有限元基础及ANSYS软件 郭世伟第一章第一章 有限元法基础有限元法基础课程说明：课程说明：该课程的主要内容该课程的主要内容该课程的意义、性质、特点该课程的意义、性质、特点学时分配学时分配考核方式考核方式教材及参考资料：教材及参考资料：教材：教材：有限元基础理论与有限元基础理论与ANSYS11.0应用应用张洪信张洪信特点：基础理论与软件操作兼顾，涉及各类问题特点：基础理论与软件操作兼顾，涉及各类问题参考资料有很多，列举部分：参考资料有很多，列举部分：有限元分析有限元分析ANSYS理论分析语应用理论分析语应用Saeed Moavenl，电子工业出版社，电子工业出版社ANSYS11.0有限元分析入门与提高有限元分析入门与提高胡国良等，国防工胡国良等，国防工业出版社业出版社ANSYS工程分析实例教程工程分析实例教程陈精一，中国铁道出版社陈精一，中国铁道出版社ANSYS11.0基础与典型范例基础与典型范例周长城等，电子工业出版周长城等，电子工业出版社社教材主要内容：教材主要内容： 第第1章章 概述概述 简要介绍有限元法及简要介绍有限元法及ANSYS分析；分析； 第第2章章 介绍有限元法的基础知识及应用介绍有限元法的基础知识及应用 第第3章第章第7章章 主要讲述主要讲述ANSYS操作：操作： 第第3章介绍章介绍ANSYS建模与网格划分；第建模与网格划分；第4章介绍结构线章介绍结构线性静力分析过程；第性静力分析过程；第5章介绍动力学分析过程；第章介绍动力学分析过程；第6章介章介绍非线性分析过程；第绍非线性分析过程；第7章介绍温度场分析、流体力学分章介绍温度场分析、流体力学分析、电磁场分析、结构优化设计等过程与实例操作。析、电磁场分析、结构优化设计等过程与实例操作。一、有限元方法与一、有限元方法与ANSYS概述概述1、有限元方法、有限元方法有限元方法（有限元方法（Finite Element Method ,FEM）是当前）是当前工程技术领域最常用、最有效的数值计算方法，已成为现代工工程技术领域最常用、最有效的数值计算方法，已成为现代工程技术不可缺少的重要组成部分。程技术不可缺少的重要组成部分。有限元法应用范围：有限元法应用范围：各学科领域，有固体力学，流体力学，声场问题，电磁各学科领域，有固体力学，流体力学，声场问题，电磁场问题，热传导等问题的分析、设计。场问题，热传导等问题的分析、设计。可处理静态问题、动力学问题、波动问题，线性、非线可处理静态问题、动力学问题、波动问题，线性、非线性，复合材料问题，结构分析、仿真、优化设计等。性，复合材料问题，结构分析、仿真、优化设计等。有限元法的发展过程：结构力学杆件结构有限元法的发展过程：结构力学杆件结构连续弹性连续弹性体体流体问题等其他领域。流体问题等其他领域。有限元方法的基本思想：源于结构的矩阵分析法有限元方法的基本思想：源于结构的矩阵分析法离散化（单元）离散化（单元）单元分析单元分析组零为整组零为整整体分整体分析。析。结构有限元分析方法涉及知识：材料力学、结构力学、结构有限元分析方法涉及知识：材料力学、结构力学、弹性力学等力学基础；结构能量原理，变分原理，加权残量法弹性力学等力学基础；结构能量原理，变分原理，加权残量法等；矩阵分析，数值计算方法；计算机基础，程序设计、算法等；矩阵分析，数值计算方法；计算机基础，程序设计、算法语言、软件等。语言、软件等。有限元方法的特点：应用领域广泛，适应性强；对有限有限元方法的特点：应用领域广泛，适应性强；对有限元方法可在不同层次上理解和应用，概念浅显，易于学习掌握；元方法可在不同层次上理解和应用，概念浅显，易于学习掌握；采用矩阵形式表达，利于计算机运算，便于程序设计，有多种采用矩阵形式表达，利于计算机运算，便于程序设计，有多种有限元分析软件；精度高，速度快。