第二节一元二次不等式及其解法【知识梳理【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)一元二次不等式的特征一元二次不等式的特征: :一元二次不等式的二次项一元二次不等式的二次项( (最高次项最高次项) )系数系数_0._0.不等于不等于(2)(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系: :判别式判别式=b=b2 2-4ac-4ac00=0=000)+bx+c(a0)的图象的图象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根的根有两个相异实根有两个相异实根x x1 1,x,x2 2(x(x1 1x00=0=000(a0)+bx+c0(a0)的解集的解集_R Raxax2 2+bx+c0)+bx+c0)的解集的解集_ _x|xx|xxxxx2 2 x|xxx|xx1 1 x|xx|x1 1xxx0(a0)+bx+c0(a0)中中, ,如果二次项系数如果二次项系数a0,a0+bx+c0(a0)(a0)的求解过程的求解过程0?0?(-,x(-,x2 2)(x)(x1 1,+),+)R R2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0或或(x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0型不等式解法型不等式解法不等式不等式解集解集ababab(x-a)(x-b(x-a)(x-b)0)0x|xx|xabxb_(x-a)(x-b(x-a)(x-b)0)0_x|bx|bxaxax|xax|xa x|xx|xbaxax|ax|axbxb 3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :配方法配方法, ,因式分解因式分解. .(2)(2)数学思想数学思想: :数形结合思想数形结合思想. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :一元二次不等式解集口诀一元二次不等式解集口诀. .大于取两边大于取两边, ,小于取中间小于取中间【小题快练【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)若不等式若不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0.(a0.() )(2)(2)若不等式若不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集是的解集是(-,x(-,x1 1)(x)(x2 2,+),+),则方程则方程axax2 2+bx+bx+c=0c=0的两个根是的两个根是x x1 1和和x x2 2.(.() )(3)(3)若方程若方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)没有实数根没有实数根, ,则不等式则不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集的解集为为R.(R.() )(4)(4)不等式不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0在在R R上恒成立的条件是上恒成立的条件是a0a0且且=b=b2 2-4ac0.(-4ac0.() )【解析【解析】(1)(1)正确正确. .由不等式由不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0.a0.(2)(2)正确正确. .由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的正确的. .(3)(3)错误错误. .只有当只有当a0a0时才成立时才成立, ,当当a0a0+bx+c0的解集为空集的解集为空集. .(4)(4)错误错误. .还要考虑还要考虑a=0a=0的情况的情况, ,不等式不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0在在R R上恒成立的条件上恒成立的条件是是a=0,b=0,c0a=0,b=0,c0或或a0a0-3x-100的解集是的解集是( () )A.(-2,5) B.(5,+)A.(-2,5) B.(5,+)C.(-,-2) D.(-,-2)(5,+)C.(-,-2) D.(-,-2)(5,+)【解析【解析】选选D.xD.x2 2-3x-10=(x-5)(x+2)0,-3x-10=(x-5)(x+2)0,所以所以x5x5或或x-2.x-2.故原不等式的解集为故原不等式的解集为(-,-2)(5,+).(-,-2)(5,+).