1.1.掌握等差数列的判定方法掌握等差数列的判定方法.(.(重点、难点重点、难点) )2.2.求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定项求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定项. (. (重点重点) )等差数列关键词的理解等差数列关键词的理解关键词关键词理理 解解“从第从第2 2项起项起”如果一个数列，不从第如果一个数列，不从第2 2项起，而是从第项起，而是从第3 3项项或第或第4 4项起，每一项与它的前一项的差都等于项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列同一个常数，那么此数列不是等差数列. . “同一个同一个 常数常数”如果一个数列，从第如果一个数列，从第2 2项起，每一项与它的前项起，每一项与它的前一项的差尽管是常数，这个数列也不一定是一项的差尽管是常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数可能不相同等差数列，因为这些常数可能不相同. . “公差公差d d”求数列公差时，可用求数列公差时，可用d=ad=an+1n+1-a-an n或者或者d=ad=an n-a-an-1n-1（n2n2）来求）来求. . 当公差当公差d=0d=0时，数列是等差数列吗？时，数列是等差数列吗？提示：提示：是是. .可以从两方面考虑，一是从定义考虑，当公差可以从两方面考虑，一是从定义考虑，当公差d=0d=0时时, ,满足从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一满足从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，二是从等差数列的通项公式来看，当个常数，二是从等差数列的通项公式来看，当d=0d=0时时a an n=a=a1 1，数列数列aan n 为常数列为常数列, ,仍为等差数列仍为等差数列. .等差数列的判断（定义法）等差数列的判断（定义法） 等差数列的判断方法等差数列的判断方法定义法定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用据，要证明一个数列是等差数列，可用a an+1n+1-a-an n=d=d（常数）（常数）或或a an n-a-an-1n-1=d=d（d d为常数且为常数且n2n2）. .当给出的通项公式为当给出的通项公式为a an n= =pn+qpn+q形式时，有时也要通过定义来证明形式时，有时也要通过定义来证明. . 若要说明一个数列不是等差数列，则只需举若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可出一个反例即可. .【例例1 1】判断下列各组数是否构成等差数列：判断下列各组数是否构成等差数列：（1 1）2 2，2 2，2 2，2 2；（2 2）cos0,cos1,cos2,cos3;cos0,cos1,cos2,cos3;（3 3）3m,3m+a,3m+2a,3m+3a;3m,3m+a,3m+2a,3m+3a;（4 4）a-1,a+1,a+3.a-1,a+1,a+3.【审题指导审题指导】本题考查的是等差数列的定义，可以直接看本题考查的是等差数列的定义，可以直接看所给各项是否符合等差数列的定义所给各项是否符合等差数列的定义. .【规范解答规范解答】（1 1）2-2=2-2=2-22-2= =2-22-2=0=0，数列是等差数列数列是等差数列. .（2 2）cos1-cos0cos2-cos1,cos1-cos0cos2-cos1,数列不是等差数列数列不是等差数列. .（3 3）（3m+a3m+a）-3m=-3m=（3m+2a3m+2a）- -（3m+a3m+a）= =（3m+3a3m+3a）- -（3m+2a3m+2a）=a,=a,数列是等差数列数列是等差数列. .（4 4）（a+1a+1）- -（a-1a-1）= =（a+3a+3）- -（a+1a+1）=2,=2,数列是等差数列数列是等差数列. . 求数列通项公式或特定项的方法求数列通项公式或特定项的方法在等差数列在等差数列aan n 中，首项中，首项a a1 1与公差与公差d d是两个最基本的量，有是两个最基本的量，有关等差数列的问题，一般思路是化为关于关等差数列的问题，一般思路是化为关于a a1 1与与d d的方程组求的方程组求解解. .从而得出通项公式从而得出通项公式. .而特定项的求法则有两种方法：一而特定项的求法则有两种方法：一是借助通项公式代入求解是借助通项公式代入求解. .二是根据已知和特定项的关系求二是根据已知和特定项的关系求解解. .求数列的通项公式或特定项求数列的通项公式或特定项【例例2 2】已知递减等差数列已知递减等差数列aan n 的前三项和为的前三项和为1818，前三项的，前三项的乘积为乘积为6666，求数列，求数列aan n 的通项公式，并判断的通项公式，并判断-34-34是数列是数列aan n 的项吗？的项吗？