弯曲变形弯曲变形第九章第九章弯曲变形第九章9-1弯曲的概念弯曲的概念PqMRARB产生弯曲变形的杆称为梁产生弯曲变形的杆称为梁梁受到与其轴线垂直的横向力、纵向力偶作用要发梁受到与其轴线垂直的横向力、纵向力偶作用要发生弯曲变形生弯曲变形一、概念一、概念9-1弯曲的概念PqMRARB产生弯曲变形的杆称为梁梁受平面弯曲的概念平面弯曲的概念矩形截面梁有一个纵向对称面矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲平面弯曲的概念矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力二、梁的载荷与支座反力二、梁的载荷与支座反力1、梁的载荷、梁的载荷集中力集中力集中力集中力均布载荷均布载荷均布载荷均布载荷集中力矩集中力矩集中力矩集中力矩二、梁的载荷与支座反力1、梁的载荷集中力均布载荷集中力矩2、梁的支座反力、梁的支座反力滑动铰支滑动铰支1 (Ry)固定铰支固定铰支2 (Rx，Ry)固固 定定 端端3 (M， Rx，Ry)RyRxMRy图图 示示 法法反反 力力未知反力数未知反力数名名 称称RxRy梁的支承方法及反力梁的支承方法及反力梁的支承方法及反力梁的支承方法及反力2、梁的支座反力滑动铰支1 (Ry)固定铰支2 (Rx，Ry3、梁的类型、梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为根据梁的支撑情况可以将梁分为根据梁的支撑情况可以将梁分为根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 3 种类型种类型种类型种类型简支梁简支梁简支梁简支梁一端固定铰支座一端固定铰支座一端活动铰支座一端活动铰支座悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁一端固定一端固定一端自由一端自由外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁一端固定铰支座一端固定铰支座活动铰支座位于梁中活动铰支座位于梁中某个位置某个位置3、梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型简支梁一4、求支座反力的平衡方程、求支座反力的平衡方程求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件4、求支座反力的平衡方程求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标举例说明举例说明P左边固定铰支座，有两个约束反力左边固定铰支座，有两个约束反力AB右边活动铰支座，右边活动铰支座，1个约束反力个约束反力l举例说明P左边固定铰支座，有两个约束反力AB右边活动铰支座，再以悬臂梁为例再以悬臂梁为例再以悬臂梁为例再以悬臂梁为例假设该悬臂梁承受均布载荷假设该悬臂梁承受均布载荷假设该悬臂梁承受均布载荷假设该悬臂梁承受均布载荷ql固定端有固定端有固定端有固定端有3 3个约束反力个约束反力个约束反力个约束反力RxRyABMA建立平衡方程求约束反力建立平衡方程求约束反力建立平衡方程求约束反力建立平衡方程求约束反力再以悬臂梁为例假设该悬臂梁承受均布载荷ql固定端有3个约束反9-29-2 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程一、剪力和弯矩一、剪力和弯矩与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：剪力和弯矩剪力和弯矩9-2 剪力方程和弯矩方程一、剪力和弯矩与前面三种基本变剪力剪力与截面平行，用与截面平行，用Q表示表示弯矩弯矩作用面在纵向对称面内作用面在纵向对称面内用用M 表示表示QM剪力与截面平行，用Q表示弯矩作用面在纵向对称面内用M 表示Q剪力和弯矩正负号的规定剪力和弯矩正负号的规定剪力正负号剪力正负号剪力正负号剪力正负号对所截截面上任一点的力矩对所截截面上任一点的力矩对所截截面上任一点的力矩对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负顺时针为正，逆时针为负顺时针为正，逆时针为负顺时针为正，逆时针为负弯矩正负号弯矩正负号QQMMMM正正负正正负负使梁使梁下凹为正，向上凸为负下凹为正，向上凸为负下凹为正，向上凸为负下凹为正，向上凸为负剪力和弯矩正负号的规定剪力正负号对所截截面上任一点的力矩顺时二、截面法求剪力和弯矩二、截面法求剪力和弯矩P1P2RAyABRAxRBP1RAyaaMQ对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程mmRAx二、截面法求剪力和弯矩P1P2RAyABRAxRBP1RAy剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程某截面的剪力等于该截面一侧段上所有切向外力某截面的剪力等于该截面一侧段上所有切向外力的代数和。且顺时针外力产生正剪力。的代数和。且顺时针外力产生正剪力。某截面的弯矩等于该截面一侧段上所有切向外力某截面的弯矩等于该截面一侧段上所有切向外力对该截面形心之矩的代数和。且向上外力产生正对该截面形心之矩的代数和。且向上外力产生正弯矩。弯矩。