第第2章章 算法算法-程序的灵魂程序的灵魂一个程序主要包括以下两方面的信息：一个程序主要包括以下两方面的信息：(1) 对数据的描述对数据的描述。在程序中要指定用到。在程序中要指定用到哪哪些些数据以及这些数据的类型和数据的组织形式数据以及这些数据的类型和数据的组织形式u这就是数据结构这就是数据结构(data structure)(2) 对操作的描述对操作的描述。即要求计算机进行操作的。即要求计算机进行操作的步骤步骤u也就是算法也就是算法(algorithm)数据是操作的对象数据是操作的对象操作的目的是对数据进行加工处理，以得操作的目的是对数据进行加工处理，以得到期望的结果到期望的结果著名计算机科学家沃思著名计算机科学家沃思(Nikiklaus Wirth)提出一个公式：提出一个公式： 算法算法 + 数据结构数据结构 = 程序程序一个程序除了一个程序除了算法和数据结构这算法和数据结构这主要要素主要要素外，还应当采用结构化程序设计方法进行外，还应当采用结构化程序设计方法进行程序设计，并且用某一种计算机语言表示程序设计，并且用某一种计算机语言表示算法算法、数据结构数据结构、程序设计方法程序设计方法和和语言工语言工具具是一个程序设计人员应具备的知识是一个程序设计人员应具备的知识算法是解决算法是解决“做什么做什么”和和“怎么做怎么做”的问的问题题程序中的操作语句，是算法的体现程序中的操作语句，是算法的体现不了解算法就谈不上程序设计不了解算法就谈不上程序设计2.1 什么是算法什么是算法2.2 简单的算法举例简单的算法举例2.3 算法的特性算法的特性2.4 怎样表示一个算法怎样表示一个算法2.5 结构化程序设计方法结构化程序设计方法2.1 什么是算法什么是算法广义地说，为解决一个问题而采取的方广义地说，为解决一个问题而采取的方法和步骤，就称为法和步骤，就称为“算法算法”对同一个问题，可以有不同的解题方法对同一个问题，可以有不同的解题方法和步骤和步骤为了有效地进行解题，不仅需要保证算为了有效地进行解题，不仅需要保证算法正确，还要考虑算法的质量，选择合法正确，还要考虑算法的质量，选择合适的算法适的算法2.1 什么是算法什么是算法计算机算法可分为两大类别：计算机算法可分为两大类别：u数值运算算法数值运算算法u非数值运算算法非数值运算算法数值运算数值运算的目的是求数值解的目的是求数值解非数值运算非数值运算包括的面十分广泛，最常见包括的面十分广泛，最常见的是用于事务管理领域的是用于事务管理领域2.2简单的算法举例简单的算法举例例例2.1 求求12345可以用最原始的方法进行：可以用最原始的方法进行：u步骤步骤1：先求：先求1*2，得到结果，得到结果2。u步骤步骤2：将步骤：将步骤1得到的乘积得到的乘积2再乘以再乘以3，得，得到结果到结果6。u步骤步骤3：将：将6再乘以再乘以4，得，得24。u步骤步骤4：将：将24再乘以再乘以5，得，得120。这就是最。这就是最后的结果。后的结果。例例2.1 求求12345 1000太繁琐太繁琐2.2简单的算法举例简单的算法举例改进的算法：改进的算法：u设变量设变量p为被乘数为被乘数u变量变量i为乘数为乘数u用循环算法求结果用循环算法求结果2.2简单的算法举例简单的算法举例S1：使：使p=1，或写成，或写成1pS2：使：使i=2，或写成，或写成2iS3：使：使p与与i相乘，乘积仍放在变量相乘，乘积仍放在变量p中，可表中，可表示为：示为：p*ipS4：使：使i的值加的值加1，即，即i+1 iS5：如果：如果i不大于不大于5，返回重新执行，返回重新执行S3；否则，；否则，算法结束算法结束最后得到最后得到p的值就是的值就是 5!的值的值若是若是1000，求什么？，求什么？2.2简单的算法举例简单的算法举例S1：使：使p=1，或写成，或写成1pS2：使：使i=2，或写成，或写成2iS3：使：使p与与i相乘，乘积仍放在变量相乘，乘积仍放在变量p中，可表中，可表示为：示为：p*ipS4：使：使i的值加的值加1，即，即i+1 iS5：如果：如果i不大于不大于5，返回重新执行，返回重新执行S3；否则，；否则，算法结束算法结束最后得到最后得到p的值就是的值就是 5!