6.5分布和微观状态分布和微观状态 设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积V能级：简并度：粒子数：分布： 以符号al表示数列a1， a2， ， al， 称为一个分布。表示粒子数在各个能级上的分布。显然：一、一、 分布：分布：1、分布概念：、分布概念：2、分布和微观状态、分布和微观状态1) 给定一个分布al,只是确定了每个能级l上的粒子数al要确定系统的微观状态，还要求确定每一个个体量子态上的粒子数，即必须确认每一个每一个能级能级l上上al个粒子占据个粒子占据l 个量子态的方式。个量子态的方式。Bose系统Femi系统Boltzmann系统确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态。因此，在分布给定之后，为了确定系统的微观运动状态，还必须确定各能级各能级l上是哪上是哪al 个粒子，以及个粒子，以及能级能级l 上上al个粒子占据个粒子占据l 个量子态的方式。个量子态的方式。2) 对应于一个分布al，系统的微观状态数（）有很多。排列组合问题排列组合问题二、对二、对应于一个分布的系统的微观状态数应于一个分布的系统的微观状态数1.玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制对粒子编号1) 能级l 上，al个编了号的粒子占据l 个量子态的方式：共有 种：2) 各个能级a1,a2, ,al上, 粒子占据1,2, , l,各量子态的总方式：总占据方式：3) 交换两个粒子将给出系统新的状态，N个粒子的总交换数4) 总交换数中应去除同能级上al个粒子的交换数交换不同能级上的粒子才给出系统新的状态故玻尔兹曼系统与分布al相应的系统的微观状态数为：例：玻尔兹曼系统N3，1 =2=3 =1， al=2,1,0。求系统对应分布al的微观状态数。 2.玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳 的粒子数不受限制1) al个粒子占据l个量子态时可能的方式将量子态排成一行将每个量子态上的粒子排在量子态的后面1234512345固定第一个量子态，其它的量子态和粒子交换所能给出的排列数为：(l al1)!量子态交换不给出新的状态，下述微观态与前述微观态是同一态12345量子态的交换数: (l1)!粒子交换不给出新的状态，粒子的交换数: al!故al个粒子占据l个量子态的可能方式有：2) 各能级上粒子占据各量子态是彼此独立的事件，因此 玻色系统与al对应的系统的微观状态数为：例：玻色系统N3， 1 =2=3 =1， al=2,1,0。求系统对应分布al的微观状态数。 3. 费米系统：全同粒子不可分辨；根据泡利不相容原理， 每个个体量子态上只能容纳一个费米子。1) 从l个量子态挑出al个被粒子占据2) 与al对应的系统的微观状态数例：费米系统N3， 1 =2=3=1， al=2,1,0。求系统对应分布al的微观状态数。 总结：与分布al对应的系统的微观状态数玻耳兹曼系统-玻色系统-费米系统-例： 求可能的微观状态数解：三、经典极限条件（非简并条件），三种系统微观态之间的关系三、经典极限条件（非简并条件），三种系统微观态之间的关系单个量子态的平均粒子数远小于1。非简并性条件 玻色系统和费米系统中， al个粒子占据l 个量子态本来是存在着关联的，满足经典极限条件时，粒子间的关联可以忽略。经典极限条件下是由于粒子的全同性影响带来的结果！(1)经典极限条件下，每个量子态上平均粒子数远远小于1，粒子间的相关可以忽略。四、经典统计的分布和微观态数四、经典统计的分布和微观态数(2)粒子全同性的影响体现在因子1/N!.(3)相格： 经典力学，h0 可以任意小，量子力学限制h0 的最小值为普朗克常数 h; h0 越小，描述越精确。 具有自由度r的粒子的相空间的相格的大小为： (4)相空间可以被分为许多体积元体积元l内的粒子所具有的能量体积元l粒子的运动状态数类似于玻尔兹曼系统