(2)(2)(必修必修5P815P81习题习题3.2B3.2B组组T2T2改编改编) )关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程mxmx2 2(1(1m)xm)x+m=0+m=0没有实数根，则没有实数根，则m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】若方程若方程mxmx2 2(1(1m)x+mm)x+m=0=0没有实数根，没有实数根，则则 解得解得mm1 1或或答案：答案：( (,1)1)3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014大纲版全国卷大纲版全国卷) )设集合设集合M=x|xM=x|x2 2-3x-40,N=x|0x5,-3x-40,N=x|0x5,则则MN=(MN=() )A.(0,4 B.0,4) A.(0,4 B.0,4) C.-1,0) C.-1,0) D.(-1,0 D.(-1,0【解析【解析】选选B.B.因为因为M=x|-1x4,N=x|0M=x|-1x4,N=x|0x x5,5,所以所以MN=x|0x4.MN=x|0x4.(2)(2013(2)(2013重庆高考重庆高考) )关于关于x x的不等式的不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 20)0)的解集为的解集为(x(x1 1，x x2 2) )，且，且x x2 2-x-x1 1=15=15，则，则a=( )a=( )【解析【解析】选选A.A.由题意知由题意知, , 不等式不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 20)0)的解集为的解集为( (2a,2a,4a),4a),因为因为x x2 2-x-x1 1=15,=15,所以所以4a4a( (2a)=15,2a)=15,解得解得(3)(2014(3)(2014浙江高考浙江高考) )设函数设函数若若f(f(a)2,f(f(a)2,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】由题意由题意 或或解得解得f(af(a)2 2，所以，所以 或或解得解得答案：答案：考点考点1 1 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015珠海模拟珠海模拟) )不等式不等式-2x-2x2 2+x+3+x+30 0的解集是的解集是( )( )(2)(2)解关于解关于x x的不等式的不等式:ax:ax2 2(a(a1)x1)x10.10a0和和a0a0两种情况求解两种情况求解【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.不等式不等式-2x-2x2 2+x+3+x+30 0可化为可化为2x2x2 2-x-3-x-30 0，即即(2x-3)(x+1)(2x-3)(x+1)0,0,解得解得x x-1-1，或，或所以不等式的解集是所以不等式的解集是(2)(2)当当a a0 0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x x1011.x1.当当a0a0时，原不等式可化为时，原不等式可化为(ax(ax1)(x1)(x1)01)1x1或或当当a0a0时，原不等式可化为时，原不等式可化为若若0a10a1a1，则，则 所以所以综上知，当综上知，当a0a11；当当0a10a1a1时，不等式的解集为时，不等式的解集为【互动探究【互动探究】本例本例(2)(2)的不等式改为的不等式改为x x2 2-(a+1)x+a0,-(a+1)x+a0,求其解集求其解集. .【解析【解析】原不等式可化为原不等式可化为(x-1)(x-a)0,(x-1)(x-a)1a1时时, ,解集为解集为x|1xa.x|1xa.当当a=1a=1时时, ,解集为解集为 . .当当a1a1时时, ,解集为解集为x|ax|ax1.x1a1时时, ,解集为解集为x|1xa;x|1xa;当当a=1a=1时时, ,解集为解集为 , ,当当a1a1时时, ,解集为解集为x|ax|ax1.x00，即，即 时，方程时，方程x x2 22ax2ax3 30 0的两根为的两根为 且且x x1 1xx2 2. .所以所以综上知，当综上知，当 时，不等式的解集为时，不等式的解集为x|xx|x或或x ;x ;当当 时，不等式的解集为时，不等式的解集为R.R.【加固训练【加固训练】设二次不等式设二次不等式axax2 2bxbx1010的解集为的解集为则则abab的值为的值为( )( )A.A.6 B.6 B.5 5 C.6 C.6 D.5D.5【解析【解析】选选C.C.由题意知，方程由题意知，方程axax2 2bxbx1 10 0的两根为的两根为1 1，则有则有解得解得 所以所以abab6 6，故选，故选C.C.考点考点2 2 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题知知考情考情一元二次不等式的恒成立问题以及三个一元二次不等式的恒成立问题以及三个“二次二次”间的联系及综合间的联系及综合应用是高考的热点应用是高考的热点, ,而且常与函数、导数等知识交汇命题而且常与函数、导数等知识交汇命题, ,考查应用分考查应用分类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:形如形如f(x)0(f(x)0)(xR)f(x)0(f(x)0)(xR)求参数的取值范围求参数的取值范围【典例【典例2 2】(2013(2013重庆高考重庆高考) )设设0,0,不等式不等式8x8x2 2-(8sin)x+-(8sin)x+coscos 20 20对对xRxR恒成立恒成立, ,则则的取值范围为的取值范围为. .