YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到其边长由机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY的微分微分,定义定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理: 函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可可微微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知在点 可微 ,则故在点 的可导, 且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理 : 函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即“充分性充分性”已知即在点 的可导,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY说明说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分, 记作记机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例如例如,基本初等函数的微分公式 (见 P115表)又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例1.求 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例2. 设求 解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性. YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明: 令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY的近似值 .解解: 设取则例例4. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY的近似值 .解解:例例5. 计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY四、四、 微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例7. 设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式圆钢截面积 ,解解: 计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为试估计面积的误差 . 计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 (mm) YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY内容小结内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY思考与练习思考与练习1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点处的及并说明其正负 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY5. 设由方程解解: 方程两边求微分, 得当时由上式得确定 , 求6. 设 且则机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY作业作业P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12习题课 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY1. 已知求解解：因为所以备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY方程两边求微分, 得已知求解解：2.习题课 目录 上页 下页 返回 结束