第02讲 菱形的判定模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1理解并掌握菱形的判定方法；2能够运用综合法证明菱形的判定定理及其推论进行有关的证明和计算；3经历探索菱形判定的过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.考点一：菱形的判定例1如图，下列条件中不能使成为菱形的是（）ABCD【答案】D【详解】解：A、四边形是平行四边形，且，是菱形，故不符合题意；B、四边形是平行四边形，且，是菱形，故不符合题意；C、四边形是平行四边形，且，是菱形，故不符合题意；D、四边形是平行四边形，且，不能判定是菱形，故符合题意，故选：D【变式1-1】如图，已知，下列不能判断是菱形的条件是（）ABCD平分【答案】C【分析】本题考查菱形的判定定理，四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，依次进行判断即可【详解】解：A：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；B：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；C：当时，不能证明是菱形,故选项C符合题意，D：当平分时，得到，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故D不符合题意，故选：C【变式1-2】如图，根据下面平行四边形中所标注的条件，不能判定其为菱形的是（）ABCD【答案】D【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定，熟练掌握菱形的判定方法，根据菱形的判定方法，逐项进行判定即可【详解】解：A，为等边三角形，为菱形，故A不符合题意；B，为直角三角形，为菱形，故B不符合题意；C四边形为平行四边形，为菱形，故C不符合题意；D此选项中的条件不能判定图中的平行四边形为菱形，故D符合题意故选：D【变式1-3】如图，的对角线交于点O，下列条件不能判定是菱形的是（）ABCD【答案】D【分析】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的关键根据菱形的判定方法逐项判断即可解答【详解】解：A由、，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；B由可得，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；C由,根据对角线垂直的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意；C是的对边，不能说明四边形是菱形，故该选项符合题意故选：D考点二：添一个条件使四边形是菱形例2.在中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，要使 是菱形，需添加的一个条件是 (写出一个即可)【答案】(答案不唯一)【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判断即可【详解】解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，时，是菱形，故答案为：(答案不唯一)【变式2-1】如图，在中，D为上一点，请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为菱形【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得【详解】解：，四边形是平行四边形，四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故答案为：（答案不唯一）【变式2-2】如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接请再添加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由（不再添加任何线条、字母）【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理和菱形的判定定理是解题的关键【详解】解：添加条件理由：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是菱形故答案为：（答案不唯一）【变式2-3】如图，在平行四边形中，对角线与交于点O（1）添加一个条件 ，则可判定四边形是菱形；（2）若，则与的周长之差为 【答案】 2【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握性质和坡度是解题的关键（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，添加一个条件即可；（2）根据平行四边形的性质，结合三角形的周长表达式，计算即可【详解】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以添加一个条件，故答案为：；（2）平行四边形中，对角线与交于点O，与的周长之差为，故答案为：2考点三：利用菱形的判定与性质求角度例3. 如图，以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；分别连接、，若，则的大小为 【答案】30【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的对角线平分一组对角且菱形的对角相等是解题的关键；先根据作图方法证明四边形ABCD是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的对角相等进行求解即可；【详解】解：由作图方法可知，四边形是菱形，故答案为：30【变式3-1】如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则 【答案】/100度【分析】根据题意得出菱形，根据菱形的性质推出，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程即可求出答案【详解】解：四边形的四边都相等，四边形是菱形，是等边三角形，由三角形的内角和定理得：，设，则，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程求解是关键【变式3-2】在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 【答案】【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长、交于H，连接，求证平行四边形为菱形，得出，为全等的等边三角形，证明，即可得出答案【详解】解：延长、交于H，连接，四边形为平行四边形，平分，为等腰三角形，平行四边形为菱形，且均为等边三角形，为等腰三角形，又四边形为平行四边形，在与中，故答案为：【变式3-3】如图，在四边形中，对角线互相垂直平分，点，Q分别是边，线段上的点，连接与相交于点，且，则 ；当时，设，则的长 （用含a的代数式表示）【答案】 120 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，根据菱形的性质可得，再根据各角的关系得出，由含30度角的直角三角形的性质可得，进而得出，再证是等边三角形，求出，再证，推出，最后用勾股定理解即可【详解】解：四边形中，对角线互相垂直平分，四边形是菱形，菱形中，；中，是等边三角形，解得，如图，连接，由菱形的性质得，在和中，在中，故答案为：120；考点四：利用菱形的判定与性质求长度例4. 如图，以O为圆心，为半径作弧，分别交，于点C，D，再分别以C，D为圆心长为半径作弧，两弧交于点E，连接，则的长为 【答案】【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，以及勾股定理，灵活运用菱形的性质和判定是解题的关键先判定出四边形是菱形，借助菱形的性质推出，进而得出，最后再利用勾股定理和菱形性质即可求出【详解】解：连接，交于点F，由题可知，四边形是菱形，在中，四边形是菱形，故答案为：【变式4-1】已知中，对角线平分线，若，则的周长为 【答案】8【分析】根据题意易知四边形是菱形，然后问题可求解【详解】解：如图，四边形是平行四边形，平分线，四边形是菱形，；故答案为8【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质与平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定及性质与平行四边形的性质是解题的关键【变式4-2】如图，为边的中点，交的延长线于点，连接，平分，作，垂足为若，则 【答案】【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等角对等边等等，先证明得到，则可证明四边形是平行四边形，再证明，得到，则可证四边形是菱形，得到，利用勾股定理求出，再由，可得【详解】解：为边的中点，四边形是平行四边形，平分，四边形是菱形，故答案为：【变式4-3】如图，在四边形中，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接，则的长为 【答案】2【分析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出是菱形；再判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论【详解】，为的平分线，四边形是平行四边形，是菱形；，在中，【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键考点五：利用菱形的判定与性质求面积例5. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，D之间的距离为，点A，C之间的距离为，则四边形的面积为 【答案】/24平方厘米【分析】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定，先根据已知条件判定四边形是菱形，再根据菱形的性质和勾股定理求得，进而利用菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可【详解】解：连接、，设交点为O，由题意，