的值的值若若求求135791133221111相当于相当于i 11 例例2.2 有有50个学生，要求将成绩在个学生，要求将成绩在80分分以上的学生的学号和成绩输出。以上的学生的学号和成绩输出。用用ni代表第代表第i个学生个学生学号，学号，gi表示第表示第i个学生成绩个学生成绩S1：1iS2：如果：如果gi80， 则输出则输出ni和和gi，否则不输出，否则不输出S3：i+1iS4：如果：如果i50，返回到步骤，返回到步骤S2，继续执行，继续执行，否则，算法结束否则，算法结束 例例2.3 判定判定20002500年中的每一年是年中的每一年是否闰年，并将结果输出。否闰年，并将结果输出。闰年的条件：闰年的条件： (1)能被能被4整除，但不能被整除，但不能被100整除的年份都是整除的年份都是闰年，如闰年，如2008、2012、2048年年 (2)能被能被400整除的年份是闰年，如整除的年份是闰年，如2000年年u不符合这两个条件的年份不是闰年不符合这两个条件的年份不是闰年u例如例如2009、2100年年设设year为被检测的年份。算法表示如下：为被检测的年份。算法表示如下：uS1：2000yearuS2：若：若year不能被不能被4整除，则输出整除，则输出year 的的值和值和“不是闰年不是闰年”。然后转到。然后转到S6uS3：若：若year能被能被4整除，不能被整除，不能被100整除，整除，则输出则输出year的值和的值和“是闰年是闰年”。然后转到。然后转到S6uS4：若：若year能被能被400整除，整除，则则输出输出year的的值和值和“是闰年是闰年” ，然后转到，然后转到S6uS5: 其他情况其他情况输出输出year的值和的值和“不是闰年不是闰年”uS6：year+1yearuS7：当：当year2500时，转时，转S2，否则停止，否则停止year不能不能被被4整除整除非闰年非闰年year被被4整整除，但不能除，但不能被被100整除整除闰年闰年year被被100整除，又能整除，又能被被400整除整除闰年闰年其他其他非闰年非闰年逐渐缩小判断逐渐缩小判断的范围的范围例例2.4 求求规律：规律：第第1项的分子分母都是项的分子分母都是1 第第2项的分母是项的分母是2，以后每一项的分母子都是，以后每一项的分母子都是前一项的分母加前一项的分母加1 笫笫2项前的运算符为项前的运算符为“-”，后一项前面的运，后一项前面的运算符都与前一项前的运算符相反算符都与前一项前的运算符相反例例2.4 求求S1：sign=1S2：sum=1S3：deno=2S4：sign=(-1)*signS5：term=sign*(1/deno)S6：sum=sum+termS7：deno=deno+1S8：若：若deno100返回返回S4；否则算法结束；否则算法结束sign当前项符号当前项符号term当前项的值当前项的值sum当前各项的和当前各项的和deno当前项分母当前项分母-1-1/21-1/23满足，返回满足，返回S4例例2.4 求求S1：sign=1S2：sum=1S3：deno=2S4：sign=(-1)*signS5：term=sign*(1/deno)S6：sum=sum+termS7：deno=deno+1S8：若：若deno100返回返回S4；否则算法结束；否则算法结束sign当前项符号当前项符号term当前项的值当前项的值sum当前各项的和当前各项的和deno当前项分母当前项分母11/31-1/2+1/34满足，返回满足，返回S4例例2.4 求求S1：sign=1S2：sum=1S3：deno=2S4：sign=(-1)*signS5：term=sign*(1/deno)S6：sum=sum+termS7：deno=deno+1S8：若：若deno100返回返回S4；否则算法结束；否则算法结束99次循环后次循环后sum的值的值就是所要求的结果就是所要求的结果 例例2.5 给出一个大于或等于给出一个大于或等于3的正整数，判的正整数，判断它是不是一个素数。断它是不是一个素数。所谓素数所谓素数(prime)，是指除了，是指除了1和该数本和该数本身之外，不能被其他任何整数整除的数身之外，不能被其他任何整数整除的数例如，例如，13是素数，因为它不能被是素数，因为它不能被2，3，4，12整除。整除。