都有定理定理(dngl)2(比比较审敛法较审敛法)设且存在(cnzi)对一切(yqi)有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共31页第一页，共32页。(1) 若强级数(j sh)则有因此(ync)对一切有由定理(dngl) 1 可知,则有(2) 若弱级数因此这说明强级数也发散 .也收敛 .发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共31页第二页，共32页。例例1.讨论讨论(toln)p级数级数(常数(chngsh) p 0)的敛散性. 解: 1) 若因为(yn wi)对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共31页第三页，共32页。因为(yn wi)当故考虑(kol)强级数的部分(b fen)和故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,2)若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共31页第四页，共32页。调和级数调和级数(jsh)与与p级数级数(jsh)是两个常用的比较级数是两个常用的比较级数(jsh).若存在(cnzi)对一切(yqi)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共31页第五页，共32页。证明(zhngmng)级数发散(fsn) .证: 因为(yn wi)而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散 .例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共31页第六页，共32页。定理定理(dngl)3.(比较审敛比较审敛法的极限形式法的极限形式)则有两个级数(j sh)同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证: 据极限(jxin)定义,设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共31页第七页，共32页。由定理(dngl) 2 可知同时收敛(shulin)或同时发散 ;(3) 当l = 时,即由定理(dngl)2可知, 若发散 , (1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知收敛 , 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共31页第八页，共32页。是两个(lin )正项级数, (1) 当 时,两个级数同时(tngsh)收敛或发散 ;特别(tbi)取可得如下结论 :对正项级数(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时, 也收敛 ;也发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共31页第九页，共32页。的敛散性. 例例3.判别判别(pnbi)级数级数的敛散性 .解: 根据(gnj)比较审敛法的极限形式知例4. 判别(pnbi)级数解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共31页第十页，共32页。定理定理(dngl)4.比值审敛法比值审敛法(Dalembert判别法判别法)设 为正项(zhn xin)级数, 且则(1) 当(2) 当证: (1)收敛(shulin) ,时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共31页第十一页，共32页。因此(ync)所以(suy)级数发散.时(2)当当说明(shumng): (shumng): 当时,级数可能收敛也可能发散.例如, , p 级数但级数收敛 ;级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共31页第十二页，共32页。例例5.讨论讨论(toln)级数级数的敛散性 .解: 根据定理(dngl)4可知:级数(j sh)收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共31页第十三页，共32页。对任意(rny)给定的正数 定理定理(dngl)5.根值审敛法根值审敛法(Cauchy判别法判别法)设 为正项级则证明(zhngmng)提示: 即分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.数, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共31页第十四页，共32页。时 , 级数(j sh)可能收敛也可能发散 .例如(lr) , p 级数 说明说明(shumng):但级数收敛 ;级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共31页第十五页，共32页。例例6.证明证明(zhngmng)级数级数收敛(shulin)于S ,似代替和 S 时所产生(chnshng)的误差 . 解: : 由定理5可知该级数收敛 .令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共31页第十六页，共32页。二二、交错、交错(jiocu)级数级数及其审敛法及其审敛法则各项符号正负(zhn f)相间的级数称为交错(jiocu)级数 .定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 , 且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共31页第十七页，共32页。证: 是单调递增(dzng)有界数列,又故级数(j sh)收敛于S, 且故机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共31页第十八页，共32页。收敛(shulin)收敛(shulin)用用Leibnitz判别判别(pnbi)法判别法判别(pnbi)下列下列级数的敛散性级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共31页第十九页，共32页。三、绝对三、绝对(judu)收敛与收敛与条件收敛条件收敛定义(dngy): 对任意项级数若若原级数收敛, 但取绝对值以后(yhu)的级数发散, 则称原级收敛 ,数为条件收敛 .均为绝对收敛.例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共31页第二十页，共32页。定理定理(dngl)7.绝对收敛的级数一定绝对收敛的级数一定收敛收敛.证: 设根据(gnj)比较审敛法显然(xinrn)收敛,收敛也收敛且收敛 ,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共31页第二十一页，共32页。例例7.证明下列证明下列(xili)级数绝级数绝对收敛对收敛:证: (1)而收敛(shulin) ,收敛(shulin)因此绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共31页第二十二页，共32页。(2) 令因此(ync)收敛(shulin),绝对(judu)收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共31页第二十三页，共32页。其和分别(fnbi)为 绝对绝对(judu)收敛级数与条件收敛级数具有完全不同收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质的性质.*定理定理(dngl)8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. ( P203 定理9 )说明: 证明参考 P203P206, 这里从略.*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. (P205 定理10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共31页第二十四页，共32页。内容内容(nirng)小结小结1. 利用部分和数列的极限判别(pnbi)级数的敛散性2. 利用(lyng)正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共31页第二十五页，共32页。3.任意任意(rny)项级项级数审敛法数审敛法为收敛(shulin)级数Leibniz判别(pnbi)法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共31页第二十六页，共32页。思考思考(sko)与练习与练习设正项级数(j sh)收敛(shulin), 能否推出收敛 ?提示:由比较判敛法可知收敛 .注意:反之不成立.例如,收敛 ,发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共31页第二十七页，共32页。 作业作业(zuy) P206 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)第三节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第28页/共31页第二十八页，共32页。备用备用(biyng)题题1. 判别(pnbi)级数的敛散性:解: (1)发散(fsn) ,故原级数发散 .不是 p级数(2)发散 ,故原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共31页第二十九页，共32页。2.则级数(j sh)(A) 发散(fsn) ; (B) 绝对收敛;(C) 条件(tiojin)收敛 ; (D) 收敛性根据条件(tiojin)不能确定.分析: (B) 错 ;又C机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共31页第三十页，共32页。感谢您的欣赏(xnshng)！第31页/共31页第三十一页，共32页。内容(nirng)总结都有。第1页/共31页。由定理 1 可知,。第2页/共31页。由比较审敛法可知 p 级数。第5页/共31页。同时收敛或同时发散。时,级数可能收敛也可能发散.。分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.。并估计以部分和 Sn 近。用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:。上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛。例7. 证明(zhngmng)下列级数绝对收敛 :。绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.。第30页/共31页第三十二页，共32页。