CH5、控制系统综合与校正在控制系统分析的基础上，可以进行控制系统的综合。综合与设计问题，是在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，寻求控制规律，使系统具有某种期望的性能。按照传统方法，在原系统特性的基础上，将原特性加以修正称为控制系统的校正。例如改变原系统根轨迹的走向，使之满足给定的性能指标，修改原系统的波得图使之成为希望的形状等都属于控制系统的校正内容。当前控制理论的发展已经提出了许多现代化的系统综合方法，例如最优控制、预测控制等。前述几种方法，MATLAB中都有专用的工具箱。本章简要介绍以下几个内容，即经典控制理论的系统校正，状态空间基础上的极点配置方法，基于最优控制理论的线性二次型最优模型等。9/12/20241第一节控制系统的一般校正方法当被控对象给定后，设计一个实际的控制系统一般要确定：（1）根据所要求的被控信号的最大速度或速度等，初步选择执行元件的形式、特性和参数。（2）根据要求的测量精度、抗扰动能力、被测信号的物理性质、测量过程中的惯性、非线性度等因素，选择测量元件。（3）根据执行元件的功率要求，选择功率放大器；根据系统设计增益的要求确定增益可调的前置放大器。若仅靠调整放大器增益或系统已有的元部件参数，不能使得系统性能指标满足要求，则要在系统中加入参数及特性可调整的校正装置。9/12/20242一、校正方式一、校正方式q系统校正主要是通过增加前向校正装置Gc(s)或者增加反馈校正装置GH(s)实现的，又称为串联校正或反馈校正。串联校正与反馈校正串联校正与反馈校正串联校正被控对象反馈校正前置放大、功率放大9/12/20243二、校正校正方法（1）根轨迹法校正：系统设计指标为时域指标时宜用。时域性能指标：单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等；（2）频率法校正：系统设计指标为频域特征量时宜用。频域性能指标：相角裕度、幅值裕度、谐振峰值、闭环带宽、稳态误差等。在实际应用中频率法校正更加广泛。（3）参考模型法校正：方便实用的校正方法。9/12/20244频率响应法的校正装置设计方法：（1）相位超前校正：通过超前校正装置的相位超前特性使校正系统获得希望的相位裕度；（2）相位滞后校正：通过压缩频带宽度使校正系统获得希望的相位裕度。开环频率特性：低频段低频段表征闭环系统的稳态性能稳态性能中频段中频段表征闭环系统的动态性能动态性能高频段高频段表征闭环系统的复杂程度复杂程度和抑制噪声抑制噪声的能力9/12/202451. 串联超前校正串联超前校正采用无源超前网络或PD调节器的原理进行串联超前校正。对于无源超前校正主要确定两端的交接频率。校正后系统开环幅频特性的一般形状：校正后系统开环幅频特性的一般形状：（1）低频段增益充分大，保证稳态误差的要求；（2）中频段幅频特性斜率为-20dB/dec，而且有足够的频带宽度，保证适当的相角裕度；（3）高频段增益尽快减小，尽可能地削弱噪声的影响。9/12/20246Exp05-01.m:已知系统开环传递函数为：要求在单位斜坡信号作用下，输出稳态误差：开环系统截止频率：相角裕度：幅值裕度：试设计串联无源超前网络。解：9/12/20247未校正系统开环传递函数计算超前校正装置参数开环系统截止频率相角裕度9/12/20248放大器增益再提高4.6倍，抵消校正网络的衰减。设计超前校正装置为：9/12/20249校正后的系统开环传递函数相角裕度MATLAB仿真（Exp05-01.m）9/12/202410串联超前校正的局限：（1）闭环带宽的要求，不可能使得分度系数过大。（2）原系统在截止频率附近相角迅速减小，不宜用串联超前校正。9/12/2024112.串联滞后校正串联滞后校正运用滞后校正网络或PI控制器进行串联校正是利用滞后网络（PI控制器）的高频幅值衰减特性，通过降低校正后系统的截止频率，来获得系统较大的相角裕度。应用应用滞后校正的场合后校正的场合：（1）对系统响应速度要求不高，对噪声抑制要求较高的场合；（2）未校正系统动态性能已经具备，稳态精度不能满足要求，保持动态性能不变。