波形估计波形估计 信号的被估计参量是随机过程或随机的信号的被估计参量是随机过程或随机的未知过程，则为波形估计。未知过程，则为波形估计。 波形估计是动态估计，信号的参数是随波形估计是动态估计，信号的参数是随时间变化的。时间变化的。 给定有用信号的加性噪声的混合波形，给定有用信号的加性噪声的混合波形，寻求一种线性运算作用于此混合波形，得到寻求一种线性运算作用于此混合波形，得到的结果是信号与噪声的最佳分离，最佳的含的结果是信号与噪声的最佳分离，最佳的含义就是使估计的均方误差最小。义就是使估计的均方误差最小。线性滤波器线性滤波器1) =0，则为滤波。，则为滤波。2) 0，则为预测（外推）。，则为预测（外推）。 3) 0，则为平滑（内插）。，则为平滑（内插）。例例1: 设信号为设信号为S(t)为均值为零的平稳随机过程。为均值为零的平稳随机过程。求求 的估计的估计解解: 采用线性最小均方误差估计采用线性最小均方误差估计最小最小由正交原理由正交原理则则估计误差的方差为估计误差的方差为例例2: 设信号为设信号为S(t)为均值为零的平稳随机过程。为均值为零的平稳随机过程。用用 及其导数及其导数 对对 进行预测。进行预测。解解:由线性最小均方误差估计和正交原理由线性最小均方误差估计和正交原理由于由于由于由于例例3： 考虑平滑问题，已知观测波形在两个端点的数据考虑平滑问题，已知观测波形在两个端点的数据S(0)和和S(T)，估计（，估计（0，T）区间内任意时刻）区间内任意时刻t的信号的信号S(T)。解解:由线性最小均方误差估计和正交原理由线性最小均方误差估计和正交原理一、维纳滤波一、维纳滤波 维纳滤波器就是在最小均方误差标准下维纳滤波器就是在最小均方误差标准下的最佳滤波器。的最佳滤波器。或或式中式中为冲击响应。为冲击响应。为加权函数。为加权函数。在宽平稳随机过程情况下：在宽平稳随机过程情况下：我们考虑的是我们考虑的是LTI（线性时不变系统），系统（线性时不变系统），系统参数与时间无关。即参数与时间无关。即误差误差均方误差均方误差寻求维纳滤波器的问题就归结为求使寻求维纳滤波器的问题就归结为求使 达到最小值的线性系统的加权函数达到最小值的线性系统的加权函数 。用变分法解决：用变分法解决：以受扰加权函数以受扰加权函数 代替代替 对对 求导，并令求导，并令 时该导数为时该导数为0。得得非因果解：非因果解：作拉普拉斯变换作拉普拉斯变换当信号与噪声不相关：当信号与噪声不相关：最小均方误差为：最小均方误差为：当信号与噪声不相关，且当信号与噪声不相关，且 =0时时： 信号与噪声的功率谱在频域上重叠越少信号与噪声的功率谱在频域上重叠越少,滤波效果就越好。滤波效果就越好。例例1、如信号谱为、如信号谱为噪声谱为噪声谱为求出最佳的非因果滤波器（求出最佳的非因果滤波器（ =0 ）。）。解：解：例例2、 与与 均值为零，互不相关均值为零，互不相关设计一个维纳滤波器设计一个维纳滤波器 的冲击响应的冲击响应解：解：因果解：因果解：频域解法：频域解法：已知输入和输出谱函数已知输入和输出谱函数或或而功率谱而功率谱 与相关函数与相关函数 的关系为：的关系为：如如则则对对 的解，应有的解，应有例例3、如信号谱为、如信号谱为噪声谱为噪声谱为求出最佳的因果滤波器（求出最佳的因果滤波器（ =0 ）。）。解：解：二、卡尔曼滤波二、卡尔曼滤波特点：特点：1、采用最小均方误差准则。、采用最小均方误差准则。 2、放弃用冲击响应和系统函数描述线、放弃用冲击响应和系统函数描述线性系统。性系统。 3、用状态变量描述线性系统。、用状态变量描述线性系统。 4、用正交原理代替维纳、用正交原理代替维纳-霍夫方程。霍夫方程。 5、用递推快速求解。、用递推快速求解。 卡尔曼滤波不需要全部过去的观测数据，卡尔曼滤波不需要全部过去的观测数据，它只是根据前一个估计值它只是根据前一个估计值 和最近一个和最近一个观测值观测值 来估计信号的当前值。来估计信号的当前值。卡尔曼滤波器用递推公式计算估计值：卡尔曼滤波器用递推公式计算估计值：其中，其中， 和和 由正交原理确定，由正交原理确定，以保证以保证 是均方误差最小。是均方误差最小。