第七章第七章 离散控制系统离散控制系统 离散控制系统又分为采样控制系统和数字控制系统离散控制系统又分为采样控制系统和数字控制系统 控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为称为离散控制系统离散控制系统。 由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢，由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢，当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开度，因此炉温继续上升，造成超温，又导致电动度，因此炉温继续上升，造成超温，又导致电动机反过来旋转。机反过来旋转。 根据同样的道理，又会造成反方向超调，这根据同样的道理，又会造成反方向超调，这样引起炉温震荡。样引起炉温震荡。以常规的炉温系统为例以常规的炉温系统为例离散控制系统概述离散控制系统概述 当当炉炉温温出出现现误误差差时时，误误差差信信号号只只有有在在开开关关闭闭合合时时才才能能使使执执行行电电动动机机旋旋转转，进进行行炉炉温温调调节节。当当采采样样开开关关断断开开，执执行行电电动动机机立立即即停停下下来来，阀阀门门位位置置固固定定，炉炉温温自自动动变变化化，直直到到下下次次采采样样开开关关闭闭合合，根根据据炉炉温温误误差差大大小再进行调节。小再进行调节。 采用离散控制，在误差信号与电动机之间加一个采用离散控制，在误差信号与电动机之间加一个采样开关，它周期性的闭合和断开。采样开关，它周期性的闭合和断开。 由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。7.1 信号的采样与复现信号的采样与复现一、一、 采样过程采样过程 采样过程就是对连续信号进行采样得到一个脉冲采样过程就是对连续信号进行采样得到一个脉冲序列的过程。采样开关或采样器可以看作是产生脉序列的过程。采样开关或采样器可以看作是产生脉冲序列的元件，采样过程可以理解为脉冲调制过程，冲序列的元件，采样过程可以理解为脉冲调制过程，下图表示采样的基本过程。下图表示采样的基本过程。 采采样样过过程程相相当当于于一一个个脉脉冲冲调调制制过过程程，其其中中输输入入信信号号e（t）为为被被调调制制信信号号，载载波波信信号号 决决定定采采样样时时刻刻。即即采采样样开开关关输输出出信信号号 的的幅幅值值由由e（t）决决定定，存存在在的时刻由的时刻由 决定。决定。采样开关的输出信号：采样开关的输出信号：二、二、 采样定理采样定理E*（j）采样信号采样信号e*（t）的频谱；）的频谱；E（j）连续信号连续信号e（t） 的频谱的频谱 由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条件是：件是： 采样频率采样频率s 必须大于或等于采样开关输入必须大于或等于采样开关输入连续信号连续信号e（t）频谱中最高频率）频谱中最高频率max的的2倍，即：倍，即：香农（香农（Shannon）采样定理）采样定理 如果如果 s 1|z|1）解解 因为因为 代入定义式中，得代入定义式中，得【例【例7-2】求】求 的的z 变换变换利用级数求和公式写成闭合形式，得利用级数求和公式写成闭合形式，得2 2 2 2、部分分式法、部分分式法、部分分式法、部分分式法【例【例7-3】已知】已知 ，试求其，试求其z变换变换解解 将将F（s）展开成部分分式形式）展开成部分分式形式其对应的时间函数为其对应的时间函数为由例由例7-1和和7-2可得可得三、三、z反变换反变换由由F（z）求）求 f*（t）的过程称为）的过程称为 z 反变换，表示为反变换，表示为 z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不反映采样时刻之间的特性，所以反映采样时刻之间的特性，所以z反变换也只能求反变换也只能求出采样函数出采样函数f*（t），不能求出连续函数），不能求出连续函数f（t）。）。