2.1 2.1 圆的标准方程圆的标准方程rxyO厦门市松柏中学数学组厦门市松柏中学数学组 高超敏高超敏 解解析析几几何何的的基基本本思思想想几几何何问问题题代代数数化化生活中的圆生活中的圆毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派一切平面图形中，一切平面图形中，圆形是最美的图形，圆形是最美的图形，一切空间图形中，一切空间图形中，球形是最美图形。球形是最美图形。圆圆Oxy (a,b)C温故知新温故知新MrP=M|MC|=r一、什么是圆？一、什么是圆？平面内到定点距离等于定长的点的集合是圆平面内到定点距离等于定长的点的集合是圆.(x,y)探索：在直角坐标系中，圆心是探索：在直角坐标系中，圆心是A(a,b)，半径是，半径是r的圆的方程的圆的方程AMrxOy解解：设设M(x,y)是圆上任意一点，则圆就是集合是圆上任意一点，则圆就是集合P=M| |MA|=r(x-a) 2 + (y-b) 2 = r把上式两边平方得：把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2我们把这个方程称为我们把这个方程称为圆心为圆心为A(a,b)，半径是，半径是r的的圆的标准方程圆的标准方程.圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r特别地特别地,圆心为圆心为 O（0，0），则圆的方程为则圆的方程为： 标准方程标准方程三个独立条件三个独立条件a a、b b、r r确定一个圆的方程确定一个圆的方程. .xyOC(a,b)M( (x, ,y) )知识点一知识点一圆的标准方程圆的标准方程几何意义几何意义几何意义几何意义代数表达代数表达代数表达代数表达1、已知圆的标准方程，请说出圆心和半径、已知圆的标准方程，请说出圆心和半径.试一试: （内化新知）（内化新知）2、根据已知条件，求圆的标准方程、根据已知条件，求圆的标准方程： 例例3:ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)，B(7, 3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程.解：设所求圆的方程为：解：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上所求圆的方程为所求圆的方程为待定系数法待定系数法 知识探究二：求圆的标准方程知识探究二：求圆的标准方程A(5,1)EDOC(2,-8)B(7,-3)yxR几何方法几何方法L1L2圆心：两条弦的垂直平分线的交点圆心：两条弦的垂直平分线的交点半径长：圆心到圆上一点的距离半径长：圆心到圆上一点的距离确定圆心和半确定圆心和半径径变式变式:已知已知A(5, 1)，B(7, 3)，C(2, 8)， D(-2, 0)，判，判断断A、B、C、D四点是否共圆？四点是否共圆？由例由例1知知ABC的外接圆是的外接圆是又又 D(-2, 0) 及及点点D在在ABC的外接圆的外接圆 A、B、C、D四点共圆四点共圆探究活动二探究活动二点与圆的位置关系点与圆的位置关系d=|CM|rd=|CM|r点在圆内点在圆内xy 探究探究: :在直角坐标系中，已知点在直角坐标系中，已知点 和圆和圆C C： ，如何判断点，如何判断点M M在圆内、圆上、圆外？在圆内、圆上、圆外？点与圆的位置关系点与圆的位置关系: :知识点二知识点二点与圆的位置关系点与圆的位置关系(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C外外. .例例4 写出圆心写出圆心C为为(3,4)，半径为半径为5的圆的的圆的方程，并判定点方程，并判定点A(0,0)，B(8,3)是否在这是否在这个圆上个圆上圆的方程为圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25A在圆上在圆上B不在圆上不在圆上变式：变式：已知点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，求实数a的取值范围解：法一：由题意知点(1,1)与圆心(a，a)的距离d . 又r2， 2，即a21， 1a1.法二：(1,1)在圆的内部， (1a)2(1a)24， 即a21， 1a1.经典例题经典例题求与圆有关最值问题求与圆有关最值问题1.1.圆的标准方程圆的标准方程（圆心（圆心C( (a, ,b),),半径半径r）2.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系3.3.求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法： 待定系数法待定系数法 几何性质法几何性质法小结小结解：解： 设所求圆的方程为设所求圆的方程为: (x-a)2+(y-b)2=r2 则有则有 a = -1 b = -2 r2=10所求圆的方程为所求圆的方程为 (x+1)2+(y+2)2=10.(2 -a)2+(-3 -b)2= r2(-2 -a)2+(-5 -b)2= r2a 2b 3=0B (-2,-5)A (2,-3)Q练习练习：已知圆过点已知圆过点 A(2, -3)和和B (-2, -5),若圆心在直线若圆心在直线L:x-2y 3 =0上，求圆的标准方程。上，求圆的标准方程。确定确定a， b，rxy0思考：本题还有其它解法吗？思考：本题还有其它解法吗？AB的中垂线方程：的中垂线方程：2x+y+4=0(1)又圆心在直线又圆心在直线x-2y-3=0 (2)上上 由由(1)(2)求得交点求得交点 Q(-1, -2) 为圆心坐标，为圆心坐标， 又又 r2=QA2=(2+1)2+(-3+2)2=10 ，所以圆的方程为所以圆的方程为 (x+1)2+(y+2)2=10 .B (-2,-5)A (2,-3)解法解法2：已知圆过点：已知圆过点 A(2, -3)和和B (-2, -5),若圆心在直线若圆心在直线L:x-2y 3 =0上，试求圆的标准方程。上，试求圆的标准方程。确定圆心和半径确定圆心和半径 解法解法2：由中点坐标公式得：由中点坐标公式得：线段中点坐标（，），线段中点坐标（，），由斜率公式得：由斜率公式得：Lxy0Q（中垂线斜率）（中垂线斜率）