剪力方程弯矩方程某截面的剪力等于该截面一侧段上所有切向外力的说明：说明：1、一般情况下，、一般情况下，x 方向的约束反力为零。方向的约束反力为零。2、如果不求剪力，可以不建立、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的方向的平衡方程。平衡方程。3、弯矩平衡方程一定要建立在截面的中、弯矩平衡方程一定要建立在截面的中心。心。说明：1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。2、如果不求剪求图示简支梁求图示简支梁求图示简支梁求图示简支梁 x x 截面的剪力、弯矩截面的剪力、弯矩截面的剪力、弯矩截面的剪力、弯矩lqABqRAyMQ两种方法求解剪力和弯矩两种方法求解剪力和弯矩求图示简支梁 x 截面的剪力、弯矩lqABqRAyMQ两种方三、剪力图和弯矩图三、剪力图和弯矩图将弯曲内力即剪力和弯矩沿杆截面将弯曲内力即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示的分布规律用图形表示例如上面的受均布载荷的简支梁例如上面的受均布载荷的简支梁弯矩画在受拉侧弯矩画在受拉侧三、剪力图和弯矩图将弯曲内力即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩为一条曲线弯矩为一条曲线弯矩为一条曲线弯矩为一条曲线抛物线抛物线抛物线抛物线弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有lqAB可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩最大值在梁的中点lqABql/2ql/2lqABql/2ql/2（1 1）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程 （2 2）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图悬臂梁悬臂梁AB（1）列剪力方程和弯矩方程 （2）画剪力图和弯矩图悬臂梁AB 所示为一简支梁，所示为一简支梁，作此梁的剪力图和作此梁的剪力图和弯矩图弯矩图。(1) (1) 求支座反力求支座反力求支座反力求支座反力 所示为一简支梁，作此梁的剪力图和弯矩图。(1) 求支座(2) (2) 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程AC段段:(0 x a)CB段：段：(2) 列剪力方程和弯矩方程AC段:(0 x a)C(3) (3) 画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变集中力使弯矩图折曲集中力使弯矩图折曲集中力使弯矩图折曲集中力使弯矩图折曲AC段段:(0 x 0上斜上斜 Q0下斜下斜 q0 剪力为一次函数剪力为一次函数上斜直线上斜直线弯矩为二次函数弯矩为二次函数集中集中力力 突突 变变突变值为力本身的代数值突变值为力本身的代数值向上外力向上突变向上外力向上突变 转转 折折 集中集中力偶力偶 无无 影影 响响 突变突变, 突变值为力偶矩本身突变值为力偶矩本身的代数值的代数值顺时针力偶向下突变顺时针力偶向下突变 项剪力图 弯矩图 q=0 剪力为常数弯矩为一次Q0Q0q 例题：如图所示悬臂梁，在其段作用有均布载荷例题：如图所示悬臂梁，在其段作用有均布载荷例题：如图所示悬臂梁，在其段作用有均布载荷例题：如图所示悬臂梁，在其段作用有均布载荷q q，自由，自由，自由，自由端作用一个端作用一个端作用一个端作用一个qa/qa/的集中力，试利用弯矩、剪力和载荷集的集中力，试利用弯矩、剪力和载荷集的集中力，试利用弯矩、剪力和载荷集的集中力，试利用弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。度间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。度间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。度间的微分关系绘制梁的剪力图和弯矩图。+-+_qa/RcqABDCxD2aaMc3qa/xDqa/D 例题：如图所示悬臂梁，在其段作用有均布载荷q，自由端作9-4 弯曲时梁的正应力弯曲时梁的正应力 纯弯曲与剪切弯曲纯弯曲与剪切弯曲中性层和中性轴中性层和中性轴弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律弯曲正应力的计算、抗弯截面模量弯曲正应力的计算、抗弯截面模量9-4 弯曲时梁的正应力 纯弯曲与剪切弯曲各横截面上各横截面上同时有弯矩同时有弯矩同时有弯矩同时有弯矩MM和剪力和剪力和剪力和剪力Q Q，称为，称为剪切弯曲剪切弯曲剪切弯曲剪切弯曲。各横截面各横截面只有弯矩只有弯矩只有弯矩只有弯矩MM，而无剪力，而无剪力，而无剪力，而无剪力Q Q，称为，称为纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲。各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。 1、 变形几何关系变形几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕直于轴线，只是绕中性轴中性轴中性轴中性轴转过一个角度，称为弯曲问转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设题的平面假设。