9/12/202412Exp05-02.m:设系统开环传递函数为要求：试设计串联校正装置。解：相角裕度：幅值裕度：开环系统截止频率：9/12/202413未校正系统不稳定，截止频率远大于要求值，通过串联单个超前校正环节不可能产生如此大的相位超前角，一种方案用两级串联校正装置；另一种方案采用滞后校正。9/12/2024149/12/202415校验：MATLAB仿真（Exp05-02.m）9/12/202416若校验结果还不能完全满足设计要求，需要进一步调整截止频率或附加的滞后环节相位补偿量串联超前校正和串联滞后校正的比较：（1）超前校正：利用相位超前特性滞后校正：利用高频段幅值衰减特性（2）超前校正：要附加放大倍数抵消校正网络的衰减滞后校正：不需要附加放大倍数（3）超前校正：截止频率提高，带宽大于滞后校正，改善系统动态特性滞后校正：降低截止频率，使得系统响应变慢9/12/2024173.串联滞后串联滞后-超前校正超前校正当未校正系统不稳定，系统指标既要考虑稳态性能和动态性能指标（响应速度、相位裕度）时，仅用一种校正方式难以实现，这时可考虑串联滞后-超前校正装置。9/12/202418Exp05-03.m：设未校正随动系统开环传递函数为设计校正装置，使系统性能满足以下要求：（1）最大指令速度180（o)/s，位置误差不超过1o（2）相角裕度为（3）幅值裕度不低于10dB（4）调节时间不超过3（s)9/12/202419解：作未校正系统对数幅频特性9/12/202420采用滞后超前校正，考察未校正的对数幅频曲线可知：9/12/202421校正后系统的截止频率：校正后系统9/12/2024229/12/202423校正装置校正系统的开环传递函数：MATLAB仿真（Exp05-03.m）9/12/2024244.参考模型法校正(串联综合校正法)（1）参考模型校正法将性能指标转化为期望开环对数幅频特性L()；（2）将期望对数幅频特性L()与未校正系统的开环对数幅频特性Lo()比较；（3）确定校正装置Lc()的结构与参数参考模型校正是一种方便实用的校正方法。基本原理：设在串联校正中，校正后系统的开环频率特性由串联校正装置与固有系统共同构成G(s)Gc(s)Go(s)，根据性能指标要求，可确定参数规范化的开环幅频特性:L()Lc()+Lo()9/12/202425 因此，如果得到满足性能要求的开环模型L()，即参考模型，则由波得图上的3条特性曲线的线性关系确定校正装置的波得图Lc() 。校正装置的波得图表示为 Lc()L()-Lo()校正装置的传递函数为：Gc(s)G(s)/Go(s)常用的参考模型有二阶参考模型9/12/202426典型的期望对数幅频特性L()获取：（1）由系统型号、稳态误差要求，确定无差度（积分个数）和增益K，绘制低频段幅频特性。（2）由系统响应速度、阻尼程度要求，绘制期望幅频特性的中频段，中频段斜率-20dB/dec。（3）绘制低频、中频段衔接频段，一般斜率拟取与前后频段相差-20dB/dec.（4）根据幅值裕度h(dB)以及抑制高频噪声要求，绘制高频段。为了使得校正装置简单，通常高频段的斜率可与未校正系统重合。9/12/202427（5）串联校正装置的物理实现利用期望特性进行校正装置设计利用期望特性进行校正装置设计（1）根据稳态性能要求，绘制未校正系统的对数幅频特性曲线（2）根据稳态、动态性能指标，绘制期望开环幅频特性（3），求得（4）验证9/12/202428exp05-04： 已知系统的开环模型为要求：Kv=30(1/s)， 系统带宽试用二阶参考模型法作校正。解：(1)确定系统的开环放大系数(2)作未校正系统Bode图。说明未校正系统不稳定。9/12/202429满足给定性能要求的二阶参考模型为作二阶参考模型的Bode图。校正后系统的传递函数为作校正系统的时间响应与根轨迹图9/12/202430exp05-05： 已知系统的开环模型为要求：Kv5，ts0.3秒。试用二阶参考模型法作校正。解：(1)作固有对象的Bode图。(2)满足给定性能要求的二阶参考模型为作二阶参考模型的Bode图。根据Lc()，求得校正装置的特性为9/12/202431 给定控制系统，通过设计反馈增益阵k使闭环系统具有期望的极点，从而达到适当的阻尼系数和无阻尼自然频率，这就是极点配置问题。