内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作第三章第三章一阶微分方程的一阶微分方程的解解的存在定理的存在定理内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作讨论微分方程的解的存在性问题（讨论微分方程的解的存在性问题（为什么为什么）?似乎不需要讨论这个问题（似乎不需要讨论这个问题（从表面上看从表面上看） ？因为微分方程来源于实际问题，而实际问题理论上因为微分方程来源于实际问题，而实际问题理论上应该有解，并且唯一（应该有解，并且唯一（实际上并非如此！实际上并非如此！） 。一、引言一、引言内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例1：请分析下面的方程：请分析下面的方程:在点在点A（0,0）的解）的解或或微分方程的解存在，但不唯一。微分方程的解存在，但不唯一。那么，对于一个微分方程，需要解决那些问题？那么，对于一个微分方程，需要解决那些问题？二、实例分析二、实例分析分析分析因为在点因为在点A（0,0）的有解：）的有解：结论：结论：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作所求微分方程的解是否存在？所求微分方程的解是否存在？如果能够判定所求的特解确实存在，这不能如果能够判定所求的特解确实存在，这不能表明表明问题已经解决，问题已经解决，因为如果这样的解不只一个，那么要确定的解是哪一个？依然不因为如果这样的解不只一个，那么要确定的解是哪一个？依然不明确，这就提出了解的唯一性问题。明确，这就提出了解的唯一性问题。参见参见 例例1。当然有人要问，既然研究的是实际问题，解的存在性和唯一性是当然有人要问，既然研究的是实际问题，解的存在性和唯一性是无疑的，还有没有必要去研究解的存在及唯一性问题呢？事实并无疑的，还有没有必要去研究解的存在及唯一性问题呢？事实并非如此，因为描述各种运动过程的微分方程本身及根据实验测定非如此，因为描述各种运动过程的微分方程本身及根据实验测定的的初始条件初始条件（数据），总不能保证绝对准确，它只能近似地反映（数据），总不能保证绝对准确，它只能近似地反映客观现实，因此不能肯定初值问题的解是否存在和唯一，所以有客观现实，因此不能肯定初值问题的解是否存在和唯一，所以有必要讨论它。必要讨论它。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作一阶微分方程一阶微分方程解解的存在性定理，以及的存在性定理，以及解解的一些性质。的一些性质。一阶微分方程解的存在性定理的证明，一阶微分方程解的存在性定理的证明，逐步逼近方法逐步逼近方法的理的理解和应用。解和应用。重点：重点： 难点：难点：三、重点和难点三、重点和难点 内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作主要内容主要内容解的存在唯一性定理；解的延拓；解对初值的连续性和可微性；奇解