专题04 三角形的性质与判定目 录一、考情分析二、知识建构考点一 三角形的基础题型01 三角形的三边关系题型02 与三角形有关线段的综合问题题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题题型04 三角形内角和与外角和定理的实际应用【好题必刷强化落实】考点二 特殊三角形的性质与判定题型01 线段垂直平分线的性质与判定题型02 角平分线的性质与判定题型03 等腰三角形的性质与判定题型04 等边三角形的性质与判定题型05 直角三角形的性质与判定题型06 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题题型07 与三角形有关的折叠问题题型08 赵爽弦图题型09利用勾股定理解决实际问题【好题必刷强化落实】考点要求命题预测三角形的基础 三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，所以在中考中考察的几率比较大.在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等.特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大.直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.特殊三角形的性质与判定考点一 三角形的基础题型01 三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边推论：三角形的两边之差小于第三边【解题技巧】1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|cab3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形1（2021湖南娄底统考中考真题）2,5,m是某三角形三边的长，则(m3)2+(m7)2等于（）A2m10B102mC10D4【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论【详解】解：2,5,m是三角形的三边，52m5+2，解得：3m7，(m3)2+(m7)2=m3+7m=4，故选：D【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m的范围，再对二次根式化简2（2020甘肃天水统考中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x28x+12=0的根，则该三角形的周长为 【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求【详解】解：x2-8x+12=0，x2x6=0，x1=2，x2=6，三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+25，不符合题意，三角形的第三边长是6，该三角形的周长为：2+5+6=13故答案为：13【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键3（2022河北统考中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）A1B2C7D8【答案】C【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，先在ABC和CDE中，根据三角形的三边关系定理可得4a6，0b2，从而可得4a+b8，2ab6，再在ACE中，根据三角形的三边关系定理可得abda+b，从而可得2d8，由此即可得出答案【详解】解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，在ABC中，51a1+5，即4a6，在CDE中，11b1+1，即0b2，所以4a+b8，2ab6，在ACE中，abda+b，所以2d8，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键4（2023河北中考真题）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化当ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A2B3C4D5【答案】B【分析】利用三角形三边关系求得0AC4，再利用等腰三角形的定义即可求解【详解】解：在ACD中，AD=CD=2，22AC2+2，即0AC4，当AC=BC=4时，ABC为等腰三角形，但不合题意，舍去；若AC=AB=3时，ABC为等腰三角形，故选：B【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题题型02 与三角形有关线段的综合问题三角形有关的线段的性质：高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）ADB=ADC=90BD=CD SABD=SADCCACDCABD=ACABBAD=DAC=12 BACAD=DB AE=ECDE=12 BC DEBC1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系 2. 常见三角形的高：3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.1（2023安徽中考真题）清初数学家梅文鼎在著作平三角举要中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角ABC的高，则BD=12BC+AB2AC2BC当AB=7,BC=6，AC=5时，CD= 【答案】1【分析】根据公式求得BD，根据CD=BCBD，即可求解【详解】解：AB=7,BC=6，AC=5，BD=12BC+AB2AC2BC =126+49256=5CD=BCBD=65=1,故答案为：1【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键2（2021江苏连云港中考真题）如图，BE是ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D若BF=3FE，则BDDC= 【答案】32【分析】连接ED，由BE是ABC的中线，得到SABE=SBCE，SAED=SEDC，由BF=3FE，得到SABFSAFE=3,SBFDSFED=3，设SAEF=x,SEFD=y，由面积的等量关系解得x=53y，最后根据等高三角形的性质解得SABDSADC=BDDC，据此解题即可【详解】解：连接EDBE是ABC的中线，SABE=SBCE，SAED=SEDCBF=3FESABFSAFE=3,SBFDSFED=3设SAEF=x,SEFD=y，SABF=3x，SBFD=3ySABE=4x,SBEC=4x,SBED=4ySEDC=SBECSBED=4x4ySADE=SEDCx+y=4x4yx=53yABD与ADC是等高三角形，SABDSADC=BDDC=3x+3yx+y+4x4y=3x+3y5x3y=353y+3y553y3y=8y163y=32，故答案为：32【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键3（2021黑龙江大庆中考真题）已知，如图1，若AD是ABC中BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是ABC中BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在ABC中，BD=2,CD=3,AD是ABC的内角平分线，则ABC的BC边上的中线长l的取值范围是 【答案】12l252【分析】根据题意得到ABAC=23，设AB2k，AC3k，在ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线AE至F，使得AE=EF，连接CF，最后根据三角形三边关系解题【详解】如图，反向延长中线AE至F，使得AE=EF，连接CF，BD=2,CD=3,AD是ABC的内角平分线，ABAC=BDCD=23可设AB2k，AC3k，在ABC中，BC5，5k5，k5，1k5，BE=ECAEB=CEFAE=EFABEFCESASAB=CF由三角形三边关系可知，ACCFAFAC+CFkAF5kk2AE5k212l252故答案为：12l252【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键4（2022上海中考真题）如图，在ABC中，A=30，B=90，D为AB中点，E在线段AC上，ADAB=DEBC，则AEAC= 【答案】12或14【分析】由题意可求出DE=12BC，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是ABC的中位线，满足DE1=12BC，进而可求此时AE1AC=12，然后在AC上取一点E2，使得DE1DE2，则DE2=12BC，证明DE1E2是等边三角形，求出E1E214AC，即可得到AE2AC=14，问题得解【详解】解：D为AB中点，ADAB=DEBC=12，即DE=12BC，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是ABC的中位线，此时DE1BC，DE1=12BC，AE1AC=ADAB=12，在AC上取一点E2，使得DE1DE2，则DE2=12BC，A=30，B=90，C=60，BC12AC，DE1BC，DE1E2=60，DE1E2是等边三角形，DE1DE2E1E212BC，E1E214AC，AE1=12AC，AE2=14AC，即AE2AC=14，综上，AEAC的值为：12或14，故答案为：12或14【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等，根据DE=12BC进行分情况求解是解题的关键5（2022吉林中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整【作业】如图，直线l1l2，ABC与DBC的面积相等吗？为什么？解：相等理由如下：设l1与l2之间的距离为，则SABC=12BC，SDBC=12BCSABC=SDBC【探究】(1)如图，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为，则SABCSDBC=证明：SABC (2)如图，当点D在