有限元分析软件；精度高，速度快。数值计算方法：偏微分方程组的边值问题求解，边界形数值计算方法：偏微分方程组的边值问题求解，边界形状复杂，边界条件复杂。状复杂，边界条件复杂。解析解与数值解解析解与数值解2、ANSYS介绍介绍ANSYS软件属于通用的软件属于通用的CAE软件，是一个大型通用的软件，是一个大型通用的有限元分析软件，该软件融结构、流体、电磁场、声场、传有限元分析软件，该软件融结构、流体、电磁场、声场、传热等领域的静态问题、动力学问题和边界耦合问题分析于一热等领域的静态问题、动力学问题和边界耦合问题分析于一体，功能强大，通用性好，有强大的稳健性和高度的精确性。体，功能强大，通用性好，有强大的稳健性和高度的精确性。并能与多种并能与多种CAD软件和机械仿真软件接口，实现数据的交换软件和机械仿真软件接口，实现数据的交换和共享。还涉及有：网络划分、高级分析、优化、多物理场和共享。还涉及有：网络划分、高级分析、优化、多物理场和多体动力学等。和多体动力学等。前处理，后处理前处理，后处理大型通用的有限元分析软件不断吸取计算机技术和计大型通用的有限元分析软件不断吸取计算机技术和计算方法的最新进展，有限元分析与计算机图形学和优化技术算方法的最新进展，有限元分析与计算机图形学和优化技术相结合，已成为解决现代工程学问题必不可少的有力工具。相结合，已成为解决现代工程学问题必不可少的有力工具。二、结构力学、弹性力学基本概念的介绍二、结构力学、弹性力学基本概念的介绍结构：有杆、梁结构，（平面、空间）桁架，（平面、结构：有杆、梁结构，（平面、空间）桁架，（平面、空间）刚架，弹性平面结构，板壳结构，实体结构等。空间）刚架，弹性平面结构，板壳结构，实体结构等。荷载与变形：静力载荷、动力载荷，表面载荷、内载荷，荷载与变形：静力载荷、动力载荷，表面载荷、内载荷，分布载荷、集中载荷，内力、位移，应力、应变等。分布载荷、集中载荷，内力、位移，应力、应变等。约束条件，边界条件：约束条件，边界条件：离散结构力学、连续介质力学（无穷多自由度）离散结构力学、连续介质力学（无穷多自由度）梁：梁：梁是一种受弯构件，其轴线通常为直线。梁有单跨的和多跨的。其内力一般梁是一种受弯构件，其轴线通常为直线。梁有单跨的和多跨的。其内力一般有弯矩和剪力，以弯矩为主。有弯矩和剪力，以弯矩为主。刚架：刚架：刚架由梁刚架由梁和柱组成，结点和柱组成，结点多为刚结点。其多为刚结点。其内力一般有弯矩、内力一般有弯矩、剪力和轴力，以剪力和轴力，以弯矩为主。弯矩为主。 桁架：桁架：桁架由直杆组成，所有结点都为理想铰结点。当仅受结点集中荷载作用桁架由直杆组成，所有结点都为理想铰结点。当仅受结点集中荷载作用时，其内力只有轴力（拉力和压力）。时，其内力只有轴力（拉力和压力）。 名词：单元、节点、节点自由度、结点载荷、节点名词：单元、节点、节点自由度、结点载荷、节点位移、刚度矩阵、局部坐标系与整体坐标系等。位移、刚度矩阵、局部坐标系与整体坐标系等。三、杆件结构的矩阵分析方法三、杆件结构的矩阵分析方法1、结构的离散化、结构的离散化把杆件结构划分为有限个简单单元，各把杆件结构划分为有限个简单单元，各单元只在有限个结点处相连。单元只在有限个结点处相连。2、单元分析、单元分析 分析杆单元的杆端内力与杆端位移之间的关分析杆单元的杆端内力与杆端位移之间的关系，以矩阵形式表示，建立单元刚度方程。系，以矩阵形式表示，建立单元刚度方程。3、整体分析、整体分析 考虑各结点的变形协调条件和平衡条件，建考虑各结点的变形协调条件和平衡条件，建立整个结构的刚度方程。