二、定积分的计算二、定积分的计算一、牛顿一、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 微积分的基本公式 第六章第六章 与定积分的计算1一一 微积分的基本公式微积分的基本公式 引引 积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题，我们在第的求法问题，我们在第5 5章中已经对它做了讨论；第章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题二个问题就是定积分的计算问题. . 如果我们要按定积如果我们要按定积分的定义来计算定积分分的定义来计算定积分, , 将会十分困难将会十分困难. . 我们知道我们知道, , 不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念限的概念是完全不相干的两个概念. . 但是但是, , 牛顿和莱牛顿和莱布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的内在联系内在联系, , 提出了提出了 “ “微积分学基本定理微积分学基本定理”. ”. 从而使从而使积分学与微分学一起构成微积分学积分学与微分学一起构成微积分学. . 2Newton-Leibniz 公式（微积分基本公式）公式（微积分基本公式）( 牛顿牛顿 - 莱布尼茨公式莱布尼茨公式) 定理定理.函数函数 , 则则微积分基本公式表明：一个连续函数在区间微积分基本公式表明：一个连续函数在区间 a, ,b 上上的定积分等于它的任意一个原函数在区间的定积分等于它的任意一个原函数在区间 a, ,b 上的增上的增量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。量。求定积分的问题转化为求原函数的问题。3例例1. 计算计算解解:解解原式原式 例例2. 求求 4例例3. 设设, , 求求解解例例4. .计算正弦曲线计算正弦曲线的面积的面积 . . 解解: :5不定积分不定积分二、定积分的计算二、定积分的计算换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法2、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法 1、定积分的换元法、定积分的换元法 3、定积分的计算技巧、定积分的计算技巧6先来看一个例子先来看一个例子例例1 1换元求不定积分换元求不定积分令令则则故故1、定积分的换元法、定积分的换元法 7定理定理1. 设函数设函数单值函数单值函数满足满足:1)2) 在在上上则则令令则则 当当x 从从0连续地增加到连续地增加到3时，时，t 相应地从相应地从1连续连续地增加到地增加到2于是于是8说明说明: :1) 当当 , 即即区间换为区间换为定理定理 1 仍成立仍成立 .2)必须注意必须注意换元必换限换元必换限 。但计算定积分值时。但计算定积分值时原函数中的新变量不必代回原函数中的新变量不必代回 .9例例2. 计算计算解解: 令令则则 原式原式 =且且 10例例3：计算计算解：解：令令例例4：计算计算 换元必换限换元必换限不换元则不换限不换元则不换限11解解 例例5 5 计算计算 注：用凑微分法完成的积分，如果没有引入新注：用凑微分法完成的积分，如果没有引入新的变量，则上下限不必变动。的变量，则上下限不必变动。 即即 配元不换限配元不换限 换元必换限换元必换限不换元则不换限不换元则不换限122、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法 定理定理定理定理2. 2. 则则边积边代限边积边代限例例1 求求 原式原式 解：解：则则13例例2. 计算计算解解: 原式原式=14例例3 计算计算解解15例例4 求求 解解 令令则则 x = t 2, dx = 2tdt原式原式 = 注注 此题同时使用了换元法和分部积分法此题同时使用了换元法和分部积分法.16例例5. 计算计算解解: 原式原式 =17规律规律(1) 若(2) 若1）偶倍奇零）偶倍奇零3、定积分的计算技巧、定积分的计算技巧特别的，特别的，当出现积分区间关于原点对称时，可以先考当出现积分区间关于原点对称时，可以先考察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。察被积函数的奇偶性，考虑偶倍奇零规律。18例例1 求求 解解 原式原式 = 奇函数奇函数例例2 求求 解解 原式原式 = 奇函数奇函数19例例8 计算下列定积分计算下列定积分 解解奇函数奇函数偶函数偶函数20解解奇函数奇函数212）利用定积分的几何意义）利用定积分的几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。计算计算o解解 由定积分的几何意义由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积等于圆周的第一象限部分的面积22例例3 计算计算解解由定积分的几何意义由定积分的几何意义该积分等于半圆面积，即该积分等于半圆面积，即o- -22223例例4 计算计算解解原式原式偶函数偶函数奇函数奇函数四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积24内容小结内容小结 基本积分法基本积分法换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法换元必换限换元必换限配元不换限配元不换限边积边代限边积边代限作业作业P178 5 (1) (2) (4) (5) (6) (8) (11) ; P183 1(1)(2)(10)(11); 2(1)(2); 3(1)(6)牛顿牛顿 - 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 积分技巧积分技巧偶倍奇零偶倍奇零利用定积分的几何意义利用定积分的几何意义252）利用定积分的几何意义）利用定积分的几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，若被积函数的图像是规则图形（特别是圆）时，定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到。例例2. 计算计算解解: 令令则则 原式原式 =且且26