判断一个数判断一个数n(n3)是否素数：将是否素数：将n作为被作为被除数，将除数，将2到到(n-1)各个整数先后作为除数，各个整数先后作为除数，如果都不能被整除，则如果都不能被整除，则n为素数为素数S1：输入：输入n的值的值S2：i=2 （i作为除数）作为除数）S3：n被被i除，得余数除，得余数rS4：如果：如果r=0，表示，表示n能被能被i整除，则输出整除，则输出n“不不是素数是素数”，算法结束；否则执行，算法结束；否则执行S5S5：i+1iS6：如果：如果in-1，返回，返回S3；否则输出；否则输出n “是素是素数数”，然后结束。，然后结束。可改为可改为n/22.3算法的特性算法的特性一个有效算法应该具有以下一个有效算法应该具有以下特点特点：(1) 有穷性有穷性。一个算法应包含有限的操。一个算法应包含有限的操作步骤，而不能是无限的。作步骤，而不能是无限的。(2) 确定性确定性。算法中的每一个步骤都应。算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的。两可的。2.3算法的特性算法的特性一个有效算法应该具有以下一个有效算法应该具有以下特点特点：(3) 有零个或多个输入有零个或多个输入。所谓输入是指在执。所谓输入是指在执行算法时需要从外界取得必要的信息。行算法时需要从外界取得必要的信息。(4) 有一个或多个输出有一个或多个输出。算法的目的是为了。算法的目的是为了求解，求解，“解解” 就是输出。就是输出。u没有输出的算法是没有意义的。没有输出的算法是没有意义的。(5) 有效性有效性。算法中的每一个步骤都应当能。算法中的每一个步骤都应当能有效地执行，并得到确定的结果。有效地执行，并得到确定的结果。2.3算法的特性算法的特性对于一般最终用户来说对于一般最终用户来说:u他们并不需要在处理每一个问题时都要自他们并不需要在处理每一个问题时都要自己设计算法和编写程序己设计算法和编写程序u可以使用别人已设计好的现成算法和程序可以使用别人已设计好的现成算法和程序u只需根据已知算法的要求给予必要的输入，只需根据已知算法的要求给予必要的输入，就能得到输出的结果就能得到输出的结果输入输入3个数个数黑箱子黑箱子3个数中最大数个数中最大数求求3个数的个数的最大数最大数2.4怎样表示一个算法怎样表示一个算法常用的方法有：常用的方法有：u自然语言自然语言u传统流程图传统流程图u结构化流程图结构化流程图u伪代码伪代码u2.4怎样表示一个算法怎样表示一个算法2.4.1 用自然语言表示算法用自然语言表示算法2.4.2 用流程图表示算法用流程图表示算法2.4.3 三种基本结构和改进的流程图三种基本结构和改进的流程图2.4.4 用用N-S流程图表示算法流程图表示算法2.4.5 用伪代码表示算法用伪代码表示算法2.4.6 用计算机语言表示算法用计算机语言表示算法2.4.1 用自然语言表示算法用自然语言表示算法2.2节介绍的算法是用自然语言表示的节介绍的算法是用自然语言表示的用自然语言表示通俗易懂，但文字冗长，容用自然语言表示通俗易懂，但文字冗长，容易出现歧义性易出现歧义性用自然语言描述包含分支和循环的算法，不用自然语言描述包含分支和循环的算法，不很方便很方便除了很简单的问题外，一般不用自然语言除了很简单的问题外，一般不用自然语言2.4.2用流程图表示算法用流程图表示算法流程图流程图是用一些图框来表示各种操作是用一些图框来表示各种操作用图形表示算法，直观形象，易于理解用图形表示算法，直观形象，易于理解起止框起止框输入输出框输入输出框处理框处理框判断框判断框流程线流程线连接点连接点注释框注释框x 0YN一个入口一个入口两个出口两个出口2.4.2用流程图表示算法用流程图表示算法流程图流程图是用一些图框来表示各种操作是用一些图框来表示各种操作用图形表示算法，直观形象，易于理解用图形表示算法，直观形象，易于理解起止框起止框输入输出框输入输出框处理框处理框判断框判断框流程线流程线连接点连接点注释框注释框位置不够位置不够防止交叉防止交叉 例例2.6 将例将例2.1的算的算法用流程图表示。法用流程图表示。 求求12345如果需要将最后结果如果需要将最后结果输出输出:1ti5开始开始2it*iti+1i结束结束NY 例例2.6 将例将例2.1的算的算法用流程图表示。