中中性性层层中中性性轴轴 1、 变形几何关系中中中性层和中性轴中性层和中性轴 中性层中性层 梁弯曲变形时，既梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。纤维层称为中性层。 对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。 中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短上部将缩短正应变为零正应变为零正应变为零正应变为零中性层和中性轴 中性层 梁弯曲变形时，既不伸应变规律应变规律应变规律2、物理关系、物理关系弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律 与中性轴距离相等的点，正应力相等；与中性轴距离相等的点，正应力相等；与中性轴距离相等的点，正应力相等；与中性轴距离相等的点，正应力相等； 正应力大小与其到中性轴距离成正比；正应力大小与其到中性轴距离成正比；正应力大小与其到中性轴距离成正比；正应力大小与其到中性轴距离成正比；2、物理关系弯曲正应力分布规律 与中性轴距离相等的点，正应 弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；弯矩为负时，正应力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；中性轴上，正应力等于零。中性轴上，正应力等于零。中性轴上，正应力等于零。中性轴上，正应力等于零。MM 弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；弯矩为负时，正应力3、静力学关系分析、静力学关系分析没有轴向力没有轴向力M3、静力学关系分析没有轴向力M中性轴必然通过横中性轴必然通过横截面的形心截面的形心质心坐标质心坐标静矩，面积矩静矩，面积矩中性轴必然通过横截面的形心质心坐标静矩，面积矩抗弯刚度抗弯刚度抗弯刚度横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面惯性矩该截面惯性矩横截面上该点到中性轴该截面弯矩该截面惯性矩弯曲正应力的计算、抗弯截面模量弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯某截面上最大弯曲正应力发生在截面曲正应力发生在截面的上下边界上：的上下边界上：WWZ Z 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，Z Z 为中性轴为中性轴为中性轴为中性轴. .矩形截面矩形截面Zbh实心圆截面实心圆截面Zd弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯惯性矩的计算惯性矩的计算1 1、简单截面的惯性矩、简单截面的惯性矩、简单截面的惯性矩、简单截面的惯性矩矩形截面矩形截面惯性矩的计算1、简单截面的惯性矩矩形截面圆形与圆环截面圆形与圆环截面实心圆实心圆空心圆空心圆圆形与圆环截面实心圆空心圆梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图5-85-8b b 所示，所示，所示，所示，由图知梁在固定端横截面上由图知梁在固定端横截面上由图知梁在固定端横截面上由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为的弯矩最大，其值为的弯矩最大，其值为的弯矩最大，其值为 如如如如右右右右图图图图所所所所示示示示，一一一一受受受受均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷的的的的悬悬悬悬臂臂臂臂梁梁梁梁，其其其其长长长长l l=1=1mm，均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷集集集集度度度度q q=6=6kN/mkN/m；梁梁梁梁由由由由1010号号号号槽槽槽槽钢钢钢钢制制制制成成成成，由由由由型型型型钢钢钢钢表表表表查查查查得得得得横横横横截截截截面面面面的的的的惯惯惯惯性性性性矩矩矩矩I Iz z=25.6=25.6cmcm4 4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，）作弯矩图， 求最大弯矩求最大弯矩梁的弯矩图如图5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩 因危险截面上的弯因危险截面上的弯因危险截面上的弯因危险截面上的弯矩为负，故截面矩为负，故截面矩为负，故截面矩为负，故截面上缘上缘上缘上缘受受受受最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为在截面的在截面的在截面的在截面的下端下端下端下端受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为（2）求最大应力）求最大应力 