专题03 一元一次不等式知识点 1 ： 不等式的基础一、不等式的相关概念不等式的定义：用不等号“”、“”、“”、“”或“”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.不等式的解集的表示方法：用不等式表示；用数轴表示.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.二、常见的不等式基本语言与符号表示不等式基本语言符号表示a是正数a0a是负数a0a是非正数a0a是非负数a0a、b同号ab0a、b异号ab0（1）不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意变换；（2）不等式中可以含有未知数，也可以不含未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等式所表示的大小关系，不等式成立；否则，不等式不成立.三、不等式的性质基本性质1若ab，则ac bc若ab，则ac b,c0，则acbc（或acbc）基本性质3若ab,c0，则acbc（或acbc）知识点2： 一元一次不等式一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，叫作一元一次不等式.1.一元一次不等式满足的条件：（1）左右两边都是整式(单项式或多项式)；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为12.一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“”或“”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“”连接，等号没有方向二、一元一次不等式的解法步骤具体做法依据注意事项去分母在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数不等式性质2、31）不要漏乘不含分母的项；2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号分配律 去括号法则1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号；3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号.移项把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边不等式性质11）移项时不要漏项;2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号.合并同类项把不等式变为axba0的形式合并同类项法则1）不要漏项；2）系数的符号处理要得当.系数化为1将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解不等式性质2、31)不等式两边都除以未知数系数;2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.【易错易混】1. 一元一次不等式满足的条件：不等式的左右两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是1.2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.知识点3： 一元一次不等式组一、一元一次不等式组1.把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组；2.一元一次不等式组满足的条件：不等式组中所有不等式都是一元一次不等式；不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数；不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上.二、一元一次不等式组的解集1.不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集；2.利用数轴确定一元一次不等式组的解集的步骤：（1）将组成不等式组的一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确地表示出来；（2）确定数轴上解集的公共部分，公共部分就是此不等式组的解集，若没有公共部分，则不等式组无解.3.一元一次不等式组的解集共有如下四种情况：不等式组（设）不等式组的解集无解不等式组的解集在数轴上的表示口诀同大取大同小取小大大小小无解大小小大中间找Ps：当不等式组中含有“”或“”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变.三、解一元一次不等式组的一般步骤：1） 求出不等式组中各不等式的解集.2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来.3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.知识点4： 不等式（组）的实际应用1.列一元一次不等式（组）解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；（2）设：设出适当的未知数；（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；（4）解：解所列的不等式（组）；（5）答：检验求得的解或解集是否符合题意，并写出答案2.常见的一些等量关系（1）行程问题：路程速度时间；（2）工程问题：工作量工作效率工作时间，各部分劳动量之和总量（3）利润问题：商品利润商品售价商品进价，；（4）和差倍分问题：增长量原有量增长率；（5）本息和本金+利息，利息本金利率；（6）多位数的表示方法：例如：.3.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x50.题型归纳【题型1 解一元一次不等式（组）】 1（23-24七年级下河南新乡期中）解下列不等式，并在数轴上表示解集(1)；(2)【答案】(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法是解本题的关键，（1）移项，合并同类项，可得到不等式的解集，再在数轴上表示解集即可；（2）先去分母、去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化1，可得到不等式的解集，再在数轴上表示解集即可.【详解】（1）解：，移项得：，合并同类项，得：；在数轴上表示其解集如下：（2）去分母得：去括号得，移项得，合并同类项，得：解得：2（2024福建厦门三模）解不等式 的解集，并把它的解集在数轴上表示出来【答案】，数轴见解析【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式；然后把解集表示在数轴上【详解】解去分母得，去括号得，移项合并同类项得，化系数为1得，在数轴上表示为：3（23-24七年级下吉林长春期中）解下列不等式（组）：(1)；(2)【答案】(1)(2)无解【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键（1）先去括号，再移项合并同类项，系数化1，即可作答（2）分别算出每个不等式组的解集，再取公共部分的解集，即可作答【详解】（1）解：，；（2）解：，由，得，解得，由，得，解得，此时不等式组无解【题型2 解特殊不等式组】4（20-21七年级下北京昌平期末）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离例1解方程解：，在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为例2解不等式解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为_；（2）解不等式；（3）若，则的取值范围是_；（4）若，则的取值范围是_【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；（2）将原式化解为，首先在数轴上找出的解，即或，则的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可；（3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案；（4）表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数到1的距离减去数x到-2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可【详解】解：（1），解得：，故答案为：；（2），首先找的解，即到-2距离为4的点对应的数为-6和2，表示到-2的距离小于4的点对应的所有数，不等式解集为；（3），表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，；故答案为：；（4），表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数x到1的距离减去数x到-2的距离，当x在点1右边时，当x在点-2左边时，当x在-2到1之间时，；故答案为：【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键【题型3 求一元一次不等式（组）整数解】 5（2024湖南永州模拟预测）解不等式，并求它的非正整数解【答案】，非正整数解有【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题关键根据解不等式的步骤解不等式，然后找到相应非正整数解即可【详解】解：原式，移项，得，合并同类项，得，不等式的两边同时除以，得，所以，原不等式的解集为 如图所示：所以非正整数解是6（2024陕西渭南三模）解不等式，并求出该不等式的最大整数解【答案】，最大整数解为【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的最大整数解，按照解一元一次不等式的步骤即可求出不等式的解集，再根据解集即可得到不等式的最大整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键【详解】解：去分母得，移项得，合并同类项得，系数化为得，该不等式的最大整数解为7（23-24八年级下河北邯郸期中） 解不等式组： 在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解【答案】不等式组的解集为，正整数解为：1，2，3，4，5画图见解析【分析】本题考查了解一元一次不等式组并在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及解集在数轴上表示的方法是解题的关键先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其正整数即可求解