3.1 3.1 平面立体的截切平面立体的截切3.2 3.2 回转体的截切回转体的截切3.3 3.3 平面体与平面体相贯平面体与平面体相贯3.4 3.4 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯3.5 3.5 回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯第第 三三 章章截交线与相贯线的画法截交线与相贯线的画法 截交线的画法 截切截切： 用平面与立体相交，截去立体的一部分。用平面与立体相交，截去立体的一部分。 截平面截平面 : :用以截切物体的平面。用以截切物体的平面。 截交线截交线 : :截平面与物体表面的交线。截平面与物体表面的交线。 截断面截断面 : :因截平面的截切，在物体上形成的平面。因截平面的截切，在物体上形成的平面。 讨论的问题：讨论的问题：截交线的分析和作图截交线的分析和作图 。3.1 3.1 平面立体的截切平面立体的截切一、平面立体截切的基本形式一、平面立体截切的基本形式平面立体的截交线是一个由直线组成的平面立体的截交线是一个由直线组成的平面封闭平面封闭多边形多边形，其形状取决于平面立体的形状及截平面，其形状取决于平面立体的形状及截平面在平面立体上的截切位置。在平面立体上的截切位置。 截交线的每条边都是截交线的每条边都是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线( (共有性共有性) )。截交线的性质：截交线的性质：二、平面立体截交线的画图二、平面立体截交线的画图 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：棱线法棱线法 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱面法棱面法 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线1234562. 2. 截交线的形状截交线的形状（1 1）分析截平面与立体的相对位置以确）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线的形状。定截交线的形状。 （2 2）分析截平面与投影面的相对位置以）分析截平面与投影面的相对位置以 确定截交线的投影形状。确定截交线的投影形状。截交线的边数截交线的边数= =截平面截到的棱面数截平面截到的棱面数例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4交线的形状？交线的形状？3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 类似性类似性截平面与立体的几个棱面相交截平面与立体的几个棱面相交? ?截交线与投影面的位置关系截交线与投影面的位置关系? ? 例例2 2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。625 13 4 123456123456 例例3:3:求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。1 2345678919 28534 6 7123456789用截交线的用截交线的类似性检查检查 4.2 4.2 回转体的截切回转体的截切一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式截交线性质截交线性质共有性共有性回转体表面的形状回转体表面的形状截交线形状截交线形状封闭的平面图形封闭的平面图形截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置二、求截交线的一般步骤二、求截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析 1) 1) 确定截交线的形状确定截交线的形状2) 2) 明确明确截交线的投影特性截交线的投影特性( (积聚性、类似性等积聚性、类似性等) ) 画截交线的投影画截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。顺次光滑地连接各点，并判断可见性。 先取特殊点，后取中间点。先取特殊点，后取中间点。 分析截平面与回转体轴线的相对位置分析截平面与回转体轴线的相对位置明确回转体的形状明确回转体的形状关键在分析截平面与投影面的相对位置关键在分析截平面与投影面的相对位置 1234 圆柱体的截切圆柱体的截切截交线的形状取决于截平面与圆柱截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线轴线的相对位置。的相对位置。 垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行 两平行直线两平行直线倾斜倾斜截交线的已知投影呢？截交线的已知投影呢？例例4 4：求左视图：求左视图截交线的侧面投影截交线的侧面投影是什么形状？是什么形状？截交线的空间形状是怎样的截交线的空间形状是怎样的? ?椭圆的长、短轴随椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线截平面与圆柱轴线夹角的变而改变。夹角的变而改变。4545什么情况下投什么情况下投影为圆呢影为圆呢? ?截平面与轴线成截平面与轴线成4545夹角时夹角时找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影例例5 5：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析利用利用积聚性积聚性求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤： 同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。例例6 6：求左视图：求左视图例例7:7:补画出立体的左视图补画出立体的左视图 5.5.整理并擦除多余的线整理并擦除多余的线, , 完成作图完成作图. . 圆锥体的截切圆锥体的截切过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线P PV V圆圆P PV V= 90= 90P PV V椭圆椭圆抛物线抛物线P PV V=双曲线双曲线P PV V= 0= 0例例8:8:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。截交线的空间形状截交线的空间形状? ? 截交线的投影特性？截交线的投影特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另 一根轴的端点？一根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线投影分析轮廓线投影( (三三) ) 球体的截切球体的截切例例9 9：求半球体截切后的俯视图和左视图。