第第6 6章章 定积分的应用定积分的应用 我我我我们们们们从从从从实实实实际际际际问问问问题题题题引引引引进进进进定定定定积积积积分分分分的的的的概概概概念念念念. .在在在在几几几几何何何何、物物物物理理理理、 经经经经济济济济学学学学等等等等各各各各个个个个领领领领域域域域，有有有有许许许许多多多多问问问问题题题题都都都都可可可可用用用用定定定定积积积积分分分分予予予予以以以以解解解解决决决决，本本本本章章章章首首首首先先先先阐阐阐阐明明明明定定定定积积积积分分分分的的的的元元元元素素素素法法法法，再再再再举举举举例例例例说说说说明明明明定积分的具体应用定积分的具体应用定积分的具体应用定积分的具体应用. .6.1、定积分的元素法、定积分的元素法由以上概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀变量的求和问题，一般可通过元素法得到解决.即若所求量A满足(1)A是一个与变量x的变化区间a,b有关的量；(2)A对于区间a,b具有可加性；(3)A的部分量 可近似地表示为 其误差是 的高阶无穷小，则可用定积分 计算步骤如下1.建立坐标系，选定积分变量并确定积分区间；2.找打相应的元素;3.以此元素作积分表达式，在积分区间上求定积分.下面我们将应用这一方法来讨论一些问题下面我们将应用这一方法来讨论一些问题.6.2.1、平面图形的面积、平面图形的面积 根据围成平面图形的曲线的不同情况，我们分为以下两种情形(1)由一条曲线 和直线x=a,x=b(ab)及x轴围成的平面图形由定积分几何意义可知，当 时由曲线 和直线x=a,x=b(ab)及x轴围成的曲边梯形的面积A为定积分 ；当 时，由曲线 和直线 x=a,x=b(ab) 及x轴围成的曲边梯形的面积A为定积分当 在区间a,b上的值有正有负时,则由曲线 和直线x=a,x=b(ab)及 x轴围成的曲边梯形的面积A是在x轴上方和下方的曲边梯形面积之差.Oxbay=f ( x)y=g( x)图图图 6-96-9xyOx x+dxyO图6-10yabx+dxx-aO(8,4)-2yy+dy4A1A2(2,-2)y2=2xy=x-4xy图6-11Oxabxy=f(x)图 6-13( b)图6-14y(a)x x+dxx1Ox图6-15(a)yy+dy21yO(b)OaA(x)bx图 6-16AOBxa-aPQRyx图6-17 本章的基本要求本章的基本要求 理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道函数理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道函数连续是可积的充分条件，函数有界是可积的必要条件；连续是可积的充分条件，函数有界是可积的必要条件；理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿掌握牛顿莱布尼茨公式；熟练掌握定积分的换元法与莱布尼茨公式；熟练掌握定积分的换元法与分部积分法；掌握用定积分表达一些几何量（如面积和分部积分法；掌握用定积分表达一些几何量（如面积和体积）的方法；了解反常积分及其收敛、发散的概念等体积）的方法；了解反常积分及其收敛、发散的概念等. . 重点重点 定积分的概念和性质，定积分的概念和性质， 牛顿牛顿莱布尼茨公式，莱布尼茨公式， 定积分换元法和分部积分法，定积分换元法和分部积分法， 利用定积分计算平面图形的面积利用定积分计算平面图形的面积. .