【解题提示【解题提示】因为不等式恒成立因为不等式恒成立, ,所以判别式小于等于零所以判别式小于等于零, ,直接求解即直接求解即可可. .【规范解答【规范解答】因为不等式因为不等式8x8x2 2-(8sin)x+cos20-(8sin)x+cos20对对xRxR恒成立恒成立, ,所以所以=64sin=64sin2 2-32cos20,-32cos20,即即64sin64sin2 2-32+-32+64sin64sin2 20,0,解得解得0sin (0).0sin (0).因为因为0,0,所以所以答案答案: :命题角度命题角度2:2:形如形如f(x)0(f(x)0(参数参数ka,bka,b)求求x x的取值范围的取值范围【典例【典例3 3】(2015(2015兰州模拟兰州模拟) )对任意的对任意的k-1,1,k-1,1,函数函数f(xf(x)=x)=x2 2+ +(k-4)x+4-2k(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零, ,则则x x的取值范围是的取值范围是. .【解题提示【解题提示】把二次函数的恒成立问题转化为把二次函数的恒成立问题转化为y=k(x-2)+xy=k(x-2)+x2 2-4x+40-4x+40在在k k-1,1-1,1上恒成立上恒成立, ,再利用一次函数函数值恒大于再利用一次函数函数值恒大于0 0所满足的条件即可求所满足的条件即可求出出x x的取值范围的取值范围. .【规范解答【规范解答】因为任意因为任意k-1,1,k-1,1,函数函数f(xf(x)=x)=x2 2+(k-4)x-2k+40+(k-4)x-2k+40恒成立恒成立, ,所以所以f(kf(k)=k(x-2)+x)=k(x-2)+x2 2-4x+40-4x+40为一次函数为一次函数, ,所以所以所以所以解得解得x1x3,x3,所以所以x x的取值范围为的取值范围为(-,1)(3,+).(-,1)(3,+).答案答案: :(-(-,1),1)(3,+(3,+) )【易错警示【易错警示】解答本题易出现以下两种错误解答本题易出现以下两种错误: :(1)(1)不会合理分析已知条件不会合理分析已知条件, ,这样无法转化成关于这样无法转化成关于k k的一次函数的一次函数, ,而导致而导致题目无法求解题目无法求解. .(2)(2)解关于解关于x x的二次不等式组的二次不等式组, ,确定解集出现确定解集出现1x31x3等错误等错误. .命题角度命题角度3:3:形如形如f(x)0(xa,b)f(x)0(xa,b)求参数范围求参数范围【典例【典例4 4】(2015(2015郑州模拟郑州模拟) )对任意对任意x-1,1,x-1,1,函数函数f(xf(x)=)=x x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零, ,求求k k的取值范围的取值范围. .【解题提示【解题提示】表示出对称轴表示出对称轴, ,然后根据区间分类讨论求解然后根据区间分类讨论求解. .【规范解答【规范解答】函数函数f(xf(x)=x)=x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的对称轴为的对称轴为当当 即即k k6 6时时,f(x,f(x) )的值恒大于零等价于的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)f(-1)=1+(k-4)(-1)+4-2k(-1)+4-2k0 0，解得，解得k k3 3，故，故kk ; ;当当 即即2k62k6时时, ,只要只要即即k k2 20 0，故，故kk . .当当 即即k k2 2时时, ,只要只要f(1)=1+(k-4)+4-2kf(1)=1+(k-4)+4-2k0 0即即k k1 1，故有故有k k1,1,综上可知综上可知, ,当当k k1 1时，对任意时，对任意xx-1,1-1,1，函数函数f(xf(x)=x)=x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零. . 悟悟技法技法解不等式恒成立问题的技巧解不等式恒成立问题的技巧(1)(1)对于一元二次不等式恒成立问题对于一元二次不等式恒成立问题, ,恒大于恒大于0 0就是相应的二次函数的就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在图象在给定的区间上全部在x x轴上方轴上方, ,恒小于恒小于0 0就是相应的二次函数的就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在图象在给定的区间上全部在x x轴下方轴下方. .另外常转化为求二次函数的最值另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值或用分离参数法求最值. .(2)(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元解决恒成立问题一定要搞清谁是主元, ,谁是参数谁是参数, ,一般地一般地, ,知道谁的知道谁的范围范围, ,谁就是主元谁就是主元, ,求谁的范围求谁的范围, ,谁就是参数谁就是参数. .