法用流程图表示。 求求12345如果需要将最后结果如果需要将最后结果输出输出:1t输出输出ti5开始开始2it*iti+1i结束结束NY 例例2.7 例例2.2的算法用流程图表示。有的算法用流程图表示。有50个学生，要求将成绩在个学生，要求将成绩在80分以上的学生的分以上的学生的学号和成绩输出。学号和成绩输出。1ii50开始开始i+1i结束结束NY输入输入ni、gi1i开始开始gi 80输出输出ni、gii+1ii50NYYN如果包括输入数据部分如果包括输入数据部分1ii50开始开始i+1i结束结束NY输入输入ni、gi1igi 80输出输出ni、gii+1ii50NYYN如果包括输入数据部分如果包括输入数据部分 例例2.8 例例2.3判定闰年的算法用流程图表示。判定闰年的算法用流程图表示。判定判定20002500年中的每一年是否闰年，年中的每一年是否闰年，将结果输出。将结果输出。NYN开始开始2000yearyear不能不能被被4整除整除year是闰年是闰年year不能不能被被100整除整除year+1yearyear2500结束结束Yyear不能不能被被400整除整除year不是闰年不是闰年year是闰年是闰年year不是闰年不是闰年YNYN例例2.9 将例将例2.4的算法用流程图表示。求的算法用流程图表示。求1sum2deno1sign(-1)*signsignsign*(1/deno)termsum+termsumdeno+1denoNdeno100Y输出输出sum结束结束开始开始 例例2.10 例例2.5判断素数的算法用流程图表判断素数的算法用流程图表示。对一个大于或等于示。对一个大于或等于3的正整数，判断它的正整数，判断它是不是一个素数。是不是一个素数。NY输出输出n是素数是素数结束结束开始开始输入输入n2in%irr=0i+1ii输出输出n是素数是素数YN通过以上几个例子可以看出流程图是表示通过以上几个例子可以看出流程图是表示算法的较好的工具算法的较好的工具一个流程图包括以下几部分一个流程图包括以下几部分：(1) 表示相应操作的框表示相应操作的框(2) 带箭头的流程线带箭头的流程线(3) 框内外必要的文字说明框内外必要的文字说明流程线不要忘记画箭头，流程线不要忘记画箭头，否则否则难以判定各难以判定各框的执行次序框的执行次序2.4.3 三种基本结构和改进的流程图三种基本结构和改进的流程图1.传统流程图的弊端传统流程图的弊端传统的流程图用流程线指出各框的执行顺传统的流程图用流程线指出各框的执行顺序，对流程线的使用没有严格限制序，对流程线的使用没有严格限制使用者可以毫不受限制地使流程随意地转使用者可以毫不受限制地使流程随意地转来转去，使人难以理解算法的逻辑来转去，使人难以理解算法的逻辑2.4.3 三种基本结构和改进的流程图三种基本结构和改进的流程图2.三种基本结构三种基本结构(1) 顺序结构顺序结构AB2.4.3 三种基本结构和改进的流程图三种基本结构和改进的流程图2.三种基本结构三种基本结构(2) 选择结构选择结构ABYpNAYpN2.4.3 三种基本结构和改进的流程图三种基本结构和改进的流程图2.三种基本结构三种基本结构(3) 循环结构循环结构 当型循环结构当型循环结构AYp1NYx51t输出输出t2it*iti+1i 例例2.12 将例将例2.2的的算法用算法用N-S图表示。图表示。将将50名学生中成绩名学生中成绩高于高于80分者的学号分者的学号和成绩输出。和成绩输出。直到直到i501t1ii+1i输入输入ni、gii+1i直到直到i50gi 80否否是是输出输出ni,gi例例2.13 将例将例2.3判定闰年的算法用判定闰年的算法用N-S图表示图表示直到直到year25002000yearyear+1year否否是是year%4为为0否否是是输出输出year非闰年非闰年year%100不为不为0year%400为为0是是否否输出输出year非闰年非闰年输出输出year闰年闰年输出输出year闰年闰年例例2.14 将例将例2.4的算法用的算法用N-S图图表示。求表示。求直到直到deno100deno+1deno输出输出sum1sum1sign2deno(-1)*signsignsign*(1/deno)termsum+termsum 例例2.15 将例将例2.5判别素数的算法用判别素数的算法用N-S流程图表示。