结合已知结点位移和已知结点立整个结构的刚度方程。结合已知结点位移和已知结点荷载求解原结构的未知结点位移和未知结点内力。荷载求解原结构的未知结点位移和未知结点内力。（一）单坐标方向的弹簧、桁架系统的矩阵分析方法（一）单坐标方向的弹簧、桁架系统的矩阵分析方法单个弹簧的受力与位移关系单个弹簧的受力与位移关系单元节点力与节点单元节点力与节点位移关系形式为：位移关系形式为：经受力、变形分析得经受力、变形分析得节点力与节点位移关系为：节点力与节点位移关系为：有单元刚度矩阵为：有单元刚度矩阵为：两个弹簧的受力系统：两个弹簧的受力系统：整体刚度矩阵整体刚度矩阵刚度矩阵性质的刚度矩阵性质的说明！说明！引入约束条件，并把所受外力代入整体刚度矩阵，求引入约束条件，并把所受外力代入整体刚度矩阵，求解线性代数方程组，可求得未知的节点位移值量和节点力。解线性代数方程组，可求得未知的节点位移值量和节点力。以上弹簧系统中的弹簧可等效为水平二力杆件，即水以上弹簧系统中的弹簧可等效为水平二力杆件，即水平桁架单元，只是其刚度系数为：平桁架单元，只是其刚度系数为：单元刚度矩阵组集为整体刚度矩阵的方法。各单刚阵单元刚度矩阵组集为整体刚度矩阵的方法。各单刚阵先扩展为总刚阵的大小，再叠加；或先把总刚阵元素全充零，先扩展为总刚阵的大小，再叠加；或先把总刚阵元素全充零，再把各单刚阵的元素叠加到总刚阵的对应位置上。再把各单刚阵的元素叠加到总刚阵的对应位置上。各节点力的叠加。节点位移的处理。各节点力的叠加。节点位移的处理。单元轴力的计算：单元轴力的计算： S为单元应力矩阵为单元应力矩阵进一步思考，对上述的弹簧连接系统增加连接弹簧数，进一步思考，对上述的弹簧连接系统增加连接弹簧数，增加节点数等复杂化处理，用同样的矩阵分析方法做！增加节点数等复杂化处理，用同样的矩阵分析方法做！节点节点1，5固结，各节点力和刚度系数已知，求未知量！固结，各节点力和刚度系数已知，求未知量！（二）倾斜桁架单元刚度矩阵（二）倾斜桁架单元刚度矩阵局部坐标系（或称单元坐标系）与整体坐标系（或称系局部坐标系（或称单元坐标系）与整体坐标系（或称系统坐标系）间关系统坐标系）间关系（图中省略了局部坐标下的（图中省略了局部坐标下的y向位移和力）向位移和力）考虑桁架单元垂直（考虑桁架单元垂直（y向）自由度时，节点自由度为向）自由度时，节点自由度为2。局。局部坐标下的单元刚度矩阵扩展为四阶形式为：部坐标下的单元刚度矩阵扩展为四阶形式为：节点节点 i 的的位移分量在局部坐标与整体坐标间的转换关系为：位移分量在局部坐标与整体坐标间的转换关系为：节点节点 j 的位移及节点力同样有这种转换关系。则有单元位的位移及节点力同样有这种转换关系。则有单元位移及单元力在不同坐标系下的转换关系为：移及单元力在不同坐标系下的转换关系为：其中的转换矩阵可记为其中的转换矩阵可记为 ，则上述关系记为：，则上述关系记为：则可得整体坐标下的单元刚度矩阵为：则可得整体坐标下的单元刚度矩阵为：则整体坐标下的单元刚度方程为：则整体坐标下的单元刚度方程为：分析多单元系统时，由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵。分析多单元系统时，由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵。思考：空间桁架的处理思考：空间桁架的处理F可设计MATLAB程序求解：gsw1.m（三）刚架单元的刚度方程（三）刚架单元的刚度方程局部坐标系下，仅考虑横向弯曲时，节点自由度为局部坐标系下，仅考虑横向弯曲时，节点自由度为2，考，考虑轴向拉压时，节点自由度扩展为虑轴向拉压时，节点自由度扩展为3，此时的刚架单元为轴向拉，此时的刚架单元为轴向拉压与横向弯曲结合。