复习 1 1、相似三角形有哪些判定方法、相似三角形有哪些判定方法? ?AC/B/A/ CB2 2、相似三角形与全等三角形、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？有什么内在的联系呢？ 观察两副三角尺如图，其中同样角度（观察两副三角尺如图，其中同样角度（3030与与6060, ,或或4545与与4545) )的两个三角尺大小可能不同，的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的一般地，如果两个三角但它们看起来是相似的一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ 一定相似一定相似观观 察察作作ABC ABC 和和ABCABC，使得，使得A AAA,B BBB，这时它们的第三个角满足，这时它们的第三个角满足C CC C 吗？分别吗？分别度量这两个三角形的边长，计算度量这两个三角形的边长，计算 ，你有什么现？，你有什么现？探究探究ABCABC满足：满足：C C = = CCABCABC探究探究 把你的结果与邻座的同学比较，你们的把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？结论一样吗？ ABCABC和和ABCABC相似吗？相似吗？一样一样ABC和和ABC相似相似得到判定两个三角形相似的又一个简便方得到判定两个三角形相似的又一个简便方法：法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似两个角对应相等，那么这两个三角形相似如图，已知如图，已知ABCABC和和ABCABC中，中，A A=A,A, B B= =B B ，求证，求证: : ABCABCABCABC证明：在证明：在ABCABC的边的边ABAB（或延长线）上，截取（或延长线）上，截取AD=ABAD=AB，过点，过点D D作作DEDE/BCBC，交，交ACAC于点于点E E，则有，则有ADEADEABCABCADEADE=B B, , B B= =B B ADEADE=BB又又A A=A,AD=ABA,AD=ABADEADEABCABCABCABCABCABCABCDEABCCAABBC A=A， B=B ABC ABC用数学符号表示：用数学符号表示：相似三角形的识别相似三角形的识别( (两个角分别对应相等的两个三角形相似两个角分别对应相等的两个三角形相似) )下面每组的两个三角形是否相似？为什么？下面每组的两个三角形是否相似？为什么？70o50oABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o60o50o1. 如图所示：如图所示： 1= 2 = 3 图中相似三角形有图中相似三角形有ABCDE321 2. 判断判断并并说理说理（1）顶角相等的两个等腰三角形相似。顶角相等的两个等腰三角形相似。( )（2）有一个角为有一个角为120 的两个等腰三角形相似。的两个等腰三角形相似。( )（3）有一个角为有一个角为40的两个等腰三角形相似。的两个等腰三角形相似。 (4)两个等腰三角形相似。两个等腰三角形相似。( ) 3. Rt ABC中，中，CD是是 斜边斜边AB的高，图中相似的的高，图中相似的三角形有三角形有CADB4321 ABC ACD CBD AED ADB ABC B BE ED DA AC C4.如图所示：如图所示：AD BC于于D,CEAB于于E，且交，且交AD于于O,图中图中相似三角形有（相似三角形有（ ）对。）对。O O6 6B BE ED DA AC C5.如图所示：如图所示：AB BD、EDBD、C为为BD中点，且中点，且ACCE 、ED=1、BD=4 ,则则AB=( )122？46. 如图所示如图所示:若若ABO CDO， 则应添加的条件为（则应添加的条件为（ ）ABCDO相似于相似于7 7如图：已知如图：已知:DEBC,EFAB,:DEBC,EFAB,则图中共有则图中共有（ ）对三角形相似）对三角形相似. .ABCDEF38 8有一个角是有一个角是80 80 的两个等的两个等腰三角形相似吗？腰三角形相似吗？这样的两个三角形这样的两个三角形不一定相似不一定相似. .CAB8080CAB801. 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论BACBAC已知：等腰已知：等腰ABC AB = AC 和等腰和等腰ABC ，AB=AC 且有且有B=B,求证求证:ABCABC证明证明：等腰三角形等腰三角形 AB=AC B=CABCABC 等腰三角形等腰三角形 AB=AC B=CB=B,C=C 练练 习习已知已知: :等腰等腰ABCABC 有有ABAB= =AC AC 和和 ABCABC 有有AB=ACAB=AC ， 并且并且A A =A A , , 求证求证:ABC ABC ABCABC证明证明： ABC中中AB=AC，B =C 2B =180A同理同理 ABC中中AB=AC，B =C 2B =180A又又 A=A B=B, ABCABCBACBAC2. 如图，如图，RtABC中中,CD是斜边上的高，是斜边上的高，ACD和和CBD都和都和ABC相似吗？证明你的结论相似吗？证明你的结论1 2ACDABCCBDABC证明：证明：ACB=ADC=90又又 A = A=90 ACDABCCDB=ACB=90B = B = 90 CBDABC例例1如如图图所所示示，在在两两个个直直角角三三角角形形ABC和和 ABC中中 ， B B90，AA，判判断断这这两两个个三三角形是否相似角形是否相似 CBACBA 例题欣赏例题欣赏解：解： BB90（已知），已知），AA（已知），已知）， ABCABC（两个角分别对应两个角分别对应相等的两个三角形相似）相等的两个三角形相似） 例例2. 