或表示为或表示为即即对上式用分母去除分子，所得之商按对上式用分母去除分子，所得之商按 的升幂排列的升幂排列四、反变换方法四、反变换方法1、长除法、长除法即即把把式式 展展开开成成按按升升幂幂排排列列的的幂幂级级数数。因因为式为式 的形式通常是两个的多项式之比，即的形式通常是两个的多项式之比，即 最后求得相应采样函数的脉冲序列最后求得相应采样函数的脉冲序列例例7-8求求 的的反变换反变换解：解：进行长除得到进行长除得到【例【例7-9】求】求 的的z反变换反变换2、部分分式法、部分分式法解解 将将 F（z）/z 展开成部分分式为展开成部分分式为所以所以则对应函数为则对应函数为五、用五、用z变换法解差分方程变换法解差分方程 离散系统的动态过程用建立在差分、差商等概念离散系统的动态过程用建立在差分、差商等概念基础上的差分方程来描述。基础上的差分方程来描述。 1.1.1.1.差分的概念差分的概念差分的概念差分的概念 差分与连续函数的微分相对应。分为前向差分和差分与连续函数的微分相对应。分为前向差分和后向差分后向差分 一阶前向差分一阶前向差分一阶后向差分一阶后向差分k k阶前向差分阶前向差分k k阶阶后后向差分向差分k阶线形差分方程的一般形式为阶线形差分方程的一般形式为式中式中 r（nT）输入量；输入量； c（nT）输出量输出量2.2.差分方程差分方程 若若方方程程的的变变量量除除了了含含有有 本本身身外外，还还有有 的的 各阶差分，则此方程称为差分方程。各阶差分，则此方程称为差分方程。各阶差分的变换函数各阶差分的变换函数 例如例如【例【例7-16】用】用z变换法求二阶差分方程变换法求二阶差分方程初始条件初始条件y(0)=0，y(1)=1，输入为单位阶跃函数，输入为单位阶跃函数解解 利用超前定理，对差分方程进行利用超前定理，对差分方程进行z变换，得变换，得将已知条件代入上式，得将已知条件代入上式，得所以所以所以所以利用部分分式法求利用部分分式法求Y（z）的）的z反变换反变换作作Z反变换反变换7.3 采样控制系统的数学模型采样控制系统的数学模型 一、基本概念一、基本概念 与线形连续系统类似，与线形连续系统类似，在线形离散系统中，零初在线形离散系统中，零初始条件下，系统输出信号始条件下，系统输出信号的的z变换与系统输入信号变换与系统输入信号的的z变换之比，称为脉冲变换之比，称为脉冲传递函数或称传递函数或称z传递函数。传递函数。 在实际的采样系统中，系统的输出信号常常是在实际的采样系统中，系统的输出信号常常是连续信号，为了应用脉冲传递函数的概念，可以连续信号，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在系统的输出端虚设一个同步采样开关，这样输在系统的输出端虚设一个同步采样开关，这样输出为离散信号出为离散信号因为因为 从物理意从物理意义来看，离散系来看，离散系统的脉冲的脉冲传递函数就函数就是系是系统单位脉冲响位脉冲响应函数采函数采样值的的z z变换，即变换，即若系统的输入若系统的输入 则输出信号的出信号的z z变换变换二、二、 开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数(a)串联环节之间有采样开关串联环节之间有采样开关1、串联环节的脉冲传递函数、串联环节的脉冲传递函数(b) 串联环节之间无采样开串联环节之间无采样开关关注意注意【例【例7-11】设在前图中】设在前图中求系统的脉冲传递函数。求系统的脉冲传递函数。图（图（a）图（图（b）通过以上分析，可见通过以上分析，可见G1（z）G2（z）G1G2（z）例例7-127-12试求下列开环系统的脉冲传递函数试求下列开环系统的脉冲传递函数 2 2、并联环节的脉冲传递函数、并联环节的脉冲传递函数 并联环节的等效并联环节的等效 三、闭环系统的脉冲传递函数三、闭环系统的脉冲传递函数1.1.闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法 求闭环系统脉冲传递函数一般是采用按定义计求闭环系统脉冲传递函数一般是采用按定义计求闭环系统脉冲传递函数一般是采用按定义计求闭环系统脉冲传递函数一般是采用按定义计算的方法，即在已知系统的结构图中注明各环节的算的方法，即在已知系统的结构图中注明各环节的算的方法，即在已知系统的结构图中注明各环节的算的方法，即在已知系统的结构图中注明各环节的输入、输出信号，用代数消元法求出系统输入、输输入、输出信号，用代数消元法求出系统输入、输输入、输出信号，用代数消元法求出系统输入、输输入、输出信号，用代数消元法求出系统输入、输出关系式。出关系式。出关系式。出关系式。 对于比较复杂的离散控制系统用这种方法计算对于比较复杂的离散控制系统用这种方法计算对于比较复杂的离散控制系统用这种方法计算对于比较复杂的离散控制系统用这种方法计算将是十分复杂和困难的。将是十分复杂和困难的。将是十分复杂和困难的。将是十分复杂和困难的。 例例7-137-13 离散控制系统如图所示，求脉冲传递函数离散控制系统如图所示，求脉冲传递函数例例7-147-14 离散控制系统如图所示，求脉冲传递函数离散控制系统如图所示，求脉冲传递函数 将将离离散散系系统统中中的的采采样样开开关关去去掉掉，求求出出对对应应连连续续系统的输出表达式；系统的输出表达式； 表表达达式式中中各各环环节节乘乘积积项项需需逐逐个个决决定定其其“*”“*”号号。方方法法是是：乘乘积积项项中中某某项项与与其其余余相相乘乘项项两两两两比比较较，当当且且仅仅当当该该项项与与其其中中任任一一相相乘乘项项均均被被采采样样开开关关分分隔隔时时，该项才能打该项才能打“*”“*”号。否则需相乘后才打号。否则需相乘后才打“*”“*”号。号。 取取Z Z变变换换，把把有有“*”“*”号号的的单单项项中中的的s s变变换换为为z z，多多项项相相乘乘后后仅仅有有一一个个“*”“*”号号的的其其Z Z变变换换等等于于各各项项传传递函数乘积的递函数乘积的Z Z变换。变换。 简易计算方法简易计算方法简易计算方法简易计算方法步骤步骤步骤步骤2.闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法 适用条件适用条件适用条件适用条件：输入信号在进入反馈回路后，至回路输入信号在进入反馈回路后，至回路输入信号在进入反馈回路后，至回路输入信号在进入反馈回路后，至回路输出节点前，至少有一个真实的采样开关。输出节点前，至少有一个真实的采样开关。输出节点前，至少有一个真实的采样开关。输出节点前，至少有一个真实的采样开关。 RCG1H1H3H2C*例例7-15系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数 解：显然该系统可解：显然该系统可用简易法计算。去用简易法计算。去掉采样开关后，连掉采样开关后，连续系统的输出表达续系统的输出表达式为：式为： 对上式进对上式进行脉冲变行脉冲变换（加换（加“*”“*”） 变量置换得变量置换得 练习：系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数练习：系统如图所示，求该系统的脉冲传递函数 解：该系统可用简易法计算。解：该系统可用简易法计算。连续系统的输出表达式：连续系统的输出表达式： 脉冲变换脉冲变换（加（加“*”“*”） 变量置换得脉变量置换得脉冲传递函数冲传递函数一、系统的暂态响应分析一、系统的暂态响应分析 与与用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换法法分分析析连连续续系系统统的的暂暂态态响响应应相相似似，用用z z变变换换法法分分析析离离散散系系统统的的暂暂态态响响应应，根根据据闭闭环环脉脉冲冲传传递递函函数数和和输输入入信信号号，求出离散系统输出信号求出离散系统输出信号 。 根根据据输输出出信信号号 ，可可求求出出超超调调量量M Mp p，调节时间，调节时间t ts s等性能指标。等性能指标。