压与横向弯曲结合。忽略剪切变形对位移的影响，忽略轴向变形与弯曲变形之间忽略剪切变形对位移的影响，忽略轴向变形与弯曲变形之间的相互影响，根据杆件的受力变形关系，可写出关系式的相互影响，根据杆件的受力变形关系，可写出关系式 ：写成矩阵形式为写成矩阵形式为 简写为简写为称为单元坐标系中刚架单元的单元刚度方程。称为单元坐标系中刚架单元的单元刚度方程。 单元刚度矩阵，简称单刚阵，是单元刚度矩阵，简称单刚阵，是66阶的方阵。阶的方阵。单元节点力分量在局部坐标与整体坐标间有转换关系：单元节点力分量在局部坐标与整体坐标间有转换关系：或简写成或简写成 单元位移同样有这种转换关系。单元位移同样有这种转换关系。称为单元坐标转换矩阵。称为单元坐标转换矩阵。整体坐标下的单元刚度方程可化为：整体坐标下的单元刚度方程可化为：为整体坐标系中的单元刚度矩阵为整体坐标系中的单元刚度矩阵整体结构的分析求解，由单元刚度矩阵组集总体刚整体结构的分析求解，由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵，具体方法与桁架结构的分析相同。度矩阵，具体方法与桁架结构的分析相同。思考：空间刚架的分析思考：空间刚架的分析桁架单元、梁单元、刚架单元之间的区别联系桁架单元、梁单元、刚架单元之间的区别联系非节点力问题非节点力问题薄梁、厚梁、基础梁等薄梁、厚梁、基础梁等结构参数：结构参数：可设计MATLAB程序求解：gsw3.m（四）有限元求解（四）有限元求解提供已知信息：各单元的编号、尺寸、材料性质，结提供已知信息：各单元的编号、尺寸、材料性质，结点的编号、坐标、自由度、边界约束条件等。点的编号、坐标、自由度、边界约束条件等。零位移约束时，可用划行划列法处理整体刚度方程；一零位移约束时，可用划行划列法处理整体刚度方程；一般情况可用置一赋零法、主元赋大值法等。般情况可用置一赋零法、主元赋大值法等。线性代数方程组的求解方法有：高斯消元法，矩阵分解线性代数方程组的求解方法有：高斯消元法，矩阵分解法，迭代法等。法，迭代法等。总刚度矩阵的压缩存储问题。总刚度矩阵的压缩存储问题。在结构矩阵分析中，我们着眼于计算过程的程序化、标在结构矩阵分析中，我们着眼于计算过程的程序化、标准化和自动化，因而，无论准化和自动化，因而，无论i、j两端的约束情况如何，都可按两端的约束情况如何，都可按一般单元情况处理，即采用一种标准化形式（一般单元）的刚一般单元情况处理，即采用一种标准化形式（一般单元）的刚度矩阵。这时，需要把实际铰支或自由端未知的位移作为求解度矩阵。这时，需要把实际铰支或自由端未知的位移作为求解的未知位移。的未知位移。1、形成、形成平面桁架平面桁架结构刚度矩阵结构刚度矩阵K的方法与平面刚架相同。的方法与平面刚架相同。对结点位移分量编码应注意，桁架单元的结点角位移不作为对结点位移分量编码应注意，桁架单元的结点角位移不作为基本未知量。基本未知量。试用先处理法计算图示桁架的内力。各杆试用先处理法计算图示桁架的内力。各杆EA相同。相同。结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知量编码如图所示。移未知量编码如图所示。四、平面杆件结构算例四、平面杆件结构算例1 234求得结点求得结点2，3位移为位移为各单元轴力各单元轴力 FN图图(KN)可设计MATLAB程序求解：gsw2.m2、试用先处理法计算图示、试用先处理法计算图示连续梁连续梁的内力，并作弯矩图。的内力，并作弯矩图。忽略各杆轴向变形的影响。