通通一类一类1.(20151.(2015武汉模拟武汉模拟) )一元二次不等式一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都都成立，则成立，则k k的取值范围是的取值范围是( )( )A.(-3A.(-3，0) B.(-30) B.(-3，0 0C.C.-3-3，0 0 D.(-D.(-，-3)-3)0 0，+)+)【解析【解析】选选A.A.由一元二次不等式由一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都成都成立，则立，则 解得解得-3-3k k0 0综上，满足一元二次不等式综上，满足一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都成立的都成立的k k的取值范围是的取值范围是(-3(-3，0).0).2.(20152.(2015济宁模拟济宁模拟) )在在R R上定义运算上定义运算:xy:xy=x(2-y),=x(2-y),若不等式若不等式(x+m)x(x+m)x11对一切实数对一切实数x x恒成立恒成立, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是. .【解析【解析】由题意得由题意得:(x+m)x:(x+m)x=(x+m)(2-x)1,=(x+m)(2-x)0,+(m-2)x+(1-2m)0,因为对任意的实数因为对任意的实数x x不等式都成立不等式都成立, ,所以其对应的一元二次方程所以其对应的一元二次方程:x:x2 2+(m-2)x+(1-2m)=0+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判别式的根的判别式=(m-2)=(m-2)2 2-4(1-2m)0,-4(1-2m)0,解得解得:-4m0.:-4m0-2x+a0对任意实数对任意实数x2,3x2,3恒成恒成立立, ,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为. .【解析【解析】令令f(xf(x)=x)=x2 2-2x+a=(x-1)-2x+a=(x-1)2 2+a-1,+a-1,所以所以f(xf(x) )在区间在区间(1,+(1,+) )上单调上单调递增递增, ,又不等式又不等式x x2 2-2x+a0-2x+a0对任意实数对任意实数x2,3x2,3恒成立恒成立, ,所以所以f(2)0f(2)0恒成立恒成立, ,即即4-4+a0,4-4+a0,解得解得a0.a0.故实数故实数a a的取值范围是的取值范围是a0.a0.答案答案: :a0a04.(20154.(2015洛阳模拟洛阳模拟) )若已知不等式若已知不等式2x-1m(x2x-1m(x2 2-1)-1)对满足对满足|m|2|m|2的一切的一切实数实数m m的取值都成立的取值都成立, ,则则x x的取值范围为的取值范围为. .【解析【解析】构造变量构造变量m m的函数求解的函数求解:2x-1m(x:2x-1m(x2 2-1)-1)即即:(x:(x2 2-1)m-(2x-1)0-1)m-(2x-1)0构造关于构造关于m m的函数的函数f(mf(m)=(x)=(x2 2-1)m-(2x-1),|m|-1)m-(2x-1),|m|2 2即即-2-2m m2.2.(1)(1)当当x x2 2-1-10 0时，则时，则f(2)f(2)0,0,从而从而2x2x2 2-2x-1-2x-10 0解得解得: :又又x x2 2-1-10 0，即，即x x-1-1或或x x1 1，所以，所以(2)(2)当当x x2 2-1-10 0时时, ,则则f(-2)f(-2)0 0可得可得-2x-2x2 2-2x+3-2x+30,0,从而从而2x2x2 2+2x-3+2x-30,0,解得解得 又又-1-1x x1 1，从而，从而(3)(3)当当x x2 2-1=0-1=0时时, ,则则f(mf(m)=1-2x)=1-2x0 0，从而，从而 故故x=1;x=1;综上有综上有: :答案：答案：考点考点3 3 一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用【典例【典例5 5】(2015(2015威海模拟威海模拟) )行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用, ,要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离路面上，某种型号汽车的刹车距离s(ms(m) )与汽车的车速与汽车的车速v(km/hv(km/h) )满足下满足下列关系：列关系： (n(n为常数，且为常数，且nNnN) )，做了两次刹车试验，有关，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中试验数据如图所示，其中(1)(1)求求n n的值的值. .(2)(2)要使刹车距离不超过要使刹车距离不超过12.6m,12.6m,则行驶的最大速度是多少则行驶的最大速度是多少? ?