在解析几何中的运用在解析几何中的运用授授课 戴林元戴林元 向量本身是一个几何概念，但它有代数方式和几何方式两种表示方法。高考对向量的调查主要是两个方面：根本概念、根本运算、根本性质的调查；作为工具来调查。向量问题易于数形结合，因此它可以称为高中数学知识的一个交汇点。不论哪一类都要在熟习向量的代数运算的根底上，进一步读懂向量的几何意义。要点要点考点考点1向量共线的充要条件向量共线的充要条件: 与 共线 2向量垂直的充要条件：向量垂直的充要条件：3两向量相等充要条件：两向量相等充要条件：且方向一样。要点要点考点考点(4)1.直线直线 x2y20 的一个方向向量是的一个方向向量是-( ) A. (1,2) B . (1,-2) C.(2,1) D.(2,-1)2.2019年高考题年高考题 设坐标原点为设坐标原点为O,抛物线抛物线与过焦点的直线交于与过焦点的直线交于A,B两点两点,那么那么 等于等于-( ) A. B. C.3 D.-3DB课前前热身身三种思三种思绪3.2019年高考题年高考题 知两点知两点 ，假设，假设 点满足点满足 ，其中，其中 且有，且有，那么点那么点C的轨迹方程为的轨迹方程为-( ) D 课前前热身身思绪一：利用向量的坐标运算 思思绪二：利用向量的几何意二：利用向量的几何意义例例1.点到直线间隔公式的推导。点到直线间隔公式的推导。 知点知点P坐标坐标( x0 ,y0 )，直线，直线l的方程的方程 Ax+By+C=0，P到直线到直线l的间隔是的间隔是d，那么，那么典例分析典例分析例例2.2.椭圆 的焦点的焦点为 ，点，点P P为其上的其上的动点，当点，当 为钝角角时，求点，求点P P横坐横坐标的取的取值范范围。解：解：例例3.知知:过点点C(0,-1)的直的直线L与抛物与抛物线y= 交于交于A、B两点，点两点，点D(0,1)，假，假设ADB为钝角角求直求直线L的斜率取的斜率取值范范围。CDABoxy解：设解：设A(x1,y1),B(x2,y2),又又由于由于ADB为钝角所以角所以即即x1x2+(y1-1)(y2-1)0)和直和直线l:x=-1,B是直是直线l上的上的动点，点，BOA的角平的角平分分线交交AB于点于点C,求点求点C的的轨迹方程。迹方程。XYAOCB-1L解：解：设B(-1,t),C(x,y)那么那么0xa,由由cos =cos得得由由A、C、B三点共三点共线知知 又又 (x-a)(t-y) - (-1- (x-a)(t-y) - (-1-x)y=0x)y=0整理得：整理得：将将2代入代入1得：得：XYAOCB-1L当当y0时，得：，得：(a-1)x2-(a+1)y2+2ax=0当当y=0时，时，t=0,C点坐标为点坐标为0，0也满足以上方程。也满足以上方程。故所求的故所求的轨迹方程迹方程为(a-1)x2-(a+1)y2+2ax=0(0x0) =2px(p0)的焦点的焦点为F F， 经过点点F F的直的直线交抛物交抛物线于于A A、B B两点，点两点，点C C在抛物在抛物 线的准的准线上，且上，且BCxBCx轴。 证明明: :直直线ACAC经过原点原点O O证明：证明： ，设，设A A ，B B 那么那么C C 即即 亦即亦即 又又 ， = = 故故A A、O O、C C三点共线，即直线三点共线，即直线ACAC经过原点经过原点O O。 因因A A、B B、F F三点共三点共线，那么有，那么有 yxAFBCo 又如2019年理工类第26题： 知椭圓xyLpRQ例例4o解：由题意可设：均代入把把、可得可得 由于点P、R分别在知直线和椭圆上，分别代入可得由、即得 整理得 这就是点Q的轨迹方程，其轨迹是以1，1为中心，长、短半轴分别为 且长轴与x轴平行的椭圆，但要去掉坐标原点。 这是这是2019年理工农医类全国高考数学试年理工农医类全国高考数学试题，是一道有难度的多动点轨迹问题。当年题，是一道有难度的多动点轨迹问题。当年高考提供了两种参考答案，其过程曲折冗长，高考提供了两种参考答案，其过程曲折冗长，运算相当复杂。而如今用向量法求解，不仅运算相当复杂。而如今用向量法求解，不仅大大减少运算量，而且过程也变得平坦、自大大减少运算量，而且过程也变得平坦、自然。更为有趣的是，经过这种解法还可以看然。更为有趣的是，经过这种解法还可以看到，所求的轨迹方程竟是两知方程相减消去到，所求的轨迹方程竟是两知方程相减消去常数项后的结果，现实上，这一结论还可以常数项后的结果，现实上，这一结论还可以推行到普通椭圆或双曲线。推行到普通椭圆或双曲线。 向量证法一气呵成，对称、调和、一致向量证法一气呵成，对称、调和、一致给人以美的享用，它是处理数学问题的一把给人以美的享用，它是处理数学问题的一把利剑，是数学美的使者。利剑，是数学美的使者。例5 2019年全国卷2文科)四川、吉林、黑龙江、云南 给定抛物线C：y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点()设l的斜率为1，求 夹角的大小；()设 4，9，求l在y轴上截距的变化范围解：IC的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么有x1+x2=6,x1x2=1， =(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3. = 所以 夹角的大小为(II)解法1：由题设知得： (x2-1,y2)=(1-x1,-y1)，即由2得y22=2y12, y12=4x1,y22=4x2,x2=2x1。(3)联立(1)(3)解得x2=.依题意有0.B(,2 )或B(,-2 )，又F(1,0),得直线l的方程为(-1)y=2 (x-1)或(-1)y=-2(x-1)。当4,9时，l在y轴上的截距为 由 在4，9上是递减的，直线l在y轴上截距的变化范围是 解法2：由定比分点公式求解。例6、2019江苏21. 知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F-m,0(m是大于0的常数). ()求椭圆的方程； ()设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 假设 求直线的斜率. 1设所求椭圆方程是由知得，所以，故所求椭圆方程是2设，直线，那么点，当时，由于，由定比分点坐标公式得，又点在椭圆上，所以，；当时，所以得，解得，故直线的斜率是。本小题主要调查椭圆的规范方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法和综合解题才干。总分值14分。(I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率 。4分欢迎交流指点迎交流指点