1上一节的小结：上一节的小结： 分离变量法基本步骤分离变量法基本步骤1.1.令令将其代入方程分离变量得两个常微分方程将其代入方程分离变量得两个常微分方程2.2.利用利用边界条件边界条件求求3.3.所对应的施图姆所对应的施图姆- -刘刘维尔问题维尔问题( (即即求非求非0 0解解) )，得到相应的，得到相应的特征值特征值和和特征函数特征函数将所求的特征值将所求的特征值4.4.代入代入所满足的方程，所满足的方程，从而求得其通解从而求得其通解写出定解问题的级数解的表达式写出定解问题的级数解的表达式5.5.并利用并利用初值条件初值条件和傅里叶正弦或余弦级数和傅里叶正弦或余弦级数所对应的所对应的系数公式系数公式求出求出: :2本节预备知识：本节预备知识： 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程的的通解公式通解公式。其中。其中为已知函数。为已知函数。(*)(*)设设的原函数为的原函数为为任意常数。为任意常数。其中其中则则(*)(*)的的通解公式通解公式为为则通解简化为则通解简化为特别的特别的, ,若若32.2 有界长杆的热传导问题一、考察齐次热传导方程的混合问题一、考察齐次热传导方程的混合问题( (边界条件边界条件(17)(17)其中其中为给定的已知函数。为给定的已知函数。下面用下面用分离变量法分离变量法( (或称或称驻波法驻波法) )来求解定解问来求解定解问题题(17)(17)。都是都是第一类第一类的情形）的情形）4首先令首先令将其代入方程将其代入方程由边界条件由边界条件并分离变量得两个常微分方程并分离变量得两个常微分方程可得可得5(1)(1)当当时，该问题时，该问题没有非平凡解没有非平凡解。(2)(2)当当时，该问题时，该问题也没有非平凡解也没有非平凡解。求边值问题求边值问题的的非非0 0解解。(3)(3)当当时，该问题时，该问题有非平凡解。有非平凡解。此时此时6现在考虑现在考虑将特征值将特征值代入上方程得代入上方程得其通解为其通解为于是可得定解问题于是可得定解问题(17)(17)中的中的一维热传导方程一维热传导方程且且且满足且满足齐次边界条件齐次边界条件的具有变量分离形式的特解的具有变量分离形式的特解7其中其中是任意常数。是任意常数。(18)(18)再利用再利用初值条件初值条件可得可得(19)(19)8(17)(17)(18)(18)(19)(19)(18)(19)(18)(19)合在一起就是所求定解问题合在一起就是所求定解问题(17)(17)的特解。的特解。若问题中的边界条件出现若问题中的边界条件出现第二类或第三类齐次边界第二类或第三类齐次边界条件条件，解法类似。，解法类似。9二、考察齐次热传导方程的混合问题二、考察齐次热传导方程的混合问题( (边界条件边界条件(21(21) )其中其中为给定的已知函数。为给定的已知函数。都是都是第二类第二类的情形）的情形）(20)(20)(22)(22)该定解问题在物理上表示：杆的两段该定解问题在物理上表示：杆的两段处处绝热绝热、初始温度初始温度分布为分布为并且并且无热源无热源的有的有限长杆上的热传导问题。限长杆上的热传导问题。10解解令令将将(23)(23)代入方程代入方程(20)(20)分离变量得两个常微分分离变量得两个常微分由边界条件由边界条件(21)(21)得得(21(21) )(20)(20)(22)(22)(23(23) )方程方程(24(24) )(25(25) )(26(26) )11(1)(1)当当时，方程通解为时，方程通解为的的非非0 0解解。下面求常微分方程的初值问题下面求常微分方程的初值问题(27)(27)由边界条件得由边界条件得因此因此(27)(27)没有非没有非0 0解解。12(2)(2)当当时，方程通解为时，方程通解为则有则有由边界条件得由边界条件得再将再将代入方程代入方程解得解得这样就得到了传导方程这样就得到了传导方程(20)(20)满足满足边界条件边界条件(21)(21)的一个的一个非平凡解非平凡解其中其中为任意常数。为任意常数。(27(27) )13(3)(3)当当时，方程的通解具有如下形式时，方程的通解具有如下形式由边界条件得由边界条件得假设假设不恒等于不恒等于0 0， 则则于是得于是得从而找到一族非零解从而找到一族非零解(27)(27)14现在考虑现在考虑将特征值将特征值代入方程得代入方程得其通解为其通解为于是得满足方程于是得满足方程(20)(20)和边界条件和边界条件(21)(21)的非零解为的非零解为其中其中是任意常数。是任意常数。(24)(24)(28(28) )15为此，在为此，在(28)(28)式中令式中令且结合且结合初值条件初值条件可得可得(28(28) )(29(29) )16这样，定解问题这样，定解问题(20)-(22)(20)-(22)的解由级数的解由级数(21(21) )(20(20) )(22(22) )给出，其中系数给出，其中系数由由(29)(29)式确定式确定(28(28) )(29(29) )17利用公式利用公式解解其中其中(28(28) )(29(29) )例例求下列问题的解求下列问题的解18例例求下列问题的解求下列问题的解由于由于解解则有则有19例例求下列问题的解求下列问题的解然后将然后将解解(28(28) )以及以及代入公式代入公式得所求问题的解为得所求问题的解为