【解题提示【解题提示】(1)(1)由图象信息由图象信息, ,将将v=40,v=70v=40,v=70代入求代入求s s1 1,s,s2 2, ,得关于得关于n n的不的不等式组等式组. .(2)(2)解关于解关于v v的不等式的不等式, ,求最大值求最大值. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由试验数据知，由试验数据知，所以所以 解之得解之得又又nNnN，所以取，所以取n n6.6.(2)(2)由由(1)(1)知，知，依题意，依题意，即即v v2 224v24v5 04005 0400，解之得，解之得84v60.84v60.注意到注意到v0v0，所以，所以0v60.0v60.故行驶的最大速度为故行驶的最大速度为60 km/h.60 km/h.【规律方法【规律方法】不等式实际应用的解题思路不等式实际应用的解题思路不等式的实际应用不等式的实际应用, ,常以函数模型为载体常以函数模型为载体, ,解题时要理解题意解题时要理解题意, ,准确找准确找出其中的不等关系出其中的不等关系, ,引进数学符号恰当表示引进数学符号恰当表示, ,最后用不等式的解集回答最后用不等式的解集回答实际问题实际问题. .【变式训练【变式训练】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为1010万元万元/ /辆辆, ,出厂出厂价为价为1212万元万元/ /辆辆, ,年销售量为年销售量为1000010000辆辆. .本年度为适应市场需求本年度为适应市场需求, ,计划提计划提高产品质量高产品质量, ,适度增加投入成本适度增加投入成本. .若每辆车投入成本增加的比例为若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),x(0x1),则出厂价相应地提高比例为则出厂价相应地提高比例为0.75x,0.75x,同时预计年销售量增加同时预计年销售量增加的比例为的比例为0.6x,0.6x,已知年利润已知年利润=(=(出厂价出厂价- -投入成本投入成本) )年销售量年销售量. .(1)(1)写出本年度预计的年利润写出本年度预计的年利润y y与投入成本增加的比例与投入成本增加的比例x x的关系式的关系式. .(2)(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加为使本年度的年利润比上年度有所增加, ,则投入成本增加的比例则投入成本增加的比例x x应在什么范围内应在什么范围内? ?【解析【解析】(1)(1)由题意得由题意得y=12(1+0.75x)-10(1+x)y=12(1+0.75x)-10(1+x)1000010000(1+0.6x)(0x1),(1+0.6x)(0x1),整理得整理得y=-6000xy=-6000x2 2+2000x+20000(0x1).+2000x+20000(0x70n-3n-(n-1)n,80n+10-300-n70n-3n-(n-1)n,整理，得整理，得n n2 2+11n-2900,+11n-2900,得得n12.4,n12.4,因为因为nNnN，故取，故取n=13.n=13.答：经过答：经过1313个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入. .自我纠错自我纠错1313 解一元二次不等式解一元二次不等式【典例【典例】已知不等式已知不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为 则不等式则不等式cxcx2 2+bx+a0+bx+a0的解集为的解集为_._.【解题过程【解题过程】【错解分析【错解分析】分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：忽视了对忽视了对a,b,ca,b,c符号的判断，根据给出的解集，除知道符号的判断，根据给出的解集，除知道和和2 2是方程是方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根外，还应知道的两根外，还应知道a0,a0,然后通过根与然后通过根与系数的关系进一步求解系数的关系进一步求解. .【规避策略【规避策略】1.1.确定符号确定符号根据不等式的解集确定二次项系数的符号根据不等式的解集确定二次项系数的符号. .2.2.准确转化准确转化正确利用根与系数的关系得到正确利用根与系数的关系得到a,b,ca,b,c的关系的关系, ,做好不等式的等价转化做好不等式的等价转化, ,构造关于系数构造关于系数a,b,ca,b,c的方程组的方程组. .3.3.写出解集写出解集规范正确地解出不等式规范正确地解出不等式, ,写出解集写出解集. .【自我矫正【自我矫正】由于不等式由于不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为可知可知a a0 0，且，且 2 2是方程是方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根的两根, ,所以所以所以所以所以不等式所以不等式cxcx2 2+bx+a+bx+a0 0可化为可化为 由于由于a a0,0,所以所以 即即2x2x2 2+5x-3+5x-30 0，解得解得所以所求解集为所以所求解集为答案：答案：