如图，如图，ABC中，中， DEBC，EFAB， 试说明试说明ADEEFC. AEFBCD例题分析例题分析解解: DEBC，EFAB（已知），已知）， ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等）AEDC. （两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等） ADEEFC. （两个角分别对应相等的两个角分别对应相等的两个三角形相似）两个三角形相似）例例3 如图，弦如图，弦AB和和CD相交于相交于 O内一点内一点P，求证求证: PAPBPCPD证明证明：连接：连接AC、BD A和和D都是都是 所对的圆周角，所对的圆周角， AD同理同理 CB PACPDB即即 PAPBPCPDABCDOP变式：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P，结论还成立吗？变式：上题中，重合为一点时，又会有什么结论？OOABCDE例例4.已知已知D、E分别是分别是ABC的边的边AB,AC上的上的点，若点，若A=35, C=85,AED=60 则则ADAB= AEACCADB已知：已知：Rt ABC中，中， CD是斜边是斜边AB的高的高,求证：求证： AC2=ADAB1证明证明: A+ACD= 90 1+ACD= 90 A= 1 ACB= ADC = 90 ABCCD AC AD AB AC AC2=ADAB已知已知,如图如图,梯形梯形ABCD中中,ADBC, A=900,对角线对角线BDCD试问试问 ABD与与DCB是什么关系？是什么关系？证明证明:(1) ADBC, ADB= DBC A=BDC= 90 ABDDCB ABCD(2) ABDDCB AD BD BD BC 即即:BD2=ADBC BD2=ADBC例例5：如图，：如图，ABC中，中，AD是是BAC的平分的平分线，线，AD的垂直平分线交的垂直平分线交AD于于E,交交BC的延长的延长线于线于F求证：求证： ABF CAFABFCDEF FA AB BC CD DG GE E图图 1 1（1）图）图1中中DEFGBC，找出图中所有的，找出图中所有的相似三角形。相似三角形。（2）图）图2中中ABCDEF，找出图中所有的，找出图中所有的相似三角形。相似三角形。答：答：ADEAFGABC。答：答：AOBFOEDOC。A AB B图图 2 2C CF FD DE EO O （3）在在ABC和和ABC中中,如如果果A80,C60,A80,B40,那那么么这这两两个个三三角角形形是是否相似？为什么？否相似？为什么？B=180 （A+C) )=180 （80 +60 ) )=40 1、已知如图直线BE、DC交于A，E=C求证：DAAC=ABAEDEABC C证明：证明： E=C DAE=BAC ABC ADE AC :AE=AB :AD DA AC=AB AE2、判断题：所有的直角三角形都相似.（）所有的等边三角形都相似.（）所有的等腰直角三角形都相似.（）有一个角相等的两等腰三角形相似.（）顶角相等顶角相等底角相等底角相等顶角与底角相等顶角与底角相等BCAABC第第一一种种情情况况 ABC ABC顶角相等顶角相等BCAABC第第二二种种情情况况 ABC ABC底角相等底角相等第第三三种种情情况况ABCABC两三角形不相似顶角与底角相等顶角与底角相等3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。ADBC已知：在RtABC中，CD是斜边AB上的高。此结论可以称为“母子相似定理母子相似定理”,今后可以直接使用.求证：ABCACDCBD结论： ACD CBD CD2=AD DB ACD ABC AC2=AD AB BCD ABC BC2=BD ABABCDE1已知DEBC且1=B，则图中共有对相似三角形。 DEBCADEABC 1=B ，A=A ACDABCADE ACD DEBC EDC=DCB， 又又 1=BDECCDB4DBC CA1、如图：在、如图：在Rt ABC中，中， ABC=900，BDAC于于D 若若 AB=6 AD=2 则则AC= BD= BC= 184 21222.如图直线如图直线BE、DC交于交于A, ADAC=AEBA，求证：求证：E=CEDBCAABCED将将DAE绕绕A点旋转点旋转如何证明如何证明DEAC？EABDC C解：解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =43.已知如图，ABD=CAD=2，AC=8，求ABABC CDABDC CABDC C4 4、如图：在、如图：在RtRt ABC ABC中，中， ABC=90ABC=900 0，BDACBDAC于于D D 问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？解：解： 图中有三个直角三角形，分别是：图中有三个直角三角形，分别是： ABC、 ADB、 BDC ABC ADB BDC ABCDEABCDE 21OCBADOCDABABCDE相似三角形判定方法相似三角形判定方法1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角形相似。2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。