但极点配置是基于状态反馈，即u-kx，因此状态x必须可测，当状态不可测时，则应设计状态观测器。设计的状态观测器也应具有适当的频率特性，因此也可指定其极点位置，从而使状态观测器的设计转化为极点配置问题。第二节控制系统的极点配置与状态观测器设计9/12/202432一、问题的提法一、问题的提法给定系统的状态空间描述，若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量、过渡过程时间、极、零点)，也可以是使某个性能函数取极小或极大。此时，综合问题就是寻求一个控制作用u，使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。作为综合问题，必须考虑三个方面的因素，即1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程实现问题。9/12/202433二性能指标的类型二性能指标的类型总的说来，综合问题中的性能指标可分为非优化型和优化型性能指标两种类型。两者的差别为：非优化型指标是一类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算是实现了综合目标，而优化型指标则是一类极值型指标，综合目标是使性能指标在所有可能的控制中使其取极小或极大值。v对于非优化型性能指标，常用的提法有：1、以渐近稳定作为性能指标，相应的综合题称为镇镇定定问问题题；2、以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题称为极点配置问题极点配置问题。；9/12/2024343、以使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解解耦耦问问题题。在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用；4、以使系统的输出y(t)无静差地跟踪一个外部信号作为性能指标，相应的综合问题称为跟踪问题跟踪问题。v对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态x和控制u的二次型积分性能指标 J。综合的任务就是确定u(t)，使相应的性能指标J极小。通常，将这样的控制u(t)称为最优控制，确切地说是线性二次型最优控制问题，即LQLQ调节器问题调节器问题。9/12/202435三、极点配置本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点为s =1，s =2,，s =n。如果被控系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵K，利用状态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。极点配置定理极点配置定理 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全能控。9/12/202436极点配置有两种方法：第一种方法是采用变换矩阵T，使系统具有期望的极点，从而求出矩阵k；第二种方法基于CaylayHamilton理论，通过矩阵特征多项式，可求出k(这种方法称为Ackermann公式)。在MATLAB中，一般可直接利用控制系统工具箱提供的place和acker函数进行极点配置设计，可免去繁琐的计算过程。 离散系统的极点配置和连续系统的极点配置基本相同，求解反馈增益阵k的方程实质上也是相同的。求解过程与连续系统一样。 在MATLAB中，可直接采用控制工具箱中的place和acker进行设计。9/12/202437vK=Place(A,B,P) 函数功能：给定满足能控性的系统矩阵参数A，B，并且给定所配置的n个闭环极点向量P，根据式（A-BK），由线性非奇异变换计算状态反馈矩阵K。vK=acker(A,B,P)函数功能：应用Ackermann极点配置算法，实现极点配置所需的状态反馈矩阵K。