【审题指导审题指导】由数列前三项和为由数列前三项和为1818，前三项积为，前三项积为6666，列出，列出关于关于a a1 1和和d d的方程组，通过解方程组可求解的方程组，通过解方程组可求解a a1 1和和d,d,即可求出即可求出a an n, ,注意递减等差数列的条件；由注意递减等差数列的条件；由a an n=-34=-34求求n n，然后由，然后由nNnN+ +可可判断判断. .【规范解答规范解答】设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d.d.依题意得依题意得解得解得 或或数列数列aan n 是递减等差数列，是递减等差数列，d d0.0.故取故取a a1 1=11,d=-5,=11,d=-5,aan n=11+=11+（n-1n-1）（-5-5）=-5n+16,=-5n+16,即等差数列即等差数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=-5n+16.=-5n+16.令令a an n=-34,=-34,即即-5n+16=-34,-5n+16=-34,得得n=10,-34n=10,-34是数列是数列aan n 的第的第1010项项. .等差数列在实际生活中的应用等差数列在实际生活中的应用 关于等差数列的主要应用及思想关于等差数列的主要应用及思想 在利用等差数列解决实际问题时，一定要注意在利用等差数列解决实际问题时，一定要注意实际问题的意义实际问题的意义. .【例例3 3】某公司经销一种数码产品，第某公司经销一种数码产品，第1 1年可获利年可获利200200万元万元. .从第从第2 2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少一年减少2020万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？亏损？【审题指导审题指导】利用等差数列的定义结合已知条件确定是等差利用等差数列的定义结合已知条件确定是等差数列问题，根据数列问题，根据a a1 1和和d d求出通项公式，把问题转化为求出通项公式，把问题转化为a an n0,0,解解出答案，回归到实际问题中去出答案，回归到实际问题中去. .【规范解答规范解答】由题设可知第由题设可知第1 1年获利年获利200200万元，第万元，第2 2年获利年获利180180万元，第万元，第3 3年获利年获利160160万元，万元，每年获利构成等差数列，每年获利构成等差数列aan n,且当且当a an n0 0时，该公司会出现亏损时，该公司会出现亏损. .设从第设从第1 1年起，第年起，第n n年的利润为年的利润为a an n，则，则a a1 1=200,a=200,an n-a-an-1n-1=-20,=-20,n2,nNn2,nN+ +. .所以每年的利润所以每年的利润a an n可构成一个等差数列可构成一个等差数列aan n ，且，且公差公差d=-20.d=-20.从而从而a an n=a=a1 1+(n-1)d=220-20n.+(n-1)d=220-20n.若若a an n0,0,则该公司经销这一产品将亏损，则该公司经销这一产品将亏损，所以由所以由a an n=220-20n=220-20n0,0,得得n n11,11,即从第即从第1212年起，该公司经销此产品将亏损年起，该公司经销此产品将亏损. .含数列相邻两项关系的问题含数列相邻两项关系的问题 解含有数列相邻两项关系的题目的技巧解含有数列相邻两项关系的题目的技巧这类含有相邻两项关系的题目，一般的处理思路有两种：这类含有相邻两项关系的题目，一般的处理思路有两种：一是作差，将关系式代入，整理后，得到常数，从而证明一是作差，将关系式代入，整理后，得到常数，从而证明数列是等差数列，二是把项数代入关系式，求出前几项，数列是等差数列，二是把项数代入关系式，求出前几项，然后根据特点归纳总结出通项公式，然后证明正确然后根据特点归纳总结出通项公式，然后证明正确. .【例例】已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1= ,a= ,an n= = （n2,nNn2,nN+ +），），数列数列 b bn n 满足满足 （nNnN+ +）. .（1 1）求数列）求数列 b bn n 的通项公式；的通项公式；（2 2）求数列）求数列aan n 中的最大项和最小项，并说明理由中的最大项和最小项，并说明理由. .【审题指导审题指导】首先利用等差数列的定义去说明数列首先利用等差数列的定义去说明数列 b bn n 为为等差数列，从而可以得到等差数列，从而可以得到b bn n，再利用，再利用a an n与与b bn n的关系，就可的关系，就可确定确定a an n了，然后结合函数的有关性质去求最值了，然后结合函数的有关性质去求最值. .【规范解答规范解答】（1 1）因为）因为a an n= = （n2,nNn2,nN+ +），），b bn n= = , ,所以当所以当n2n2时，时，b bn n-b-bn-1n-1= - = - =又又b b1 1= ,= ,所以数列所以数列 b bn n 是以是以 为首项，以为首项，以1 1为公为公差的等差数列差的等差数列. .b bn n + +（n-1n-1）1= .1= .