测 量 平 差 太原理工大学测绘科学与技术系2021/6/31第二章第二章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 2021/6/32 1 测量平差概述 2 测量平差的数学模型 3 函数模型的线性化 4 最小二乘原理 2021/6/332-1 2-1 测量平差概述量平差概述 在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。2021/6/34测量平差概述在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。 2021/6/35测量平差概述在测量工作中，并不是对模型中的所有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个，当观测值个数小于必要观测个数，即nt，设： r=n-t 式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为多余观测个数，在统计学中也叫自由度。 2021/6/36测量平差概述有了多余观测，观测值之间必然不能满足理论上的条件方程，即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于几何模型。为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值（又叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值。任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测值，是由观测值加上改正数而得到，观测值的改正数，它们必须在计算之前被计算出来。但这种改正数有无数多组（如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角度讲，只有一组改正数能得到最优解。为求唯一的一组最优改正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。 2021/6/372-2 测量平差的数学模型测量平差的数学模型 在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些几何量的大小等有关数量问题，因此，常考虑如何建立相应的数学模型及如何解算这些模型。由于测量观测值是一种随机变量，所以，平差的数学模型与传统数学上的模型不同，它不仅要考虑描述已知量与待求量之间的函数模型，还要考虑随机模型，在研究任何平差方法时，函数模型和随机模型必须同时予以考虑。 2021/6/38函函 数数 模模 型型 1. 条件平差法条件平差法 2. 附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法 3. 间接平差法间接平差法(参数平差法参数平差法) 4. 附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差 5. 附有条件的条件平差（综合平差模型）附有条件的条件平差（综合平差模型） 2021/6/391. 条件平差法条件平差法一般而言，如果有n个观测值，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程，即 如果条件方程为线性形式，则可以直接写为 将 代入，并令 则上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。 2021/6/3102. 附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法在平差问题中，设观测值个数为n，必要观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为未知参数，且0 ut,每增加一个参数应增加一个条件方程，因此，共需列出r+u个条件方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参数的条件平差法。 2021/6/3112. 附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，0 ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u- t个参数必定是t个独立参数的函数，即在u个参数之间存在着s个函数关系式。方程的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的s个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。 2021/6/3154. 附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差其函数模型的一般形式为 线性形式的函数模型为 将 代入，并令 则 这就是附有条件的间接平差的函数模型 2021/6/3165.附有条件的条件平差（综合平差模型）附有条件的条件平差（综合平差模型）附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题，若增选了u个参数，不论ut，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加1个方程，故方程的总数为r+u个。如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式，则应列出s个的限制条件方程，除此之外再列出 c=r+u-s 个一般条件方程，形成函数模型 。2021/6/3175.附有条件的条件平差（综合平差模型）附有条件的条件平差（综合平差模型）函数模型如下 若为线性形式，则为 考虑到 ，则这就是附有条件的条件平差的函数模型。2021/6/318平差的随机模型平差的随机模型 进行平差时除建立其函数模型外，还要同时考虑到它的随机模型，亦即观测向量的协方差阵： 式中D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵， 为单位权方差。函数模型连同随机模型，就称为平差的数学模型。在进行平差计算前，函数模型和随机模型必须首先被确定，前者按上面介绍的方法建立，后者须知道P、Q、D其中之一。一般是按第一章介绍的方法进行平差前经验定权。可以通过平差计算求出其估值，然后根据公式 求得D的估值。2021/6/3192-3 2-3 函数模型的线性化函数模型的线性化 设有函数按台劳级数在近似值处展开，略去二次和二次以上各项，于是有 若令 则函数的线性形式为2021/6/320条件平差法线性化后的形式条件平差法线性化后的形式 对照线性化一般形式，则有 令 有 上式即为条件平差的线性函数模型。 2021/6/321附有参数的条件平差线性化后的形式附有参数的条件平差线性化后的形式对照线性化一般形式，则有 令 有 上式即为附有参数的条件平差的线性函数模型。2021/6/322间接平差法线性化后的形式间接平差法线性化后的形式对照线性化一般形式，则有 令 有 上式即为间接平差法平差的线性函数模型。2021/6/323附有条件的间接平差线性化后的形式附有条件的间接平差线性化后的形式因为令则线性化后的模型为 2021/6/324附有条件的条件平差线性化后的形式附有条件的条件平差线性化后的形式对照线性化一般形式，则有附有条件的条件平差的线性函数模型。2021/6/3252-4 2-4 最小二乘原理最小二乘原理 如果只对几何模型中的必要元素进行观测，而没有多余观测，则在观测值之间不可能产生任何函数关系式，也不存在平差问题。只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。例如为确定一个三角形的大小和形状，必要观测数为t=3，如果实际观测了一边三角（n=4）,则存在一个多余观测（r=n-t=1）。现以一边和其中任意两个角作为一个组合来确定三角形的大小和形状，则有三种组合，由于观测值不可避免地含有偶然误差，三种组合所计算的结果将出现微小差别，这说明在具有多余观测的情况下，将无法唯一的确定模型的解。 2021/6/3262-4 2-4 最小二乘原理最小二乘原理从函数模型来考虑，由于存在一个多余观测，三个内角真值之间就存在一个条件方程，即：考虑到 ，代入上式得 式中 称为条件方程的闭合差或常数项，它是可以根据观测值计算出来的。由于观测值的真值不知道，所以真误差是未知量。要确定真误差的值，显然其解是不唯一的。要确定满足函数模型的唯一的一组解，如果不另外附加一定的约束条件，那是不可能的。到底应该采用什么样的约束条件，才能使模型得到一组具有最佳性质的解呢？2021/6/3272-4 2-4 最小二乘原理最小二乘原理 在测量工作及其它科学工程领域，应用最早也最广泛的就是所谓的“最小二乘准则”： 在满足最小二乘准则下求得的真误差称为估值，用表示，测量工作中习惯上用符号代替，因此最小二乘准则常表达为： 由于根据最小二乘准则可以求得真误差估值，也就可以求得观测值的估值，其计算公式为 式中 称为观测值的改正数， 称为观测值 的估值，或平差值、最或然值。 2021/6/3282-4 2-4 最小二乘原理最小二乘原理当 为非对角阵，表示观测值相关，按 进行的平差称为相关观测平差。当 为对角阵，表示观测值不相关，此时最小二乘准则可表示为纯量形式，即： 特别地，当观测值不相关且等精度时，权阵为单位阵，此时最小二乘准则可表示为 估计的准则有许多种，最小二乘准则是其中的一种，还有一种常用的估计叫做最大似然估计，这种估计要求事先知道观测量的概率分布函数。一般认为测量观测值向量是服从正态分布的随机变量，其概率分布密度函数为2021/6/3292-4 2-4 最小二乘原理最小二乘原理 所谓极大似然估计，就是要在概率分布密度函数达到极大的条件下来对真误差进行估计。显然，当 达到极小时，概率分布密度函数可取得极大值，仍用 表示对的 估计结果，即要求： 相当于 显然，当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计的结果是一致的。 2021/6/330 再 见2021/6/331GPS卫星导航定位原理与方法 著译者: 刘基余 出版者：科学出版社 2021/6/332部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！