3.1.3 空间向量的数量积运算一、两个向量的夹角一、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是其取值范围是0,180二、两个向量的数量积二、两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. . 规定规定: :零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.三、空间两个向量的数量积的性质三、空间两个向量的数量积的性质(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相 同的性质同的性质.(2)性质性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是是 用来求两个向量的夹角用来求两个向量的夹角(3)性质性质(3)是实数与向量之间转化的依据是实数与向量之间转化的依据四、空间向量数量积的运算律四、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 向量数量积的运算适合乘法结合律吗向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即即(ab)c一定等于一定等于a(bc)吗吗?注意：注意：数量积不满足结合律即数量积不满足结合律即lOP例例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图，已知：如图，PO,PA分别是平面分别是平面的的垂垂线线，斜，斜线线,AO是是PA在平面在平面内的射内的射影，影，AlOPA已知：如图，已知：如图，PO,PA分别是平面分别是平面的的垂垂线线，斜，斜线线,AO是是PA在平面在平面内的射内的射影，影，a三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直，那么平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直这条斜线在平面内的射影垂直nlmgnzmgl例例2 如图，如图，m,n是平面是平面内的两条相交直内的两条相交直线线。如果如果l m,l n,求证：求证：l