9/12/202438被控对象设计反馈控制器u=-kx，使闭环系统的极点为 ， ， 。Exp05_06.m解：变换系统状态方程判断系统的能控性通过状态反馈作极点配置系统的特征值9/12/202439Exp05_07.m被控对象设计反馈控制器u=-kx+k1r，使闭环系统的极点为 ， ， 。解：变换系统状态方程判断系统的能控性通过状态反馈作极点配置系统的特征值所配置闭环极点传递函数9/12/202440Exp05_08.m已知系统的传递函数为设计反馈控制器u=-kx，使闭环系统的极点为 ， ， 。解：变换系统状态方程判断系统的能控性通过状态反馈作极点配置系统的特征值9/12/202441 四系统状态观测器的设计四系统状态观测器的设计 若线性系统 v状态不能直接测量，如果系统完全可观，则可构造状态观测器，使观测器以渐进的方式趋进于原系统的极点，观测器以渐进的方式等价于原系统。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接量测，这种状态观测器均称为全阶(维)状态观测器。v估计小于n个状态变量（n为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称降阶观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或最小阶观测器。9/12/202442考虑如下线性定常系统假设被观测状态向量x可由如下动态方程中的状态 来近似，则该式表示状态观测器，其中Ke称为观测器的增益矩阵。为求出状态观测器的反馈增益阵ke，也可与极点配置类似的方法，有两种方法：第一种方法构造变换矩阵Q，使系统变成标准能观型，然后根据特征方程求出ke；第二种方法可采用Ackermann公式求出极点配置的反馈增益矩阵Ke。 MATLAB中由place和acker函数得到；最后求出状态观测器的反馈增益Ke。9/12/202443离散系统状态观测器的设计与连续系统类似，也是借助于对偶原理来完成。对离散系统构造对偶系统然后利用MATLAB的place和acker函数求得增益阵k，最后得状态观测器增益阵对偶原理：当且仅当系统S2状态能观测（状态能控）时，系统S1才是状态能控（状态能观测）的。9/12/202444Exp05_09.m 开环系统其中 ， ，设计状态观测器，使观测器的闭环极点为 ， ， 。解：首先为原系统构造对偶系统，然后可由变换法或Ackermann公式对对偶系统进行闭环极点配置的配置，得到反馈增益矩阵k，从而求出原系统状态观测器的反馈增益阵9/12/202445Exp05_10.m 线性系统设计状态观测器，使观测器的闭环极点为Exp05_11.m 线性系统设计调节器使闭环极点为设计状态观测器，使观测器的闭环极点为9/12/202446Exp05_12.m 开环系统其中假定输出y(x1)可测，设计状态观测器，使观测器的闭环极点为离散系统x(k+1)=gx(k)+hu(k)，其中设计反馈增益矩阵k，使系统的闭环极点为Exp05_13.m9/12/202447离散系统x(k+1)=gx(k)+hu(k)，其中设计反馈增益矩阵k，使系统具有无阻尼响应。解：系统具有无阻尼响应，就是使系统的闭环极点为Exp05_14.m离散系统 其中设计状态观测器，使系统的闭环极点为Exp05_15.m9/12/202448离散系统 ，其中设计状态观测器，使系统具有无阻尼响应。Exp05_16.mExp05_17.m 离散系统 其中设计调节器使闭环系统具有无阻尼响应；设计状态观测器，使观测器也具有无阻尼响应。9/12/202449第三节最优控制器设计本节将研究基于二次型性能指标的最优控制系统的设计。线性时不变系统线性二次型(LQ)最优控制器的任务是设计最优控制向量 u(t)=-Kx(t)的矩阵K，使得线性二次型最优控制性能指标达到极小。式中Q是正定（或正半定）Hermite或实对称矩阵，R是正定Hermite或实或实对称矩阵。在性能指标J中，第一项表示稳态误差，第二项表示总的暂态误差，第三项表示暂态过程中所消耗的控制能量。最优控制为u*(t)=-R-1BTPx(t)。其中P为代数Riccati方程的解。 