例例1.一个口袋内装有大小相等的一个口袋内装有大小相等的1个白球和已个白球和已编有不同号码的编有不同号码的3个黑球，个黑球，.（1）从中摸出）从中摸出1个球放回后再摸出个球放回后再摸出1个球。摸个球。摸出出2个黑球的概率是多少？个黑球的概率是多少？（2）从中摸出）从中摸出2个球，摸出两个黑球的概率是个球，摸出两个黑球的概率是多少？多少？练习：练习：1 1。口袋中一红三黑共。口袋中一红三黑共4 4个小球，一次个小球，一次从中取出两个小球，求从中取出两个小球，求 “取出的小球都是黑取出的小球都是黑球球”的概率的概率解：一次从口袋中取出两个小球时，解：一次从口袋中取出两个小球时， 所有可能出所有可能出现的结果共现的结果共6 6个，即（红，黑个，即（红，黑1 1）（红，黑）（红，黑2 2）（红，）（红，黑黑3 3）（黑）（黑1 1，黑，黑2 2）（黑）（黑1 1，黑，黑3 3）（黑（黑2 2，黑，黑3 3）且它们出现的可能性相等。满足取）且它们出现的可能性相等。满足取出的小球都是黑球（记为事件出的小球都是黑球（记为事件A A）的结果有）的结果有3 3个，个，即（黑即（黑1 1，黑，黑2 2）（黑）（黑1 1，黑，黑3 3）（黑）（黑2 2，黑，黑3 3） ， 则则P P（A A）= = =可直接列可直接列举2.2.一个袋中里有一个袋中里有4 4个珠子，其中个珠子，其中2 2个红色，个红色，2 2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取从这个袋中任取2 2个珠子，都是蓝色珠子个珠子，都是蓝色珠子的概率为多少？的概率为多少？解：由题意画出解：由题意画出树状图：树状图：开开始始红红蓝蓝 由树状图可由树状图可以看出，所有可以看出，所有可能出现的结果共能出现的结果共有有4 4个，都是蓝个，都是蓝色珠子的结果有色珠子的结果有1 1个。个。故故红红蓝蓝蓝蓝红红蓝蓝红红例例2 2：甲口袋中装有：甲口袋中装有2 2个相同的小球，它们分个相同的小球，它们分别写有字母别写有字母A A和和B B；乙口袋中装有；乙口袋中装有3 3个相同的小个相同的小球，它们分别写有字母球，它们分别写有字母C C、D D和和E E；丙口袋中装；丙口袋中装有有2 2个相同的小球，它们分别写有字母个相同的小球，它们分别写有字母H H和和I I。从从3 3个口袋中各随机地取出个口袋中各随机地取出1 1个小球。个小球。（1 1）取出的）取出的3 3个小球上恰好有个小球上恰好有1 1个、个、2 2个和个和3 3个个元音字母的概率分别是多少？元音字母的概率分别是多少？（2 2）取出的）取出的3 3个小球上全是辅音字母的概率个小球上全是辅音字母的概率是多少？是多少？ 一次实验涉及三个一次实验涉及三个因素（或更多）时，列表因素（或更多）时，列表就不方便了，为了不重不就不方便了，为了不重不漏的列出所有可能结果，漏的列出所有可能结果，通常采用树形图。通常采用树形图。第一步：可能产生的结果为第一步：可能产生的结果为A A和和B B，两者出，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行。现的可能性相同且不分先后，写在第一行。第二步：可能产生的结果有第二步：可能产生的结果有C C、D D和和E E，三，三者出现的可能性相同且不分先后，从者出现的可能性相同且不分先后，从A A和和B B分别画出三个分支，在分支下的第二行分分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上别写上C C、D D和和E E。树形图的方法树形图的方法第三步：可能产生的结果有两个第三步：可能产生的结果有两个H H和和I I，两者出，两者出现的可能性相同且不分先后，从现的可能性相同且不分先后，从C C、D D和和E E分别分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H H和和I I。（如果有更多的步骤可依上继续）。（如果有更多的步骤可依上继续）第四步：按竖向把各种可能的结果竖着写在下第四步：按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数。再找出面，就得到了所有可能的结果的总数。再找出符合要求的种数，就可以利用概率和意义计算符合要求的种数，就可以利用概率和意义计算概率。概率。解：根据题意，我们可以画出如下的解：根据题意，我们可以画出如下的“树树形图形图”：这些结果出现的可能性相等。这些结果出现的可能性相等。