因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力梁的强度条件梁的强度条件梁的最大正应力梁的最大正应力梁的强度条件梁的强度条件梁的强度条件梁的最大正应力1、梁的最大正应力、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处1、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最2、梁的强度条件、梁的强度条件Mmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷许可载荷2、梁的强度条件Mmax梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量如图所如图所如图所如图所示：圆截面辊轴，中段示：圆截面辊轴，中段示：圆截面辊轴，中段示：圆截面辊轴，中段BCBC受均部载荷作用，试确定辊轴受均部载荷作用，试确定辊轴受均部载荷作用，试确定辊轴受均部载荷作用，试确定辊轴BCBC段截面的直径。已知段截面的直径。已知段截面的直径。已知段截面的直径。已知q q = 1 = 1KN/mmKN/mm，许用应力，许用应力，许用应力，许用应力 = 140 = 140MPaMPa。q3003001400ABCD危险截面在轴的中部危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩利用截面法求该截面弯矩qRAyM700300由对称性可求得：由对称性可求得：如图所示：圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC如图所示：悬臂梁承受均布载荷如图所示：悬臂梁承受均布载荷如图所示：悬臂梁承受均布载荷如图所示：悬臂梁承受均布载荷q q，假设梁截面为，假设梁截面为，假设梁截面为，假设梁截面为b b h h的矩形，的矩形，的矩形，的矩形， h = 2h = 2b b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？bhhbq根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件同样载荷条件下，工作应力越小越好同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置时：梁立置时：梁倒置时：梁倒置时：立置立置比倒倒置强度大置强度大一倍。一倍。注意：注意：Z Z 轴为轴为中性轴中性轴如图所示：悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形， 9-5 梁的最大剪应力梁的最大剪应力一、矩形截面弯曲剪应力一、矩形截面弯曲剪应力关于横截面切应力分布规律关于横截面切应力分布规律的假设：的假设： 侧边上的切应力与侧边上的切应力与侧边相切侧边相切 切应力沿切应力沿 z 的方向的方向均匀分布均匀分布-同一同一 y 处处9-5 梁的最大剪应力一、矩形截面弯曲剪应力关于横截面切二二.圆形截面梁的剪应力公式圆形截面梁的剪应力公式三三. 剪应力强度条件剪应力强度条件二.圆形截面梁的剪应力公式三. 剪应力强度条件 例题例题例题例题：如图所示一铁桥上铺设的枕木，矩形截面，已知截面宽如图所示一铁桥上铺设的枕木，矩形截面，已知截面宽如图所示一铁桥上铺设的枕木，矩形截面，已知截面宽如图所示一铁桥上铺设的枕木，矩形截面，已知截面宽高比为高比为高比为高比为b b：h=3h=3：4 4，跨度为，跨度为，跨度为，跨度为l l=2m=2m，两钢轨的间跨（轨距）为，两钢轨的间跨（轨距）为，两钢轨的间跨（轨距）为，两钢轨的间跨（轨距）为1.6m1.6m，钢轨传给枕木的压力为，钢轨传给枕木的压力为，钢轨传给枕木的压力为，钢轨传给枕木的压力为P=98KNP=98KN，若枕木的许用应力，若枕木的许用应力，若枕木的许用应力，若枕木的许用应力a a，=205MPa=205MPa，试设计此枕木截面尺寸，试设计此枕木截面尺寸，试设计此枕木截面尺寸，试设计此枕木截面尺寸。maxmax=Pa=PaQQmaxmax=P=P+ +-+ +A AC CB BD D 例题：如图所示一铁桥上铺设的枕木，矩形截面，已知截面宽高比解：由题意和上图得出解：由题意和上图得出解：由题意和上图得出解：由题意和上图得出由强度条件由强度条件由强度条件由强度条件截面系数截面系数截面系数截面系数所以所以所以所以解：由题意和上图得出由强度条件截面系数所以取取取取h=26cmh=26cm，又，又，又，又故取故取故取故取b=26cmb=26cm根据最大剪应根据最大剪应根据最大剪应根据最大剪应力校核力校核力校核力校核由条件由条件由条件由条件得出得出得出得出取h=26cm，又故取b=26cm根据最大剪应力校核由条件得所以所以所以所以而而而而因此设计的截面应为因此设计的截面应为因此设计的截面应为因此设计的截面应为2821cm2821cm2 2所以而因此设计的截面应为2821cm2弯曲变形习题弯曲变形习题弯曲变形习题ACDBEACDBEABCq =10 kN/mQM1.332.670.270.36ABCq =10 kN/mQM1.332.670.270.3ABC10 NmQM50 N10 NmABC10 NmQM50 N10 NmACq QM0.283/45/410.5ACq QM0.283/45/410.5ABCq QM5/6 qa13/67/65/6 qa21/613/72ABCq QM5/6 qa13/67/65/6 qa21/6