9/12/202450基于二次型性能指标的最优控制系统和最优调节器系统的设计归结为确定矩阵K的各元素。采用二次型最优控制方法的一个优点是除了系统不可控的情况外，所设计的系统将是稳定的。在设计二次型性能指标J为极小的控制系统时，需要解黎卡提（Riccati）方程。MATLAB有一条命令lpr，它给出黎卡提方程的解，并能确定最优反馈增益矩阵。u(t)=-Kx(t)给出的线性控制律是最优控制律。所以，若能确定矩阵K中的未知元素，使得性能指标J达极小，则u(t)=-Kx(t)对任意初始状态x(0)而言均是最优的。图示为该最优控制系统的结构方块图。9/12/202451一二次型最优控制问题的一二次型最优控制问题的MATLABMATLAB解法解法v为使J最小，在MATLAB中，线性二次型调节器的设计直接采用lgr函数。 格式1： K,P,E=lqr(A,B,Q,R)函数功能：给定系统矩阵参数A，B和二次型约束矩阵Q、R，计算线性二次型最优控制状态反馈矩阵K、代数Riccati方程的解P和特征根E。可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的代数黎卡提(Riccati)方程。该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标在约束方程x=Ax+Bu条件下达到极小的反馈控制律u=-Kx9/12/202452格式2：K,P,E=lqr(A,B,Q,R,N)函数功能：除格式1的约束之外，增加状态与控制交叉项约束矩阵N，性能指标为vK,S=lqr2(A,B,Q,R) K,S=lqr2(A,B,Q,R,N) 函数功能：与函数lqr（）的功能相同，但所用算法不同，lqr2（）具有较高的数值计算可靠性。vX=are(A,B,C) 函数功能：代数Riccati方程求解函数 X为代数Riccati方程的解矩阵；B为非负对称矩阵；C为对称矩阵。9/12/202453vK,S,E=lqry(A,B,C,D,Q,R) 函数功能：带输出约束的二次型最优控制综合函数。离散系统线性二次型控制离散系统为x(k十1)GX(k)十hu(k)设计最优控制律U(k)-kx(k)，使性能指标最小。与连续系统类似的方法可得到k(r十hTph)-1hTpgpq十gTpg-gTPh(r十hTph)-1hTpg可利用MATLAB提供的dlqr函数直接进行设计。9/12/202454Exp05_18.m已知系统模型 ，性能指标为其中设计反馈控制u=-kx，使J最小。解：最优反馈增益矩阵K可通过求解下列关于正定矩阵P的黎卡提方程得到。K=1,1解得最优控制信号为u=-Kx=-x1-x2 9/12/202455Exp05_19.m已知系统模型 其中性能指标为其中设计最优控制器，并求出Riccati方程的解P及闭环系统a-b*k的特征值（闭环系统的极点）。9/12/202456对于某些系统，由于存在极点在s的右半平面，所以无论选择什么样的矩阵K，该系统都是不稳定的。因此，二次型最优控制方法不能用于该系统。在此情况下。这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。对此情况，MATLAB命令 k=lqr(a,b,q,r) K,P,E=lqr(a,b,q,r)不能求解。9/12/202457Exp05_20.m已知系统模型性能指标为其中设计反馈控制，使J最小。由于系统存在极点在s的右半平面，所以无论选择什么样的矩阵K，该系统都是不稳定的。因此，二次型最优控制方法不能用于该系统。9/12/202458Exp05_21.m已知系统模型其中设计最优控制器，使性能指标其中 ，R=0.019/12/202459Exp05_22.m已知系统模型，其中设计最优控制器，使性能指标最小。其中，R=19/12/202460Exp05_23.m已知系统模型 ，其中试采用输出反馈设计最优控制器u=-ky，使性能指标最小。其中Q=1，R=19/12/202461Exp05_24.m已知离散系统模型x(k+1)=gx(k)+hu(k)，其中设计最优控制器，控制律为u(k)=-kx(k)，使性能指标最小。