第四章第四章第四章第四章 弯弯弯弯 曲曲曲曲 内内内内 力力力力第四章第四章第四章第四章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力弯曲内力第一节第一节 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图第二节第二节 梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩第三节第三节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 第四节第四节 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用第五节第五节 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图一一、弯曲的概念、弯曲的概念 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。为曲线的变形形式。 2、梁、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件主要承受垂直于轴线荷载的杆件 轴线是直线的称为轴线是直线的称为直梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲梁曲梁。 有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称为，没有对称平面的梁称为非对称梁非对称梁 3、平平面面弯弯曲曲（对对称称弯弯曲曲）：若若梁梁上上所所有有外外力力都都作作用用在在纵纵向向对对称称面面内内，梁梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 4、非非对对称称弯弯曲曲：若若梁梁不不具具有有纵纵向向对对称称面面，或或梁梁有有纵纵向向对对称称面面上上但但外外力力并不作用在纵向对称面内的弯曲。并不作用在纵向对称面内的弯曲。4.1 4.1 弯曲的概念及梁的计算简图弯曲的概念及梁的计算简图FFsFAFB纵向对称面纵向对称面二、二、 梁的荷载及计算简图梁的荷载及计算简图 研究对象研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。面力系。 1.梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。线上。 2.梁的支座简化梁的支座简化(平面力系平面力系)：a)活动铰支座活动铰支座b)固定铰支座固定铰支座c)固定端固定端 3.静定梁静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁 4.作用在梁上的荷载可分为作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载4.4.梁的剪力与弯矩梁的剪力与弯矩一一、截面法求内力：、截面法求内力：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABCFC 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的剪左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩梁上压下拉的弯矩为正为正)。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：二、平面弯曲梁横截面上的内力：剪力符号规定：剪力符号规定：弯矩符号规定：弯矩符号规定：左上右下为正左上右下为正下侧受拉下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆上凹下凸、左顺右逆)为正为正或使该段梁顺或使该段梁顺时针转动为正时针转动为正MMMMFsFsFsFs对未知的剪力、弯矩按正方向设定对未知的剪力、弯矩按正方向设定求图示梁求图示梁1-11-1、2-22-2、3-33-3、4-44-4截面上的截面上的剪力和弯矩剪力和弯矩.例例1BAP=q11223344qBAP=qFs3M3AP=qFs2M2M1Fs1ARAFs4M4qRBFs1 RFsaA54 = =Fs2RqaFsaA4=-=Fs3=Fs4qaRqaB34=-= -BA P=qq1 21 23344RBRARARA例例2 2 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1-11-1与与2-22-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAFBq=12kN/m 通过上述计算可以看出，截面上通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上的外力相平的内力与该截面一侧杆上的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接求得截面上的内力外力直接求得截面上的内力外力外力简化法。简化法。符号如何确定？符号如何确定？l:力的作用线至所求截面的距离力的作用线至所求截面的距离MFsMFsmmFs=-Fs=-左段右段1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/m再作例2： 求图示简支梁求图示简支梁1-11-1、2-22-2截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩. .ABRA RB RA =15kNRB =29kN请思考：请思考： R RB B还可如何简便算出？还可如何简便算出？1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根据根据1-1截面截面左左侧的外力计算侧的外力计算FS1 、 M1 FS1=+RA-P =15-8 =+7kN M1 =+RA2-P(2-1.5) =152-80.5 =+26 kNm根据根据1-1截面截面右右侧的外力计算侧的外力计算FS1 、 M1FS1=+(Fs3)-RB =123-29 =+7kNM1 =-(Fs3)2.5+RB4 =-(123)2.5+294 =+26 kNm1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRA RB RA =15kNRB =29kN根据根据2-2截面截面右右侧的外力计算侧的外力计算FS2 、 M2FS2 =+(Fs1.5)-RB =121.5-29 =-11kNM2 =-(Fs1.5)1.5/2+RB1.5 =-(121.5)1.5/2+291.5 = +30 kNm根据根据2-22-2截面左侧外力计算截面左侧外力计算FS2、M2 , , 请自己完请自己完成成! !FABCFC若将前面例题中确定尺寸b改为变量xFlABFslABFabClABabClABM试列出下列各梁试列出下列各梁ABAB的剪力方程和弯矩方程的剪力方程和弯矩方程, , 作剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图。