第09讲：压轴题【题型精讲】题型一：动态几何1（2021江苏苏州一模）如图，内接于，点为弧上一动点，直线于点当点从点沿弧运动到点时，点经过的路径长为（）ABCD【答案】A【分析】连接OB，设OB的中点为M，连接ME作OHBC于H首先判断出点E在以OB为直径的圆上运动，求出点D与C重合时EMB的度数，利用弧长公式计算即可【详解】解：如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME作OHBC于HODBE，OEB90，点E在以OB为直径的圆上运动，当点D与C重合时，BOC2A120，BOE60，EMB2BOE120，BC12，OHBC，BHCH6，BOHCOH60，OB，点E的运动轨迹的长，故选：A【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹，属于中考常考题型2（2021山东威海中考真题）如图，在菱形ABCD中，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿ACD的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿ABCD的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）ABCD【答案】A【分析】先证明CAB=ACB=ACD=60，再分0x1、1x2、2x3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解【详解】解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ACD都是等边三角形，CAB=ACB=ACD=60如图1，当0x1时，AQ=2x，AP=x，作PEAB于E，故D选项不正确；如图2，当1x2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PFBC与F，作QHAB于H，故B选项不正确；当2x3时，CP=x-2，CQ=2x-4，PQ=x-2，作AGCD于G，故C不正确故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键3（2021山东济南三模）如图1，在RtABC中，A90，BC10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿BAC运动，终点为C，点Q出发t秒时，BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：AC6cm；曲线MN的解析式为yt2t（4t7）；线段PQ的长度的最大值为cm；若PQC与ABC相似，则t秒，其中正确的说法是（）ABCD【答案】A【分析】根据图2可知：走完用了4秒，得，利用勾股定理得的长；当在上时，利用同角的三角函数表示高的长，利用三角形面积公式可得与的关系式；当与重合时，最大，如图4，此时，求出的长；当在上时，与，列比例式可得的值【详解】解：由图2可知：时，故正确；当在上时，如图3，过作于，此时：，由题意得：，故正确；当与重合时，最大，如图4，此时，过作于，同理：，；线段的长度的最大值为，故不正确；若与相似，点只有在线段上，分两种情况：，当，如图5，则，解得不合题意当时，如图6，；若与相似，则秒，故正确；其中正确的有：，故选：A【点睛】本题是动点问题的图象问题，此类问题比较复杂，考查了二次函数的关系式、三角形相似的性质和判定、勾股定理、三角函数，解题的关键是学会读懂函数图象信息，并构建直角三角形，利用三角形相似或三角函数列方程解决问题题型二：新定义问题4（2023重庆中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”例如：，下列说法：存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果其中正确的个数是A0B1C2D3【答案】C【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法和说法需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案【详解】解：，故说法正确若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法正确当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法不符合题意故选：C【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用5（2021广西贺州中考真题）如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）若集合，我们说已知集合，集合，若，则的值是（）A1B0C1D2【答案】C【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可【详解】解：集合B的元素，可得，当时，不满足互异性，情况不存在，当时，（舍），时，满足题意，此时，故选：【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即可6（2021湖北荆州中考真题）定义新运算“”：对于实数，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（）A且BC且D【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决【详解】解：x2+1，x52k，k=0，整理得，方程有两个实数根，判别式且由得，解得，k的取值范围是且故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视题型三：猜想和证明7（2023四川巴中中考真题）综合与实践(1)提出问题如图1，在和中，且，连接，连接交的延长线于点O的度数是_(2)类比探究如图2，在和中，且，连接并延长交于点O的度数是_(3)问题解决如图3，在等边中，于点D，点E在线段上（不与A重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度如图4，M为的中点，N为的中点试说明为等腰三角形求的度数【答案】(1)(2)(3)见解析；【分析】（1）证明得到，进而证明，即可求出；由全等三角形的性质可得，则；（2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而证明，得到，推出，则；由相似三角形的性质可得；（3）连接，延长交于点P，交于点O，证明分别是、的中位线，得到，再证明，得到，则，由此即可证明为等腰三角形；由全等三角形的性质可得，进而求出，则，再由平行线的性质可得【详解】（1）解：，即，又，即，即，故答案为：；，故答案为：；（2）解：在和中，且，即，又，故答案为：；，故答案为：；（3）解：连接，延长交于点P，交于点O在等边中，于点D，为的中点又为的中点，N为的中点，分别是、的中位线都是等边三角形，在和中，为等腰三角形，又，即【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理等等，正确理解题意通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键8（2020河南驻马店模拟预测）在中，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_，位置关系是_【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积【答案】（1），（2）结论仍然成立，见详解（3）或【分析】（1）由题意知，是等腰直角三角形，由是等腰直角三角形可知为中点，进而可知是的中位线，根据中位线的性质证明即可；（2）如图2，延长到，使，连接，证明，可得，证明，可得，（3）分两种情况求解：如图3，作，垂足为，垂足为，由题意知，由 ，由（2）知，求解的值，进而由计算求解即可； 如图4，作，垂足为，垂足为M，垂足为N，与的交点为，由题意知，可得，根据，求的值，进而得到的值，由证明，有，求解的值，由（2）知求出的值，根据计算求解即可【详解】解：（1）点D是的中点，是等腰直角三角形是等腰直角三角形为中点点H是的中点是的中位线（2）结论仍然成立 理由如下：如图2，延长到，使，连接，（3）分两种情况求解：如图3，作，垂足为，垂足为由题意知，由（2）知如图4，作，垂足为，垂足为M，垂足为N，与的交点为，由题意知， ，解得，由（2）知，；综上所述，的面积为或【点睛】本题考查了中位线，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质等知识解题的关键在于对知识的灵活运用题型四：阅读理解9（2023江西新余