其中 ，R=1 9/12/202462Exp05_25.m已知离散系统与控制器结构如图所示。k1，k2为控制器参数，要求设计最优控制器使性能指标J最小。解：由图可得9/12/202463因此得到系统方程 其中x(k)=x1(k)x2(k)T，k=k2-k1现设 并取R=1这样就可利用函数lqry进行设计，先求出k，进而得到k1、k2，最后得到闭环系统的单位阶跃响应。9/12/202464控制系统的开环传递函数为考察原系统的性能，并用线性二次型最优控制方法设计状态反馈控制律。Exp05_26.m9/12/202465v综上所述，基于最小值原理的线性二次型最优控制，通过求解代数Riccati方程，得到的状态反馈控制律K，可以使系统的各状态获得渐进稳定特性。它的不足之处在于，加权矩阵Q、R的值与系统响应性能之间的关系是定性的，往往不能一次得到满意的结果，需要多次调整它们的值得到满意的系统响应性能。9/12/202466三线性二次型最优控制问题的三线性二次型最优控制问题的MATLABMATLAB解法总结解法总结。v1.给定任意初始条件x(t0)，最优控制问题就是找到一个容许的控制向量u(t)，使状态转移到所期望的状态空间区域上，使性能指标达到极小。为了使最优控制向量u(t)存在，系统必须是状态完全可控的。v2.根据定义，使所选的性能指标达到极小的系统是最优的。在多数实际应用中，虽然对于控制器在“最优性”方面不会再提出任何要求，但是在涉及定性方面，还应特别指出，这就是基于二次型性能指标的设计，应能构成稳定的控制系统。9/12/202467v3.基于二次型性能指标的最优控制规律。具有如下特性，即它是状态变量的线性函数。这意味着，必须反馈所有的状态变量。这要求所有状态变量都能用于反馈。如果不是反有状态变量都能用于反馈，则需要使用状态观测器来估计不可测量的状态变量，并利用这些估值产生最优控制信号。v4.当按照时域法设计最优控制系统时，还需研究频率响应特性，以补偿噪声的影响。系统的频率响应特性必须具备这种特性，即在预料元件会产生噪声和谐振的频率范围区，系统应有较大的衰效应（为了补偿噪声的影响，在某些情况下，必须修改最优方案而接受次最优性能或修改性能指标）。9/12/202468v5.如果在给定的性能指标J中，积分上限是有限值，则可证明最优控制向量仍是状态变量的线性函数，只是系数随时间变化（因此，最优控制向量的确定包含最优时变矩阵的确定）。9/12/202469第四节Multisim在控制系统中的应用一二阶电路分析以运算放大器为核心的二阶电路，利用Multisim示波器来观测控制系统稳态误差电路的输出变化情况。该二阶系统的传递函数是： 调节电位器R的大小以及开关的开合，可以观察到二阶系统的延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间及超调量的变化等动态性能指标。当R变小时，系统的阻尼系数变大；反之系统的阻尼系数变小。 （Exp:二阶电路.ewb）9/12/202470二控制系统稳态误差控制系统传递函数（假设电位器数值为100K时） 由终值定理得出：当R（S）为阶跃信号的时候，此时有：观察改变系统结构 对系统稳态误差的影响（exp:控制系统稳态误差电路.ewb ）9/12/202471三控制系统串联矫正分析利用开关的开合模拟串联校正系统退出与加入，通过Multisim的示波器进行观察，可以明显发现加入串联校正系统之后，原系统的动态响应特性得到改善，超调没有了，收敛速度加快。（exp:控制系统串联校正分析电路 .ewb ）9/12/202472本章小结v经典控制理论的系统校正。在原系统特性的基础上，将原特性加以修正，例如改变原系统根轨迹的走向，使之满足给定的性能指标，修改原系统的波得图使之成为希望的形状等都属于控制系统的校正内容。v状态空间基础上的极点配置方法。对给定系统可进行任意闭环极点配置的充要条件是系统状态完全能控 。v基于最优控制理论的线性二次型最优模型。利用最小值原理设计状态反馈控制律，使线性二次型最优控制指标J最小 ，是线性系统综合中常用的方法之一。vMultisim在控制系统中的应用，可以方便地观察参数的变化对电路性能的影响。9/12/202473