xx1.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例例1 作图示悬臂梁作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。4.4.剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 xFsFFlMFlABFsM例例2 图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载Fs的作用，作该梁的剪的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。力图和弯矩图。qlAB解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程 例例3 在在图图示示简简支支梁梁AB的的C点点处处作作用用一一集集中中力力F，作作该梁的剪力图和弯矩图。该梁的剪力图和弯矩图。 由由剪剪力力、弯弯矩矩图图知知：在在集集中中力力作作用用点点，弯弯矩矩图图发发生生转转折折，剪剪力力图图发发生生突突变变，其其突突变变值值等等于于集集中中力力的的大大小小，从从左左向向右右作作图图，突突变方向沿集中力作用的方向变方向沿集中力作用的方向。FabClAB解：解： 1、求支反力、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFsM 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。其突变值为集中力偶的大小。 例例4 在在图图示示简简支支梁梁AB的的C点点处处作作用用一一集集中中力力偶偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：解： 1、求支反力、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFsMxFsFFlMFlABabClABMFAFBFsMFabClABFAFBFsMFsMFslABFAFB机械机械MFSM土木土木由以上例题可总结以下几条：由以上例题可总结以下几条：1 1、在在集集中中力力作作用用点点，剪剪力力图图发发生生突突变变，弯弯矩矩图图发发生生转转折折，其其突突变变值值等等于于集集中中力力的的大大小小，从从左左向向右右作作图图，突突变变方方向向沿沿集集中力作用的方向。中力作用的方向。2 2、在在集集中中力力偶偶作作用用点点，剪剪力力图图无无变变化化，弯弯矩矩图图发发生生突突变变，其其突变值为集中力偶的大小。突变值为集中力偶的大小。3 3、无载荷的梁段，剪力图为一平行于轴线的直线，弯矩图为、无载荷的梁段，剪力图为一平行于轴线的直线，弯矩图为斜直线。斜直线。4 4、作用着均布载荷的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次、作用着均布载荷的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。抛物线。是普遍规律吗？例例 PBALx简支梁受移动荷载简支梁受移动荷载P作用，试求梁的最作用，试求梁的最大弯矩为极大时荷载大弯矩为极大时荷载P的位置的位置. .解：荷载荷载P移至移至x截面处，截面处，Mmax (x)=Px(L-x)/L位置：位置：x截面截面令令dMc dx=0x=L/2时，时， Mmax =P L/4跨中为最不利位置例例作图示平面刚架的内力图作图示平面刚架的内力图. .BCA20kN10kN3m2m解：xBC段段FN =0FS =10kNM= -10x kNm (0x2)BA段段xFN =-10kNFS =20kNM= -20-20x kNm (0x3)一般将竖直杆的下端看作左端一般将竖直杆的下端看作左端10kN轴轴力力图图剪剪力力图图10kN 20kN20kNm弯弯矩矩图图20kNm80kNm注意：轴力轴力 正值画在外侧，负值画在内侧。正值画在外侧，负值画在内侧。剪力剪力 正值画在外侧，负值画在内侧。正值画在外侧，负值画在内侧。弯矩弯矩 本教材画在受压侧，不标注正负。本教材画在受压侧，不标注正负。 一般机械类教材弯矩图画在受压侧，一般机械类教材弯矩图画在受压侧，土木类教材土木类教材弯矩图画在受拉侧弯矩图画在受拉侧。一一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系 1.假假设设：规规定定Fs(x)向向上上为为正正，向向下下为为负负；任任取取微微段段，认认为为其上其上Fs(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。 2.微分关系推导：微分关系推导：4.4.弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系yxMFq(x)ABxdxq(x)dxOM(x)Fs(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)载荷集度、剪力和弯矩的微分关系载荷集度、剪力和弯矩的微分关系: :d)d( )Fs(xxq x=d( )d)M xxFs(x=d( )dd)d( )22M xxFs(xxq x=1.微分关系的几何意义：微分关系的几何意义： 剪剪力力图图上上某某点点处处的的切切线线斜斜率率等等于于该该点点处处荷荷载载集集度度的的大大小小；弯弯矩矩图图上上某某点点处的切线斜率等于该点剪力的大小。处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：二二、讨论微分关系的几何意义、讨论微分关系的几何意义外力情况外力情况q0C0C0有有极小值极小值0有有极大值极大值注意坐标方向注意坐标方向不同，曲线开不同，曲线开口方向不同口方向不同FsFs0Fs0Fs0Fs0M由：由：EDxCxxMDCxxFs(xxM+=+=221)()d)(d求出令0)d)(d=xFs(xxM各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图CC尖角尖角突变突变PC无变化无变化突变突变mFs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0Fs0突变突变1.先利用计算法则计算分段点（控制点）先利用计算法则计算分段点（控制点）FS、M值；值；2.利用微分关系判断并画出分段点之间的利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。图。 实例：实例：利用微分关系作剪力弯矩图利用微分关系作剪力弯矩图例例六六 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。图。解：解： 1、求支反力、求支反力2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图形状：CA和和DB段：段：Fs=0，Fs图为水平线，图为水平线， M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：Fs0， Fs 图为向下斜直线，图为向下斜直线， M图为上凸抛物线图为上凸抛物线。