（1 1）只有一个元音字母的结果（红色）有）只有一个元音字母的结果（红色）有5 5个，个，即即ACHACH，ADHADH，BCIBCI，BDIBDI，BEHBEH，所以，所以P P（一个元（一个元音）音）= =有两个元音字母的结果（绿色）有有两个元音字母的结果（绿色）有4 4个，即个，即ACIACI，ADIADI，AEHAEH，BEIBEI，所以，所以P P（两个元音）（两个元音）= =全部为元音字母的结果（蓝色）只有全部为元音字母的结果（蓝色）只有1 1个，即个，即AEIAEI，所以，所以P P（三个元音）（三个元音）= =（2 2）全部辅音字母的结果共有）全部辅音字母的结果共有2 2个：个：BCHBCH，BDHBDH，所以，所以P P（三个辅音）（三个辅音）= = 什么时候使用什么时候使用“列表法列表法”方便，什方便，什么时候使用么时候使用“树形图法树形图法”方便？方便？想一想 当一个事件要涉及当一个事件要涉及两个因素并且可能出现两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通的结果数目较多时，通常采用列表法。常采用列表法。 当一次试验要当一次试验要涉及涉及3 3个或更多的因个或更多的因素时，通常采用素时，通常采用“画树形图画树形图”。1.1.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：路口时，求下列事件的概率：（1 1）三辆车全部继续直行；）三辆车全部继续直行；（2 2）两辆车右转，一辆车左转；）两辆车右转，一辆车左转；（3 3）至少有两辆车左转。）至少有两辆车左转。练习左左左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右直直左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右右右左左直直右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左 直直 右右左左直直 右右左左左左左左左左左左左左左左直直 右右直直左左左左直直左左直直左左直直 右右右右左左左左右右左左右右直直直直 右右左左左左直直左左直直左左直直直直 右右直直左左直直直直直直直直直直直直 右右右右左左直直右右直直右右右右直直 右右左左左左右右左左右右左左右右直直 右右直直左左右右直直右右直直右右直直 右右右右左左右右右右右右右右解：由树形图得，所有可能出现的结果有解：由树形图得，所有可能出现的结果有2727个，个，它们出现的可能性相等。它们出现的可能性相等。（1 1）三辆车全部继续直行的结果有）三辆车全部继续直行的结果有1 1个，则个，则 P P（三辆车全部继续直行）（三辆车全部继续直行）= =（2 2）两辆车右转，一辆车左转的结果有）两辆车右转，一辆车左转的结果有3 3个，则个，则P P（两辆车右转，一辆车左转）（两辆车右转，一辆车左转）= = =（3 3）至少有两辆车左转的结果有）至少有两辆车左转的结果有7 7个，则个，则 P P（至（至少有两辆车左转）少有两辆车左转）= =1.1.在一个盒子中有质地均匀的在一个盒子中有质地均匀的3 3个小球，其中个小球，其中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便哪种方法更方便？（1 1）从盒子中取出一个小球，小球是红球）从盒子中取出一个小球，小球是红球（2 2）从盒子中每次取出一个小球，取出后再）从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的颜色相同放回，取出两球的颜色相同（3 3）从盒子中每次取出一个小球，取出后再）从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同。放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同。直接列举；直接列举； 列表法或树形图；列表法或树形图； 树形图。树形图。灵活应用 1 1。小明是个小马虎。小明是个小马虎, ,晚上睡觉时将两双不同的袜子放晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？【跟踪训练跟踪训练】解：设两双袜子分别为解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则则B1A1B2A2开始开始A2 B1 B2A1 B1 B2A1 A1 B2A1A2B1所以穿相同一双袜子的概率为所以穿相同一双袜子的概率为 练习练习2.2.一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地其中一个无盖，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是_._.