运算子集子集 设A和B都是集合，如果 ， 那么就说A是B的子集，定义定义. . 设A和B都是集合， 记作 相等相等。 例例. 11例题：例题：(1)(1) 给定集合：试判断它们之间是否存在包含或相等的关系。答：答： (2) (2) 判断：判断：1.集合A=x|x1是空集3. 空集是一切集合的子集 2. 空集属于任何集合 12 集合间的运算集合间的运算定义定义. . 设设A A、B B是两集合，则是两集合，则交交 “A B” x x A且且x B并并 “A B” x x A或或x B差差 “ AB” x x A但但x B 等价等价 AB 一一对应的两个集合等价一一对应的两个集合等价与自然数集合与自然数集合N等价的集合称为可列集等价的集合称为可列集 例例. 偶数集与奇数集都为可列集，且等价。定义定义 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个 集合的子集，则称这个集合为全集全集，记作：I。如果， 为集合B在全集I中的余集余集(或补补集集)。13（4）对偶原理：对偶原理：（3）分配律分配律：（AB ) C =(A C) (B C) （AB ) C =(A C) (B C) （5）A(A B) =A, A(AB) =A定理定理(Theorem)（1）交换律交换律：A B= BA，AB =BA（2）组合律组合律：（AB )C =A(B C) (A B) C = A(B C)14二、实数二、实数1.1.实数与数轴实数与数轴 全体自然数(Natural number)的集合全体有理数(Rational number)的集合全体整数(Integer)的集合全体实数(Rational number)的集合数轴数轴是具有方向、原点和单位长度的有向直线。 实数与数轴上的点是一一对应的.152.2.绝对值绝对值常用的绝对值性质常用的绝对值性质 及不等式及不等式:(2)(1)(3)162.2.区间区间 (Interval)(Interval)称为开区间开区间,称为闭区间闭区间,称为左闭右开区间左闭右开区间,称为左开右闭区间左开右闭区间,17无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度区间的长度.18定义定义 邻域的半径邻域的半径.左邻域左邻域：右邻域：右邻域：3.3.邻域邻域19定义定义, ,设有一个对应规则f,使每个数xD， 都有一个(只有一个) 实数y与之对应，则称这个对应规则f 为定义在D上的一个函数关系，或称变量y是变量x的函数函数，记作y=f(x)，xD. x叫做自变量自变量， y叫做因变因变量量。集合D称为函数的定义域定义域，也可以记做D(f),值域值域记作Z(f) 。初等函数初等函数一、函数的概念一、函数的概念若D是一个非空实数集20注意注意： 如f(x)=x和 g(x)=就不是同一个函数，为什么？ 2求定义域的方法：求定义域的方法：(1) 应用题由实际意义确定；例例. 从甲地到乙地，行李收费如下：每公斤收费2元，10公斤起运。设行李重为x, 以f(x)记其运费，则 f 是一函数： , f 的定义域是(2)形式题就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。1.当两个函数的定义域定义域和对应法则对应法则都相等时，两者才是同一个函数。看一下课本第6页例1例例.21 函数表示法函数表示法（一）三种表示法（一）三种表示法1、公式法：例如y=sinx2、表格法：如例13、图表法：如例23 2682638例1.设 ,则右表定义了一个函数f. 例2.22（二）分段函数（二）分段函数一般在定义域的不同范围有不同的表达式例如：x1-1y023常用的分段函数还有：常用的分段函数还有： (1) 符号函数符号函数y1-1xo24-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2-4 4 3 2 1 -1-3xy阶梯曲线阶梯曲线(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的的最大整数最大整数25有理数点有理数点无理数点无理数点xyo(3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数26(4) 最大值和最小值函数最大值和最小值函数yxoyxo271.1.单调函数单调函数(Monotone Function)xyo二、具有某种特性的函数二、具有某种特性的函数28xyo29M-Myxoy=f(x)X有界(Bounded)无界(Unbounded)K-KyxoX2.2.有界函数有界函数(Bounded Function)s.t.(such that)303.3.奇奇( (偶偶) )函数函数偶函数偶函数(Even Function)yxox-x奇函数奇函数(Odd Function)yxox-x)( xf - -314 4周期函数周期函数(Periodic Function)（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.看一下课本P7例232三、隐函数，反函数与复合函数三、隐函数，反函数与复合函数1.隐函数隐函数(Implicit Function)隐函数的显化33注注1：习惯上把习惯上把x作为自变量，作为自变量，y作为因变量，因此把作为因变量，因此把y=f(x)的反函数记为的反函数记为如果设函数的定义域为，值域为如果对于中的每一个，在中都有满足关系的唯一的数与之对应，则称这样的对应法则为的反函数反函数，记为注注2：求反函数的步骤2.2.反函数反函数34注注3：函数与反函数的关系：函数与反函数的关系：1.1.直直接接函函数数的的定定义义域域（或或值值域域）是是其其反反函函数数的的值值域域（或定义域或定义域）;2. 把直接函数把直接函数y=f(x)和反函数和反函数y=y= (x)(x)的图形画在同一个的图形画在同一个坐标平面上，这两个图形关于直线坐标平面上，这两个图形关于直线y=xy=x是对称的。是对称的。35例例:求下列函数的反函数363 3复合函数复合函数 引入：引入：设有函数设有函数 y=uy=u2 2 和函数和函数 u=1-u=1-sinx,sinx,则则 y=(1-sinx)y=(1-sinx)2 2是两者的是两者的复合函数复合函数。一般地一般地: :若函数若函数y=y=f(u)(u)的定义域为的定义域为D D（f),), u=g(x)u=g(x)的值域为的值域为Z(g)Z(g)且且Z(g) D( f ) , ,其中其中x x为自变量为自变量,y,y为因变量，为因变量，u u称为中间变量。称为中间变量。注注1 1：函数还可进行三重，四重和多重复合。函数还可进行三重，四重和多重复合。则称则称y=y=f（g(x)g(x)）为）为复合函数复合函数。37注注2 2：条件条件Z(g) D( f ) 必不可少，必不可少，否则两个函数否则两个函数就不一定能构成一个复合函数。就不一定能构成一个复合函数。和和u=2+xu=2+x2 2就不能构成一个复合函数。就不能构成一个复合函数。(值域为2,+)，定义域 为-1，1)如如y=arcsinuy=arcsinu看一下课本P9例338（一）基本初等函数四、基本初等函数与初等函数想一想这些函数的定义域和值域和函数图象想一想这些函数的定义域和值域和函数图象.看一下课本P11例4；P12例539（二）初等函数（二）初等函数由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合所构成，由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合所构成，并可用一个式子表示的函数称并可用一个式子表示的函数称初等函数。初等函数。前面讨论过的函数都是初等函数。今后本课程讨论的函前面讨论过的函数都是初等函数。今后本课程讨论的函数除分数除分段函段函数和变上限函数以外，主要都是初等函数。数和变上限函数以外，主要都是初等函数。例例1 1复合而成的复合函数，复合而成的复合函数， 那就是说，原函数与那就是说，原函数与是同一个函数，因此它也是初等函数。是同一个函数，因此它也是初等函数。一般来说，一般来说，分段函数不是初等函数，但例分段函数不是初等函数，但例1 1所示的分段所示的分段函数是初等函数。函数是初等函数。