DABC3、先确定各分段点的先确定各分段点的FS 、M值，用相应形状的线条连接。值，用相应形状的线条连接。Fs+_3(kN)4.23.8Ex=2.1mM(kNm)3.81.412.2_+FAFB3例例Fs例例一般作剪力图一般作剪力图时，从左往右，时，从左往右，随力的方向走。随力的方向走。Fs例例A端约束力端约束力= =PABB端约束力端约束力= =0Fs例例PP Fs例例Fs例例Fs例例Fs例例Fs例例综综合合应应用用题题4m4m4m3mABCDEMq外伸梁外伸梁解：解：一、求支反力一、求支反力二、作剪力图二、作剪力图Fs7331kNqRFskNRFsACACAA347:=-=-+斜直线段kNPqRFskNPqRFsCDADAC3814:11-=-=-=+斜直线段4m4m4m3mABCDEMqFs7313BD：水平直线水平直线BE：水平直线：水平直线2三、作弯矩图三、作弯矩图M2020.516x mkNFsB3-=-kNPFsB22=+)mqPRxPqxRxFs(CDAA50:11=-=-=令抛物线4m4m4m3mABCDEMqFs73132M2020.51666xABC Dx 例例 绘制刚架内力图绘制刚架内力图解：一）求支反力：解：一）求支反力：Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB二）分析内力：二）分析内力：1）BC段段：（：（0 x1 3）8kNRAYFs=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kN1kNRBx1FN12）DC段段：（：（0 x2 3）分段列出）分段列出EC段段:（0 x2 2）X2RB =5kN3531)(5)12222N2-=x-=-=-=-=xxRxMkNRxFs(kNFBB)2xFs()1xFs(kNRFB5N1-=-=轴力N2F剪力剪力弯矩弯矩Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBED段段:（2 x2 3）X2X33）AD段段：（：（0 x3 4）RB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kN13331)2(8)(58);122222N2+-=x-=+-=-=xxxRxMkNRxFs(FBB23323323333N321321)(31)3()3xxFsxxRxMxxFsxRxFs(kNRFAxAxAy-=-=-=-=-=-=-=)3xFs(N3FFs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC1 1）轴力图）轴力图三、作内力图三、作内力图5kN1kN3kNkNFADkNFDCkNFBC3:1:5:N3N2N1-=-=-=杆杆杆Fs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2 2）剪力图）剪力图: :用简易法：取控制点用简易法：取控制点1kNBC段段：取一点（水平线）：取一点（水平线）DC段：取两点（段：取两点（l）5kN3kNDA段段：取两点（斜直线）：取两点（斜直线）1kN3kNRB =5kNRAX = -3kN，RAY =3kNFs=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB3 3）弯矩图）弯矩图用简易法：取控制点用简易法：取控制点BC段段：取两点（斜直线）：取两点（斜直线）DC段：取两点（水平线）段：取两点（水平线）DA段段：取三点（抛物线）：取三点（抛物线）ABDEC0kNm3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3mABDEC1kN5kN3kN1kN3kN4kNmRB =5kNRAX = -3kN， RAY =3kNABDEC1kN5kN3kN1kN3kNABDECABDEC0kNm3kNm3kNm4.5kNm7kNm4kNm3m5kN1kN3kN当变形为微小时，可采用变当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。形前尺寸进行计算。叠加原理叠加原理：当梁在各项荷载作用下：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。数和。叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷载设简支梁同时承受跨间荷载q与与端部力矩端部力矩MA、MB的作用。其弯矩的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：简支梁弯矩图叠加得到。即：按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图BMBAqMAlB+ 注意注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。图中的纵坐标都是垂直于杆轴线图中的纵坐标都是垂直于杆轴线ABAB的。的。 （1）选定外力的不连续点）选定外力的不连续点(如集中力、如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等点等)为控制截面，求出控制截面的弯矩为控制截面，求出控制截面的弯矩值。值。 （2）分段画弯矩图。当控制截面之间无）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。的弯矩图。 例例 作图示简支梁的弯矩图作图示简支梁的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图叠加利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般过程法，将梁弯矩图的一般过程归纳归纳如下如下：2FCl/2ABFl/2l/2M+Fl/4解解 （一）求支座反力（一）求支座反力 例例 绘图示梁的剪力图和弯矩图。绘图示梁的剪力图和弯矩图。 距支座距支座 A 为为 x 处截面上的剪力为：处截面上的剪力为： 相应位置的弯矩为：相应位置的弯矩为： （二）列出剪力方程和弯矩方程（二）列出剪力方程和弯矩方程 （三）绘（三）绘 Fs 图和图和 M 图图 当当 x=0 时，时， ；当；当 x=l 时，时， ； 当当 时，时， 。 极值极值： ，x=0 处有最大值处有最大值 。 凹向判定凹向判定： ( )1. 由剪力方程可知，由剪力方程可知，Fs(x) 为二次曲线。为二次曲线。 作作 Fs 图。图。 当当 x=0 时，时，MA=0 ；当；当 x=l 时，时，MB=0 。 ( )凹向判定凹向判定： 此方程式说明是此方程式说明是 Fs(x)=0 时弯矩有极值。时弯矩有极值。 极值极值： 解得：解得： 时，时， 。2. 由弯矩原方程可知，由弯矩原方程可知，M(x) 为三次曲线。为三次曲线。