7.4 采样系统性能分析采样系统性能分析 解：系统闭环脉冲传递函数为解：系统闭环脉冲传递函数为而而由以上两式可得由以上两式可得取取z反变反变换得换得例例7-17 二阶二阶系统如图所示，系统如图所示，求单位阶跃响求单位阶跃响应应离散系统的单位阶跃响应离散系统的单位阶跃响应 （Ai为留数） 闭环零、极点分布与暂态响应的一般关系闭环零、极点分布与暂态响应的一般关系极点极点 在在z平面不同位置时的暂态响应情况平面不同位置时的暂态响应情况（1） i为正实数为正实数输出采样信号的暂态分量为输出采样信号的暂态分量为当当 i1时时，ci(k)为为发发散散的的指指数数函函数数， ik随随着着k的的增加而增加。增加而增加。当当 i1时时，ci(k)为为衰衰减减的的指指数数函函数数， i距距坐坐标标原原点越近，点越近， ik衰减越快。衰减越快。（2） i为负实数为负实数 当当k为偶数时，为偶数时， ik为正；当为正；当k为奇数时，为奇数时， ik为负为负.随随着着k增加，增加， ik符号交替变化，当符号交替变化，当i 1时，时，ci(k)为发为发散振荡；当散振荡；当i 1时，时，ci(k)为衰减振荡为衰减振荡,振荡的角频振荡的角频率为率为 /T。（3）有一对共轭复数极点）有一对共轭复数极点 。 又因为又因为当当i 1时，时，ci(k)为发散振荡函数；为发散振荡函数；当当i 1时，时，ci(k)为衰减振荡函数为衰减振荡函数 闭环脉冲传递函数的极点在闭环脉冲传递函数的极点在闭环脉冲传递函数的极点在闭环脉冲传递函数的极点在z z z z平面上的位置决平面上的位置决平面上的位置决平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点定相应暂态分量的性质和特点定相应暂态分量的性质和特点定相应暂态分量的性质和特点 在离散在离散系统设计系统设计时时,应把闭应把闭环极点安环极点安置在置在z平面平面的右半单的右半单位圆内位圆内,且且尽量靠近尽量靠近原点原点二、离散系统的稳定性分析二、离散系统的稳定性分析 闭环离散系统稳定的充要条件是闭环极闭环离散系统稳定的充要条件是闭环极点均在点均在z平面上的单位圆内，即平面上的单位圆内，即i 1。1、线性离散系统稳定的充要条件、线性离散系统稳定的充要条件2、s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系设设则则 ，即，即 s平面的虚轴平面的虚轴映射为映射为z平面上为以原点为圆心的单位圆周，为平面上为以原点为圆心的单位圆周，为临界稳定区域。临界稳定区域。当当 时，时， ，即右半，即右半s平面映射为平面映射为z平面上平面上圆外域，为不稳定区域。圆外域，为不稳定区域。当当 时时， ，即即左左半半s平平面面映映射射为为z平平面面上上单位圆内域单位圆内域,为稳定区域。为稳定区域。例例7-18如图所示系统中，设采样周期如图所示系统中，设采样周期T=1秒，试秒，试分析当分析当K=4和和K=5时系统的稳定性。时系统的稳定性。开环脉冲传函为开环脉冲传函为 闭环脉冲传函为闭环脉冲传函为 系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为K=4时时解得解得均在单位圆内，所以系统是稳定的。均在单位圆内，所以系统是稳定的。 K=5时时解得解得因为因为 在单位圆外，所以系统是不稳定的。在单位圆外，所以系统是不稳定的。 3、劳斯稳定判据在离散系统中的应用、劳斯稳定判据在离散系统中的应用 离散系统不能直接使用劳斯稳定判据。需要采用离散系统不能直接使用劳斯稳定判据。需要采用 变换，或称双线性变换，将变换，或称双线性变换，将z平面上单位圆周映平面上单位圆周映射到新坐标系中的虚轴。射到新坐标系中的虚轴。 分析离散系统的稳定性时，先令分析离散系统的稳定性时，先令 代代入离散系统的特征方程进行入离散系统的特征方程进行 变换，再用劳斯判变换，再用劳斯判据判其稳定性。据判其稳定性。双线性变换双线性变换同时有同时有 例例7-19 设离散控制系统的方框图如图所示。采样周设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期期T=0.1s，试求使系统稳定的，试求使系统稳定的K的取值范围。的取值范围。