流程图表示。u例例2.10的流程图的流程图不是由三种基本结构组成不是由三种基本结构组成的的u循环有两个出口，不符合基本结构的特点循环有两个出口，不符合基本结构的特点u无法直接用无法直接用N-S流程图的三种基本结构的流程图的三种基本结构的符号来表示符号来表示u先作必要的先作必要的变换变换NY开始开始输入输入n0w 2in%irr=0i+1ii 和和w=0YN1w输出输出n是素数是素数结束结束w=0输出输出n不是素数不是素数输入输入nr=0是是否否0w2in%ir1wi+1i直到直到i 或或w 0w=0是是否否输出输出n是素数是素数输出输出n不是素数不是素数一个结构化的算法是由一些基本结构顺序一个结构化的算法是由一些基本结构顺序组成的组成的在基本结构之间不存在向前或向后的跳转，在基本结构之间不存在向前或向后的跳转，流程的转移只存在于一个基本结构范围之流程的转移只存在于一个基本结构范围之内内一个非结构化的算法可以用一个等价的结一个非结构化的算法可以用一个等价的结构化算法代替，其功能不变构化算法代替，其功能不变如果一个算法不能分解为若干个基本结构，如果一个算法不能分解为若干个基本结构，则它必然不是一个结构化的算法则它必然不是一个结构化的算法2.4.5用伪代码表示算法用伪代码表示算法伪代码是用介于自然语言和计算机语言之伪代码是用介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号来描述算法间的文字和符号来描述算法用伪代码写算法并无固定的、严格的语法用伪代码写算法并无固定的、严格的语法规则，可以用英文，也可以中英文混用规则，可以用英文，也可以中英文混用例例2.16 求求5!。begin (算法开始算法开始) 1 t 2 i while i5 t*i t i+1 i print tend (算法结束算法结束)例例2.17 求求begin 1 sum 2 deno 1 sign while deno 100 (-1)*sign sign sign*1/deno term sum+term sum deno+1 deno print sumend2.4.6用计算机语言表示算法用计算机语言表示算法要完成一项工作，包括要完成一项工作，包括设计算法设计算法和和实现算实现算法法两个部分。两个部分。设计算法的目的是为了实现算法。设计算法的目的是为了实现算法。不仅要考虑如何设计一个算法，也要考虑不仅要考虑如何设计一个算法，也要考虑如何实现一个算法。如何实现一个算法。 例例2.18 将例将例2.16表示的算法（求表示的算法（求5!）用）用C语言表示。语言表示。#include int main( ) int i,t; t=1; i=2; while(i=5) t=t*i; i=i+1; printf(%dn,t); return 0;例例2.19 将例将例2.17表示的算法（求多项式表示的算法（求多项式 的值）用的值）用C语言表示。语言表示。#include int main( ) int sign=1; double deno = 2.0,sum = 1.0, term; while (deno = 100) sign = -sign; term = sign/deno; sum = sum+term; deno = deno+1; printf (%fn,sum); return 0;2.5结构化程序设计方法结构化程序设计方法结构化程序设计强调程序设计风格和程序结构化程序设计强调程序设计风格和程序结构的规范化，提倡清晰的结构结构的规范化，提倡清晰的结构。结构化程序设计方法的结构化程序设计方法的基本思路基本思路是：把一是：把一个复杂问题的求解过程分阶段进行，每个个复杂问题的求解过程分阶段进行，每个阶段处理的问题都控制在人们容易理解和阶段处理的问题都控制在人们容易理解和处理的范围内。处理的范围内。2.5结构化程序设计方法结构化程序设计方法采取以下方法保证得到结构化的程序：采取以下方法保证得到结构化的程序：（1） 自顶向下自顶向下；（2） 逐步细化逐步细化；（3） 模块化设计模块化设计；（4） 结构化编码结构化编码。