（2 2）由（）由（1 1）知，）知，b bn n= ,= ,则则设函数设函数f f（x x）= ,= ,易知易知f f（x x）在区间（）在区间（-, -, ）和）和（ ,+,+）内为减函数，所以当）内为减函数，所以当n=3n=3时，时，a an n取得最小值取得最小值-1-1；当当n=4n=4时，时，a an n取得最大值取得最大值3.3.【典例典例】（20112011杭州高二检测）已知杭州高二检测）已知aan n 为等差数列，首为等差数列，首项为项为 ，它从第，它从第1010项开始比项开始比1 1大，那么公差大，那么公差d d的取值范围是的取值范围是( )( )（A A）d d （B B）d d（C C） d d （D D） dd【审题指导审题指导】解决本题的关键是正确地理解题目中的已知解决本题的关键是正确地理解题目中的已知条件条件“它从第它从第1010项开始比项开始比1 1大大”，挖掘其隐含条件，挖掘其隐含条件a a9 91.1.然然后进行解决后进行解决. .【规范解答规范解答】选选D.D.由题可得由题可得a a1 1= ,= ,根据等差数列的通项公式可得根据等差数列的通项公式可得从而解得从而解得 故选故选D.D.【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见错误常见错误错错 误误 原原 因因误选误选A A原因是没有深刻理解原因是没有深刻理解“从第从第1010项开始比项开始比1 1大大”的隐的隐含条件，直接利用含条件，直接利用a a10101 1解出的结果解出的结果. . 误选误选C C原因是理解到了原因是理解到了“从第从第1010项开始比项开始比1 1大大”这句话有这句话有隐含条件，但是并没有正确地挖掘出来，而是认隐含条件，但是并没有正确地挖掘出来，而是认为为a a9 91,1,而实际上是而实际上是a a9 911，其实解决本题能正确，其实解决本题能正确得到得到a a9 911后，直接观察，只有后，直接观察，只有D D项含等号项含等号. .1 1等差数列等差数列-3-3，-7-7，-11-11，的一个通项公式为的一个通项公式为( )( )（A A）4n-7 4n-7 （B B）-4n-7-4n-7（C C）4n4n1 1 （D D）-4n-4n1 1【解析解析】选选D.aD.a1 1-3-3，d d-4-4，a an na a1 1(n-1)d(n-1)d-3-3(n-1)(n-1)(-4)(-4)-4n-4n1 1，故选，故选D.D.2 2若数列若数列aan n 的通项公式的通项公式a an n2n2n5 5，则此数列是，则此数列是( )( )（A A）公差为）公差为2 2的等差数列的等差数列（B B）公差为）公差为5 5的等差数列的等差数列（C C）首项为）首项为5 5的等差数列的等差数列（D D）公差为）公差为n n的等差数列的等差数列【解析解析】选选A.aA.an n1 1-a-an n2(n2(n1)1)5-(2n5-(2n5)5)2 2d d，a a1 17 7，故选，故选A.A.3.2 0113.2 011是等差数列是等差数列1 1，4 4，7 7，1010，的第的第( )( )(A)669(A)669项项 (B)670(B)670项项 (C)671(C)671项项 (D)672(D)672项项【解析解析】选选C.C.由于由于1 1，4 4，7 7，1010，是等差数列，首项是等差数列，首项a a1 1=1,=1,公差公差d=3.d=3.则则a an n=1+(n-1)=1+(n-1)3=3n-2,3=3n-2,令令3n-2=2 011,3n-2=2 011,得得n=671.n=671.故故选选C.C.4.4.一个首项为一个首项为2323，公差为整数的等差数列，如果前，公差为整数的等差数列，如果前6 6项均为项均为正数，第正数，第7 7项起为负数，则它的公差为项起为负数，则它的公差为( )( )（A A）-2 -2 （B B）-3 -3 （C C）-4 -4 （D D）-6-6【解析解析】选选C.C.设设a an n=23+=23+（n-1n-1）d d，则，则 即即 ，解得，解得又因为又因为dZdZ，所以，所以d=-4.d=-4.5.5.若若aan n 为等差数列，为等差数列，a a2 2=10,a=10,a1010=8,=8,则则a a1515=_.=_.【解析解析】aan n 为等差数列，设公差为为等差数列，设公差为d,d,则则 答案：答案：6 6判断数判断数52,2k52,2k7(kN7(kN+ +) )是否为等差数列是否为等差数列aan n ：-5-5，-3-3，-1,1-1,1，中的项；若是，是第几项？中的项；若是，是第几项？【解析解析】由题意可知，等差数列由题意可知，等差数列aan n 的首项的首项a a1 1-5-5，公差，公差d d(-3)-(-5)(-3)-(-5)2 2，通项通项a an n-5-52(n-1)2(n-1)2n-72n-7，令令2n-72n-75252，解得，解得n n ，5252不是数列不是数列aan n 中的项中的项令令2n-72n-72k2k7 7，解得，解得n n(k(k7)N7)N+ +，2k2k7 7是数列是数列aan n 中的项，是第中的项，是第k k7 7项项