：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线的水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为圆弧，在侧视图上积聚为直线。直线。两个侧平面截圆球的截交两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。聚为直线。判断可见性判断可见性例例10:10:补画复合回转体的俯视图。补画复合回转体的俯视图。1:1:求水平面与立体的交线求水平面与立体的交线1) 1) 找特殊点找特殊点2) 2) 补充中间点补充中间点 3) 3) 依次光滑连接各点依次光滑连接各点2:2:求正垂截面与立体的交线求正垂截面与立体的交线 1) 1) 找特殊点找特殊点2) 2) 补充中间点补充中间点 3) 3)依次光滑连接各点并整理依次光滑连接各点并整理 4) 4) 作水平面与立体的其他交线并整理作水平面与立体的其他交线并整理 ( (四四) ) 复合回转体的截切复合回转体的截切平面体与回平面体与回转体相贯转体相贯回转体与回回转体与回 转体相贯转体相贯多体相贯多体相贯 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线相贯线。平面体与平平面体与平面体相贯面体相贯 相贯线的画法 表面性表面性 封闭性封闭性 共有性共有性两平面体的交线在一般情况下为两平面体的交线在一般情况下为封闭曲线封闭曲线。棱线法棱线法棱线与棱面的交点棱线与棱面的交点棱面法棱面法各棱面的交线各棱面的交线（A A）互贯）互贯（B B）全贯）全贯3.3 平面体与平面体相贯平面体与平面体相贯PvQv2=31=45=76=8124365872=93=114=1256781=109=1110=121211910例例1111：已知三棱锥被四棱柱孔前后贯穿后的：已知三棱锥被四棱柱孔前后贯穿后的 主视图，求其俯视图和主视图。主视图，求其俯视图和主视图。相贯后的三视图：相贯后的三视图： 相贯线相贯线是由若干段平面曲是由若干段平面曲线（或直线）所组成的线（或直线）所组成的空间折空间折线线，每一段是平面体的棱面与，每一段是平面体的棱面与回转体表面的回转体表面的交线交线, ,实质是求各实质是求各棱面与回转体的截交线棱面与回转体的截交线。1 1） 分析各棱面与回转体表面的相对位置。分析各棱面与回转体表面的相对位置。2 2） 求出各棱面与回转体表面的截交线。求出各棱面与回转体表面的截交线。3 3） 连接各段交线，并判断可见性。连接各段交线，并判断可见性。3.4 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯例例1212：补全主视图补全主视图 空间分析：空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与圆四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。截交线为两段圆弧。 投影分析：投影分析： 由于相贯线是两立体表面由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。水平投影积聚在矩形上。1. 1. 相贯线的性质相贯线的性质 相贯线一般为相贯线一般为光滑封闭光滑封闭的的空间曲线，它是两回转体空间曲线，它是两回转体表面表面的共有线的共有线。1 1）面上取点法）面上取点法 2 2）辅助平面法）辅助平面法1 1）找特殊点）找特殊点确定交线的范围确定交线的范围 作图过程作图过程2 2）补充中间点）补充中间点确定交线的弯曲趋势确定交线的弯曲趋势3.5 回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯 1 1） 交线分析交线分析 空间分析空间分析投影分析投影分析2 2） 作图作图最最上上点、最点、最下下点、最点、最左左点、点、最最右右点、最点、最前前点、最点、最后后点、点、轮廓线上的点等。轮廓线上的点等。a. a. 找点找点b. b. 连线连线c. c. 检查、加深检查、加深尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。 找特殊点找特殊点 补中间点补中间点 例例1313：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。 空间及投影分析：空间及投影分析：小圆柱轴线垂直于小圆柱轴线垂直于H H面，水平投面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于大圆柱轴线垂直于W W面，侧面投面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。在该圆上。求相贯线的投影：求相贯线的投影：利用积聚性，采利用积聚性，采用表面取点法。用表面取点法。 找特殊点找特殊点 补充中间点补充中间点 光滑连接光滑连接相贯后的三视图：相贯后的三视图：不同直径圆柱体相贯的情况不同直径圆柱体相贯的情况交线为两条平面交线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）交线总向大圆交线总向大圆柱的轴线弯曲柱的轴线弯曲45例例1414：补全主视图：补全主视图说明：说明：外轮廓与内轮廓的相外轮廓与内轮廓的相贯线用简化画法画出贯线用简化画法画出 外形交线外形交线 两外表面相贯两外表面相贯 一内表面和一外表一内表面和一外表 面相贯面相贯 内形交线内形交线 两内表面相贯两内表面相贯完整的三视图：完整的三视图：5.5.辅助平面法：辅助平面法： 根据根据三面共点三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干体表面上的若干共有点共有点，从而画出相贯线的投影。，从而画出相贯线的投影。作图方法：作图方法： 假想用辅助平面截切两回转体假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。点。辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则：一般选择一般选择投影面平行面投影面平行面使辅助平面与两回转体使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。例例1515：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 假想用水平面假想用水平面P P截切立体，截切立体，P P面与圆柱体面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。P解题步骤：解题步骤： 求特殊点求特殊点 用辅助平面法求中间点用辅助平面法求中间点 光滑连接各点并整理光滑连接各点并整理解题步骤：解题步骤： 求特殊点求特殊点 用辅助平面法求中间点用辅助平面法求中间点 光滑连接各点并整理光滑连接各点并整理