压轴题 05圆的综合目 录题型一 切线的判定题型二 圆中求线段长度题型三 圆中的最值问题题型四 圆中的阴影部分面积题型五 圆中的比值（相似）问题题型解读：圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高多考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及以下问题：切线的判定；计算线段长及证明线段比例关系；求三角函数值；利用“辅助圆”求最值.右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.题型一 切线的判定解题模板： 技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90，如已有90角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）【例1】1（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切【答案】见详解【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论【详解】证明：如图，连接，为的直径，即，是的半径，直线与相切【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F求证：与相切；【分析】连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，即可证明与相切；【详解】证明：如图，连接，是的直径，平分交于点E，是的半径，与相切；【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，是的直径，点在上，点在线段的延长线上，且(1)求证：EF与相切；(2)若，求的长【分析】利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；【详解】证明：连接，是的直径，为半径，EF与相切；【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F(1)求证：是的切线；【分析】连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；【详解】证明：连接，点C为的中点，为半径，为切线；【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键题型二 圆中求线段长度解题模板： 【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知为的直径，点C为圆上一点，垂直于过点C的直线，交于点E，垂足为点D，平分(1)求证：是的切线；(2)若，求的长【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证；（2）连接，利用勾股定理可得，进而有，根据，即，进而可得，根据四边形内接于，可得，即，再在中，可得【详解】（1）连接，如图，平分，是的切线；（2）连接，如图，为的直径，在中，平分，即，在中，四边形内接于，即，在中，【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，灵活运用解直角三角形，是解答本题的关键【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，是的直径，为上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点(1)求证：为的切线；(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据点是的中点可得，进而证，从而得证即可；（2）解法一：连接交于，根据及勾股定理求出，再证明，从而得到，即可求出的值；解法二：过点作于点，按照解法一步骤求出，然后证明四边形是矩形，再证明，求得，进而求出的值【详解】（1）证明：连接，点是的中点，是半径，是的切线；（2）解法一：连接交于，在中，或（不符合题意，舍去），点是的中点，是半径，垂直平分，是的中位线，是直径，；解法二：过点作于点，在中，或（不符合题意，舍去），四边形是矩形，【点睛】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理，平行线间线段成比例，相似三角形的的判定与性质，掌握并理解相关性质定理并能综合应用是关键【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E(1)求的度数；(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点若，求的长【答案】(1)(2)【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可【详解】（1）解： 为的直径，为的平分线，；（2）解：连接，设，则，为的直径，在中，由（1）得，解得或（不合题意舍去），是的切线，【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，是等腰直角三角形，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D(1)求证：是的切线；(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，与相切于点D，是等腰直角三角形，点O为的中点，即是的半径，是的切线；（2）解：，点O为的中点，在中，连接，过O作于点H，【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键题型三 圆中的最值问题解题模板： 技巧精讲：1、 辅助圆模型【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在中，为直径，C是上一点，.过O分别作于点H，于点D，点E、F分别在线段上运动（不含端点），且保持(1)_；四边形是_（填矩形/菱形/正方形）； _；(2)当F和D不重合时，求证：；(3)在图1中，是的外接圆，设面积为S，求S的最小值，并说明理由；如图2：若Q是线段上一动点，且，是四边形的外接圆，则当n为何值时，的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案【答案】(1)2.5；矩形；3；(2)见解析(3)，理由见解析；时，有最小值【分析】（1）根据圆周角定理及勾股定理得出，再由直角三角形斜边中线的性质得出；利用矩形的判定得出四边形的形状，再由相似三角形的判定和性质及矩形的面积求法即可得出结果；（2）由圆周角定理及等量代换得出，再由相似三角形的判定即可证明；（3）由（2）得，确定圆经过、，即为的外接圆，且为直径，由（1）得出取得最小值为，利用圆的面积求解即可；根据题意得：当，时，圆的直径有最小值，再由三角函数得出，利用勾股定理及二次函数的性质求解即可【详解】（1）解：为直径，；，四边形是矩形；，同理得，；故答案为：；矩形；3；（2）证明：，又为直径，即，（3）如图，圆经过、，即为的外接圆，且为直径当最小时，圆的面积S有最小值，当和重合、和重合时，由（1）得，取得最小值，也取得最小值为，此时为最小值根据题意得：当，时，圆的直径有最小值，此时，当最小时，最小，令，则为关于的二次函数，当，即时，有最小值，代入得最小值为【点睛】题目主要考查圆与四边形综合问题，包括圆周角定理，矩形的判定和性质，内接三角形和四边形，解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径，弦，连接(1)求证：；(2)当的面积最大时，求的度数【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据同圆或等圆中弧、弦、圆周角的关系可得，从而用边边边定理证明三角形全等；（2）连接，过点作，垂足为点，通过分析当且仅当时取等号时有最大值为2，分析求解【详解】（1）证明：，即，又（2）解：连接，过点作，垂足为点，当且仅当时取等号，此时最大值，【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，同圆或等圆中弧、弦、圆周角的关系，解题的关键是根据图形题意，准确添加辅助线【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且(1)若，以为边在上方作，且，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；(2)如图2，在(1)的条件下，若，求的长；(3)如图3，若，当的值最大时，求此时的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在中，且，可得，根据相似三角形的性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；（2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解（3）如图所示，以为边在上方作，且