解：开解：开环脉冲环脉冲传递函传递函数为数为将将T=0.1s代入上式可得代入上式可得系统的闭环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为系统的特征方程为系统的特征方程为1+G(z)=0，将，将G(z)代入上式，代入上式，整理得整理得 令令 代入上式得代入上式得化简后得化简后得根据上式写出劳斯表为根据上式写出劳斯表为 2 1 1.264 0要要使使系系统统稳稳定定，劳劳斯斯表表中中第第一一列列各各项项系系数数均均要要大大于零。即于零。即 2.736-0.632K0所以所以 0K4.32使系统稳定使系统稳定K的取值范围为的取值范围为 04.32。 比较加采样开关前后系统的稳定性可知，采样开比较加采样开关前后系统的稳定性可知，采样开关的引入会使系统的稳定性变坏。关的引入会使系统的稳定性变坏。 练习练习 设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期T=0.5s，试求使系统稳定的，试求使系统稳定的K的取值范围。的取值范围。答案答案三、离散系统的稳态误差三、离散系统的稳态误差设采样系统的结构图如图所示设采样系统的结构图如图所示 系统的误差脉冲传系统的误差脉冲传递函数为递函数为 由由Z变换终值定理得稳态误差为变换终值定理得稳态误差为误差信号的误差信号的z z变换为变换为 三种典型输入作用下的稳态误差三种典型输入作用下的稳态误差(1)单位阶跃函数输入单位阶跃函数输入r(t)=1(t),稳态误差为稳态误差为式中式中 为系统的静态位置误差系数为系统的静态位置误差系数对于对于0型系统型系统对于对于1型及以上系统型及以上系统(2)单位斜坡函数输入单位斜坡函数输入r(t)=t，稳态误差为稳态误差为静态速度误差系数静态速度误差系数式中式中从从定定义义式式中中可可以以看看出出，系系统统在在斜斜坡坡输输入入信信号号作作用用下下，无差的条件是开环传函中至少要有两个无差的条件是开环传函中至少要有两个 的极点。的极点。(3)单位抛物线函数输入单位抛物线函数输入稳态误差为稳态误差为系统的静态加速度误差系数系统的静态加速度误差系数式中式中系系 统统 在在 抛抛物物 线线 函函 数数输输 入入 信信 号号作作 用用 下下 ，无无 差差 的的 条条件件 是是 开开 环环传传 函函 中中 至至少少 要要 有有 三三个个 的极点。的极点。系统型别系统型别010200表表 7-1采样时刻处的稳态误差采样时刻处的稳态误差例例7-20 设离散控制系统的方框图如图所示。采样周设离散控制系统的方框图如图所示。采样周期期T=0.1s，试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差 。解：开解：开环脉冲环脉冲传递函传递函数为数为将将T=0.1s代入上式可得代入上式可得系统的特征方程为系统的特征方程为1+G(z)=0，将，将G(z)代入上式代入上式令令 代入上式并化简得代入上式并化简得由于系数均大于零，所以系统是稳定的。由于系数均大于零，所以系统是稳定的。 整理得整理得静态误差系数静态误差系数 所以，不同输入信号作用下的稳态误差为所以，不同输入信号作用下的稳态误差为单位阶跃单位阶跃单位斜坡单位斜坡单位抛物线单位抛物线练练练练习习习习已已已已知知知知系系系系统统统统结结结结构构构构如如如如图图图图所所所所示示示示，其其其其中中中中K=1,T=0.1K=1,T=0.1K=1,T=0.1K=1,T=0.1，秒秒秒秒，输输输输入入入入为为为为r(t)=1+tr(t)=1+tr(t)=1+tr(t)=1+t，试试试试用用用用静静静静态态态态误误误误差差差差系系系系数数数数法法法法求求求求稳稳稳稳态误差。态误差。态误差。态误差。 解：系统开环脉冲传递函数为解：系统开环脉冲传递函数为系统闭环脉冲传递函数为系统闭环脉冲传递函数为可解出系统闭环极点为：可解出系统闭环极点为：在单位圆内，所以系统是稳定的。在单位圆内，所以系统是稳定的。 对输入为对输入为对输入为对输入为r(t)=1+tr(t)=1+tr(t)=1+tr(t)=1+t，稳态误差为：，稳态误差为：，稳态误差为：，稳态误差为： 系统为系统为系统为系统为1 1 1 1型型型型