2.1 随机变量及其分布函数一、随机变量二、分布函数1随机变量及其分布函数一、随机变量一、随机变量例例1 抛一枚硬币抛一枚硬币,观察正面观察正面 1,反面反面 2出出现的情况现的情况:样本空间样本空间 = 1, 2 引入一个定义在引入一个定义在 上的函数上的函数 X : 由于试验结果的出现是随机的由于试验结果的出现是随机的,因此因此X( )的取值也是随机的的取值也是随机的 2随机变量及其分布函数例例2 从包含两件次品从包含两件次品(a1,a2)和三件正品和三件正品(b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件的五件产品中任意取出两件: 以以X表示抽取的两件产品中包含的表示抽取的两件产品中包含的次品个数次品个数,则则X是定义在是定义在 上的一个函数上的一个函数样本空间为样本空间为:即即 X=X( ), =a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1, a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b33随机变量及其分布函数具体写出这个函数如下具体写出这个函数如下: X取什么值依赖于试验结果取什么值依赖于试验结果,即即X的的取值带有随机性取值带有随机性4随机变量及其分布函数 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念.5随机变量及其分布函数 1、有些试验结果本身与数值有关（本身、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份郑州的最高温度；七月份郑州的最高温度；每天从郑州下火车的人数；每天从郑州下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；6随机变量及其分布函数R 设设E是随机试验是随机试验, 是其样本空间是其样本空间,如果对每个如果对每个 ,总有唯一的一个实数总有唯一的一个实数X( )与之对应与之对应, 则称则称X( )为定义在为定义在 上上的一个的一个随机变量随机变量 定义定义:随机变量随机变量常用常用X、Y 或或 、 等表示等表示 X( )7随机变量及其分布函数随机变量的特点随机变量的特点:1. X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2. X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件8随机变量及其分布函数随机变量随机变量随机变量随机变量与与函数变量函数变量的比较的比较函数变量函数变量:随机变量随机变量: :样本空间样本空间实数集实数集这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？9随机变量及其分布函数 定义了随机变量后定义了随机变量后,就可以用随机就可以用随机变量的取值情况来变量的取值情况来刻划随机事件刻划随机事件在例在例2中中,事件事件“取出的两件产品中没取出的两件产品中没有有 次品次品” 用用X=0表示表示 且概率为且概率为: PX=0=0.3 事件事件“取出的两件产品中至少有一件取出的两件产品中至少有一件次次 品品” 用用X1表示表示且概率为且概率为: PX1=0.7 10随机变量及其分布函数 例如，从某一学校随机选一例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高学生，测量他的身高. 我们可以把可能的我们可以把可能的身高看作随机变量身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X的各种问题的各种问题. 如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?11随机变量及其分布函数例例3 3 在约会问题中，样本空间为在约会问题中，样本空间为设设X表示甲到达约定地点的时刻，则表示甲到达约定地点的时刻，则X为随机变量。试求：对于给定的实为随机变量。试求：对于给定的实数数a,事件事件 的概率的概率 。12随机变量及其分布函数则：则：13随机变量及其分布函数 有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来就可以通过随机变量的关系式表达出来. 引入随机变量的意义引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用叫次数用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X= 0 14随机变量及其分布函数 随机变量概念的产生是概率论发展随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件史上的重大事件. 引入随机变量后，对引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律15随机变量及其分布函数二、分布函数二、分布函数对随机变量的概率分布情况进行刻画对随机变量的概率分布情况进行刻画 定义定义: 设设X是一随机变量是一随机变量,称函数称函数 F(x)=P(Xx), x+ 为为X的的分布函数分布函数 xX显然显然,有有: 0F(x)1 16随机变量及其分布函数X且且Xx1 Xx2故故: P(x1Xx2)=PXx2 PXx1xx1 x2 o另另, P(x1Xx2)=F(x2) F(x1) (x1x2) x1Xx2=Xx2 Xx1=F(x2) F(x1)17随机变量及其分布函数(1)F(x)是是x的不减函数的不减函数 即若即若x1x2 ,则则F(x1)F(x2)(2) 理解理解:当当x+ 时时,Xx越接近于必然事件越接近于必然事件性质性质:18随机变量及其分布函数(3)右连续性右连续性: 对任意实数对任意实数x , 具有上述三个性质的实函数必是某具有上述三个性质的实函数必是某随机变量的分布函数随机变量的分布函数.该三个性质是分布该三个性质是分布函数的充分必要性质函数的充分必要性质19随机变量及其分布函数例4 设一个箱子中有依次标有-1，2，2，3数字的4个乒乓球，从中任取一个乒乓球记随机变量X为取得的乒乓球上标有的数字,求X的分布函数，并分别求解 可能取的值为-1，2，3，由古典概率的计算公式，可知取这些值的概率依次为0.25,0.5,0.25 . .当x -1时 X x是不可能事件，因此 F(x)= 0当-1 x 2时 X x等同于X= -1，因此 F(x)= 0.2520随机变量及其分布函数当2 x 3时 X x 等同于X = -1或X = 2， 因此 F(x)= 0.25+0.5=0.75当3 x时 X x是必然事件，因此 F(x)= 1。综合起来， F(x)的表达式为：21随机变量及其分布函数分布函数分布函数F(x)的图像如下：的图像如下：22随机变量及其分布函数小小 结结 1.概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概念。 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊函数。 2.分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况，它完整描述了随机变量的统计特性。23随机变量及其分布函数