第22讲 难点探究专题：相似三角形中的动点问题【题型一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】例1（2023河北九年级专题练习）如图，在中，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t（1）用含t的代数式表示：= ；（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间 【答案】 / 秒或4秒【分析】（1）根据路程=速度时间，即可表示出AQ的长度.（2）此题应分两种情况讨论当时；当时利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：（1）由题意可知：，（2）连接PQ，PAQ=BAC，当时，即，解得 当时，即，解得t=4运动时间为秒或4秒故答案为：；秒或4秒【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要漏解【变式1-1】（2023春山东烟台八年级统考期末）如图，在钝角三角形ABC中，AB6cm，AC12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 【答案】3秒或4.8秒【分析】如果以点、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：与对应；与对应根据相似三角形的性质分别作答【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则ADt，CE2t，AEACCE122t当D与B对应时，有ADEABCAD：ABAE：AC，t：6（122t）：12，t3；当D与C对应时，有ADEACBAD：ACAE：AB，t：12（122t）：6，t4.8故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，故答案为：3秒或4.8秒【点睛】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例本题分析出以点、为顶点的三角形与相似，有两种情况是解决问题的关键【变式1-2】如图，在中，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若BPQ与相似，则的值为 【答案】或或【分析】根据题意可知，分和两种情形讨论即可求解【详解】解：在中，当时，若，则，解得：；若，则，解得：当时，同理可得或解得：（舍去）或综上所述，或或，故答案为：或或【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键【变式1-3】（2023春广东汕头九年级校考期中）如图1，在中，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ(1)若BPQ与相似，求t的值；(2)直接写出BPQ是等腰三角形时t的值；(3)如图2，连接AQ、CP，若，求t的值【答案】(1)t的值为1或(2)是等腰三角形时t的值为：或或(3)【分析】（1）根据勾股定理可得，分两种情况：，根据相似三角形的性质将代入计算即可得；（2）分三种情况：当时，过P作，则，根据平行线分线段成比例定理得到，进而即可求解；当时，列出式子即可求解；当时，过Q作于G，则，通过，得到比例式进而即可求解；（3）设AQ，CP交于点N，过P作于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得【详解】（1）解：，由题意得：，分以下两种情况讨论：当时，即，解得；当时，即，解得，综上，t的值为1或；（2）解：分三种情况：当时，如图，过P作，则，即，解得：；当时，即，解得：；当时，如图，过Q作于G，则，即，解得：；综上所述：BPQ是等腰三角形时t的值为：或或；（3）解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作于点M，即，解得，在和中，即，解得，经检验是该分式方程的解【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键【题型二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例2.（2023秋福建漳州九年级统考期末）在中，动点D在边上，的垂直平分线交边于点E若是直角三角形，则的长为 【答案】或【分析】由勾股定理和垂直平分线的性质可知，若是直角三角形，分或两种情况，利用相似三角形的性质即可求解【详解】解：，的垂直平分线交边于点E，设，则若是直角三角形，如图，当时，可知，则：，即：，可得：，如图，当时，可知，则：，即：，可得：，故答案为：或【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理及垂直平分线的性质，将直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质列比例式是解决问题的关键【变式2-1】（2023秋河南南阳九年级南阳市第三中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB8，BC12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D处，当APD是直角三角形时，PD 【答案】或【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=12，BAD=D=B=90，根据勾股定理可得，设PD=PD=x，则AP=12-x，APD是直角三角形可以分两种情况讨论，当ADP=90时，当APD=90时，根据相似三角形的性质列出方程求解，即可得到结论【详解】解： 四边形ABCD是矩形， AB=8， BC=12， AD=BC=12，BAD=D=B=90，E是BC的中点，BE=CE=6， 沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D处，PD= PD，设PD=PD=x，则AP=12-x，要使得APD是直角三角形时，当ADP=90时，ADP=B=90， AD / BC， PAD=AEB， ， ，即 解得 ，；当APD=90时，APD=B=90， PAE=AEB， ， ，即 ，解得： ，；综上所述，当APD是直角三角形时，或，故答案为：或【点睛】本题考查了翻折、矩形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键【变式2-2】（2023春山东淄博八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 【答案】或或【分析】先求出点A和点B的坐标，根据勾股定理求出的长，得到，然后分三种情况利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：直线，当时，；当时，则，解得，C是的中点，如图1，点P在上，且，；如图2，点P在上，且，；如图3，点P在上，且，综上所述，点P的坐标是或或【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质、图形与坐标、勾股定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性质强，应注意按点P的不同位置分类讨论，求出所有符合题意的答案【变式2-3】（2023江苏九年级专题练习）如图，矩形中，为边上的动点，当与相似时，求长【答案】或1或4【分析】设，利用矩形的性质得到，则根据相似三角形的判定方法，当时，；当时，即，然后分别解方程即可【详解】解：设，四边形为矩形，当时，即，解得；当时，即，解得综上所述，的长为或1或4【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似也考查了矩形的性质分类讨论是解题的关键.【题型三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】例3. （2023秋湖南益阳九年级统考期末）正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为 .【答案】【分析】根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案【详解】解：由题意作出图形，如图所示：在正方形中，边长为6，设的长为，则，即，在时有最大值，最大值为，故答案为：【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键【变式3-1】（2023江苏扬州统考二模）如图，在直角中，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 【答案】【分析】作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，由勾股定理可求得，根据三角形的面积可求得解得，过点作，交于点H，交于点P，则，可知此时有最小值，最小值为，再根据相似三角形的判定，可证得，据此即可求解【详解】解：如图：作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，由勾股定理得：，解得，过点作，交于点H，交于点P，则，此时，有最小值，最小值为，又，得，解得，故的最小值为【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键【变式3-2】（2023秋四川成都九年级统考期末）如图，在矩形中，点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 【答案】【分析】如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P；先通过判定、得到、；设,则，得到，即；说明点G在直线上且，的最小值为点A到直线的垂线段长度，最后根据两点间距离公式和二次函数的性质即可解答【详解】解：如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P四边形为矩形,又分别是和对应边上的高设,则，即，即，即点G在直线上且的最小值为点A到直线的垂线段长度当时，有最小值，则的最小值为故