【解析解析】设三只杯子分别为设三只杯子分别为B B1 1，B B2 2，B B3 3，两个杯盖为，两个杯盖为G G1 1，G G2 2(G(G1 1和和B B1 1，G G2 2和和B B2 2花色相同花色相同) )列表得列表得共有共有6 6种情况，花色完全搭配正确的有种情况，花色完全搭配正确的有2 2种，种，P(P(花色完全搭配正确花色完全搭配正确)=)=答案：答案：3.3.（20102010毕节中考）在盒子里放有三张分别写有整式毕节中考）在盒子里放有三张分别写有整式a+1a+1、a+2a+2、2 2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（ ）17. 17. 掷掷1 1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：面的点数，求下列事件的概率：（1 1）点数是）点数是6 6的约数；的约数； （2 2）点数是质数；）点数是质数； （3 3）点数是合数）点数是合数（4 4）小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两）小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜；掷人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜；掷得点数是合数，小亮胜，分别求出小明胜和小得点数是合数，小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。平的规则，并说明理由。公平性问题（2 2）掷得点数是质数）掷得点数是质数( (记为事件记为事件B)B)有有3 3种结果，种结果，因此因此P P（B B） . .（3 3）掷得点数是合数）掷得点数是合数( (记为事件记为事件C)C)有有2 2种结果，种结果，因此因此P P（C C） . .（1 1）掷得点数是）掷得点数是6 6的约数的约数( (记为事件记为事件A)A)有有4 4种结果，种结果，因此因此P P（A A） . .解：掷解：掷1 1个质地均匀的正方体骰子，向上一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为面的点数可能为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，共，共6 6种。种。这些点数出现的可能性相等。这些点数出现的可能性相等。（4 4）由上面的计算知道）由上面的计算知道, P, P（小明胜）（小明胜） , , P P（小亮胜）（小亮胜） , , P P（小明胜）（小明胜） P P（小亮胜）（小亮胜）, , 这样的游戏规则不公平。这样的游戏规则不公平。 可以设计如下的规则：两人轮流掷骰子，可以设计如下的规则：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜，小明得掷得点数是质数，小明胜，小明得2 2分；掷得分；掷得点数是合数，小亮胜，小亮得点数是合数，小亮胜，小亮得3 3分，最后按得分，最后按得分多少决定输赢。因为此时分多少决定输赢。因为此时P P（小明胜）（小明胜） 2=P2=P（小亮胜）（小亮胜） 3，即两人平均每次得分，即两人平均每次得分相同。相同。1、两人用锤子、剪子、布的游戏决定胜负，试计算玩一次甲、乙分别获胜的概率。2、有两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开的概率是多少？3、用写2、1、0的三张卡片排成三位数是偶数的概率拓展提高1、甲，乙，丙，丁四人分到A,B两个足球队，每队两人。求甲，乙两人分在同一球队的概率 一个不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3的球（除编号外，其余都 相同），其中1号球1个，3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率为（1）求袋子中2号球的个数（2）甲、乙两人分别从袋子中摸出一个球（不放回），甲摸出球的编号记为x ，乙摸出球的编号记为y，用列表法求点A(x,y)在直线y=x下方的概率。 田忌赛马是一个为人熟知的故事传说，战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌赛与，双方约定，比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中、下等马分别比齐王的中、下等马要强（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？ （2）如果齐王将按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少（要求写出双方对阵的所有情况） ？