忽略各杆轴向变形的影响。解：解：(1) 结构坐标系、结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知单元编号及结点位移未知量编码如图所示。量编码如图所示。(2)形成整体坐标系中形成整体坐标系中的单元刚度矩阵的单元刚度矩阵 。12(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K (4)形成结构综合结点荷载列阵形成结构综合结点荷载列阵P再利用单元定位向量形成结构综合结点荷载列阵再利用单元定位向量形成结构综合结点荷载列阵(5)形成结构刚度方程，解方程求结点位移形成结构刚度方程，解方程求结点位移 解方程，得结点位移解方程，得结点位移D D为为(6)利用单元定位向量从结点位移利用单元定位向量从结点位移D D中取出各单元杆端位移中取出各单元杆端位移 M 图图(kN.m)(7)作弯矩图作弯矩图3. 平面刚架试用先处理法计算图示刚架的内力。已知各杆试用先处理法计算图示刚架的内力。已知各杆EA=4.8106kN，EI=0.9105kNm2。解：解：(1) 结点编号、单元编号、结构位移分量编码及结构坐结点编号、单元编号、结构位移分量编码及结构坐标系、各单元坐标系如图所示。标系、各单元坐标系如图所示。(2)计算各单元在结构坐标系中的刚度矩阵计算各单元在结构坐标系中的刚度矩阵 单元单元 0 0 1 2 3 40 0 1 2 3 4单元单元 0 3 4 0 6 00 3 4 0 6 0单元单元 2 3 5 0 0 02 3 5 0 0 0(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K 1 2 3 4 5 6123456(4)结构的综合结点荷载列阵结构的综合结点荷载列阵P(已在例已在例11-2中求得中求得) (5)形成结构刚度方程形成结构刚度方程 解方程，得结点位移解方程，得结点位移D D为为(6)计算各单元杆端力计算各单元杆端力 单元单元 单元单元 单元单元 (7)根据上述计算结果作内力图，如图所示。根据上述计算结果作内力图，如图所示。M图(kNm)FQ图(kN)FN图(kN)各单元定位向量为各单元定位向量为以下平面桁架为铝材结构，以下平面桁架为铝材结构，杆件截面积为杆件截面积为作业：作业：五、连续弹性体的有限元方法五、连续弹性体的有限元方法杆系结构的矩阵分析法的推广应用于连续介质力学。杆系结构的矩阵分析法的推广应用于连续介质力学。（一）弹性力学基础（一）弹性力学基础1、弹性力学、弹性力学基本方程基本方程（只介绍静力学问题）（只介绍静力学问题）平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程本构关系本构关系边界条件边界条件复杂偏微分方程组的求解，解析求解困难，主要复杂偏微分方程组的求解，解析求解困难，主要是数值求解。是数值求解。2、平面问题有限元方法、平面问题有限元方法对某些特殊情况，可把空间问题近似简化为平面问题。对某些特殊情况，可把空间问题近似简化为平面问题。3、平板问题、平板问题薄板、厚板、基础版问题，壳体问题薄板、厚板、基础版问题，壳体问题三节点三角形单元（二）有限单元（二）有限单元 1、平面问题单元、平面问题单元单元形状、节点数目、节点自由度单元形状、节点数目、节点自由度单元位移插值函数单元位移插值函数形函数形函数平面问题的单元分割平面问题的单元分割平面问题的载荷分布平面问题的载荷分布平面问题的分布载荷的处理平面问题的分布载荷的处理等参数单元等参数单元2、平板单元、平板单元3、空间单元、空间单元