奇偶性奇偶性基本概念和知识1、奇数和偶数能被2整除的整数叫做偶数，偶数通常用2n（n为整数）表示；不能被2整除的整数叫做奇数，奇数通常用2n+1（n为整数）表示。特别的，因为0能被2整除，所以0是偶数。奇数与偶数的运算性质第一类，和与差：性质1、偶数偶数=偶数 奇数奇数=偶数性质2、奇数偶数=奇数性质3、偶数个奇数相加得偶数性质4、奇数个奇数相加得奇数任意个偶数的和仍然是偶数任意个偶数的和仍然是偶数奇数与偶数的运算性质第二类，乘积的性质：性质5、偶数偶数=偶数 偶数奇数=偶数 奇数奇数=奇数性质6、相邻两个自然数之和是奇数，相邻两个自然数之积是偶数性质7、若在乘式中有一个是偶数，那么最后的乘积一定是偶数。例1 一本书一共有1993页，那么这本书的页数之和是奇数还是偶数？解法（一）：利用等差数列的求和公式解法（一）：利用等差数列的求和公式 1+2+3+1993 =（1+1993）19932 =1994 19932 =997 1993 又又 997和和1993都是奇数都是奇数 奇数奇数奇数奇数=奇奇数数 这本书的页数之和是奇数。这本书的页数之和是奇数。 例1、一本书一共有1993页，那么这本书的页数之和是奇数还是偶数？解法（二）（利用和差的奇偶性）解法（二）（利用和差的奇偶性） 19932=9961 11993的自然数中有的自然数中有996个偶数，有个偶数，有997个奇数，个奇数， 996个偶数之和是偶数，个偶数之和是偶数，997个奇数之和是个奇数之和是奇数奇数 又又 偶数偶数+奇数奇数=奇数奇数 这本书的页数之和是奇数。这本书的页数之和是奇数。（若页数为（若页数为1994、1995页呢？）页呢？）例2 一个数分别与另外两个相邻的奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少?解法解法1： 相邻两个奇数相差相邻两个奇数相差2， 150是这个要求的数的是这个要求的数的2倍。倍。 这个数是这个数是1502=75。解法解法2：设这个数为：设这个数为x，设相邻的两个奇数为，设相邻的两个奇数为2a1，2a1，(a1).则有则有 (2a1)x(2a1)x=150,2axx2axx=150,2x=150, x=75. 这个要求的数是这个要求的数是75。例3 元旦前夕，同学们互相送贺卡。每个人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次，那么贺年卡的总张数应能被出贺年卡一次，那么贺年卡的总张数应能被2整整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。除，所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两类：送贺年卡的人可以分为两类：A类是送出了偶数张贺年卡的人：类是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡的总和为偶数；他们送出贺年卡的总和为偶数；B类是送出了奇数张贺年卡的人：类是送出了奇数张贺年卡的人：B类人送出的贺年卡总数类人送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数所有人送出的贺年卡总数 A类人送出的贺类人送出的贺年卡总数年卡总数=偶数偶数偶数偶数=偶数。偶数。他们的总人数必须是偶数，才能使他们送出他们的总人数必须是偶数，才能使他们送出的贺年卡总数为偶数。的贺年卡总数为偶数。所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例4、已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。求证：a1，b2，c3的乘积一定是偶数。证明： a、b、c中有两个奇数、一个偶数， a、c中至少有一个奇数， a1，c3中至少有一个是偶数。 又 偶数整数=偶数， (a1)(b2)(c3)是偶数。例5 某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道。评分标准是：答对一道得3分，答错一道扣1分，某一题不答给1分，小明说他这次竞赛中得了95分。可能吗？为什么？分析分析：如果全部答对，得到120是偶数，如果答错一道，相当于从120中减去（3+1）分还是偶数，如果某一题不答，要从120中减去3再加1即减去2还是偶数，所以，每个人的得分只能是偶数，不可能是奇数。例6 一列数：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，那么前1000个数中，有多少个奇数？解：观察它们按奇偶排列的规律发现：解：观察它们按奇偶排列的规律发现： 每相邻每相邻3个数中有个数中有2个奇数，个奇数， 且且3个数中的第一个是奇数。个数中的第一个是奇数。 100033331 33321667答：前答：前1000个数中共有个数中共有667个奇数。个奇数。例7、能从下表中选出5个数使它们的和等于35吗？为什么？246810468101268101214答：从表中任选答：从表中任选5个数，都无法使它们的个数，都无法使它们的和等于和等于35 ，因为表中所有数都是偶数，因为表中所有数都是偶数，而偶数而偶数+偶数偶数=偶数，不可能等于奇数。偶数，不可能等于奇数。例8 桌子上有10只杯子，全部口朝上，每次将其中的9只同时“翻转”。能不能使10个杯子全部口朝下。如果可以，试写出其中的一翻转方法。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10解：可以。每一次分别留下第解：可以。每一次分别留下第1、2、3、4、5、6、7、8、9、10个杯子不动，翻转其余个杯子不动，翻转其余9个，这样个，这样10次过后，每个杯子都翻转了次过后，每个杯子都翻转了9次，即口朝下。次，即口朝下。例9 桌子上有10只杯子，全部口朝上，每次将其中的3只同时“翻转”。能不能使10个杯子全部口朝下。如果可以，试写出其中的一翻转方法。分析：我们给杯子编号分析：我们给杯子编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10解：可以，如下就是其中的一种：解：可以，如下就是其中的一种：(红色表示口朝红色表示口朝下）下）我们可以先翻转其中的前我们可以先翻转其中的前6个杯子个杯子1,2,3、4,5,6、后面的后面的7、8、9、10可以这样做：可以这样做：（1）留下）留下7，翻转，翻转8、9、10，得到，得到7、8、9、10（2）留下）留下8，翻转，翻转7、9、10 ，得，得7、8、9、10（3）留下）留下9 ，翻转，翻转7、8、10，得到，得到7、8、9、10（4）留下）留下10，翻转，翻转7、8、9，得到，得到7、8、9、10例10 用09这10个数组成5个两位数，每个数只用一次，要求它们的和是奇数，那么这5个数的和最大是多少？分析，要使和尽可能的大，就要求十位上分析，要使和尽可能的大，就要求十位上的数尽可能的大，所以，十位上取的数尽可能的大，所以，十位上取9、8、7、6、5得到得到90、81、72、63、54，但此时和，但此时和为偶数，所以调整为偶数，所以调整54为为45，这，这5个数的和最个数的和最大是大是351（要使和最小呢？）（要使和最小呢？）