专题02 实际问题与二元一次方程组14种常见题型解题技巧题型一：二元一次方程组的错解复原问题题型二：构造二元一次方程组求解题型三：已知二元一次方程组的解的情况求参数题型四：方案问题 题型五：行程问题题型六：工程问题 题型七：数字问题题型八：年龄问题 题型九：分配问题题型十：销售、利润问题 题型十一：和差倍分问题题型十二：几何问题 题型十三：图表信息题题型十四：古代问题一、方案问题 解题技巧：往往有多种方案都是符合，注意在得出方案时，必须要符合实际（通常为正整数）在解决问题时，常常需合理安排需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案二、行程问题解题技巧：行程问题中，最主要的等量关系式为：速度时间=路程。相遇问题：甲的路程+乙的路程=总路程；追击问题：快的路程慢的路程=路程差流水问题：顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速水速三、工程问题 解题技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率工作时间。工程问题，常是几个工程队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。四、数字问题解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a五、年龄问题 解题技巧：年龄问题中，列写等量关系式主要还是根据和差倍关系。年龄问题有一个特点需要注意：n年前（后），两个人的年龄是同时减少（增加）n的。六、销售、利润问题 解题技巧：利润问题，常见的等量关系式有：利润=售价进价=进价利润率。七、和差倍分问题解题技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。设相互比较的两个量分别为x、y，根据倍数关系列写等量关系式和方程。增长量原有量增长率 较大量较小量多余量，总量倍数倍量.八、几何问题 解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式；九、古代问题解这类题的一般程序为：问题情境抽象出等量关系列出二元一次方程组解方程组作答。通过对上述几例的学习，我们不仅会用二元一次方程组解决实际问题，而且还对我国的古代数学有了进一步的了解，同时解决实际问题的意识和应用能力得到了加强。 题型归纳题型一：二元一次方程组的错解复原问题【例1】（23-24七年级下重庆北碚期末）涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程抄错，求得解为，轩轩把方程抄错，求得的解为，求方程组的正确解【答案】【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键由于涵涵把方程抄错，求得解满足方程，轩轩把方程抄错，求得的解满足方程，进而求出、的值，再将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案【详解】解：涵涵把方程抄错，求得解为，满足方程，即；又轩轩把方程抄错，求得的解为，满足方程，即；因此有，解得，所以原方程组可变为，即，得，解得，把代入得，解得，原方程组的正确的解为【变式1-1】（22-23七年级下重庆万州期末）甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组，甲看错了方程中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程组的解为(1)求a与b的值；(2)求的值【答案】(1)，(2)2【分析】（1）将代入方程组的第个方程，将代入方程组的第个方程，联立即可求得a与b的值；（2）将a与b的值代入即可求解【详解】（1）解：根据题意，将代入可得：，解得：；将代入得：，即（2）解：，【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值【变式1-2】（22-23七年级下四川期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程中的，而得到的解为；乙看错了方程中的，而得到的解为(1)求的值；(2)求原方程组的正确解【答案】(1)9(2)【分析】（1）将，代入，求出的值，将，代入，求出的值，代入代数式求解即可；（2）将的值代入方程组，解方程组即可【详解】（1）解：由题意，得：，；（2），方程组为：，得：，解得：；把代入，得：，解得：；方程组的解为：【点睛】本题考查方程组错解复原问题解题的关键是掌握错解满足没有看错的方程【变式1-3】（23-24七年级下山东日照期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？(2)求出原方程组的正确解【答案】(1)甲把错看成了1；乙把错看成了1(2)【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识（1）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，以及错误与的值即可；（2）将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可【详解】（1）解：将，代入方程组得，解得：，将，代入方程组得，解得：，甲把错看成了1；乙把错看成了1；（2）解：根据（1）得正确的，则方程组为，解得：题型二：构造二元一次方程组求解【例2】在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于的方程称为点P的“映射方程” 若 是方程的解，则称点P“映射”了点Q，也可以说点Q被点P“映射”例如，点的“映射方程”是，且 是该方程的解，则点 “映射”了点，也可以说点被点 “映射”(1)请写出点的“映射方程”： ；(2)若点同时被点和点“映射”，请求出【答案】(1)(2)【分析】（1）由题干定义，得；（2）由题干定义，可构建方程组，求解方程组即得答案【详解】（1）解：根据题意，得；（2）解：由题意可列方程组：，解得【点睛】本题考查对新定义的理解，二元一次方程组的应用；根据新定义构建方程组是解题的关键【变式2-1】定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（k为常数，），则称点N是点M的“k系友好点”例如，点是的“1系友好点”(1)点的“2系友好点”的坐标是 ，若一个点的“系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是 ；(2)已知点在第二象限，且满足，点A是点的“系友好点”，求的值；(3)点在x轴正半轴上，“k系友好点”为点，若无论t为何值，的值恒为0，求k的值【答案】(1)；(2)(3)k的值为1【分析】（1）根据新定义，设点的“2系友好点”的坐标是，根据题意可得，即可得到点的“2系友好点”的坐标是；设点的“系友好点”的坐标是，根据新定义得到，解得，即可得到这个点的坐标是；（2）根据点A是点的“系友好点”得到，由得到，则，由点在第二象限得到，即可得到；（3）设点的坐标是，根据“k系友好点”为点得到，则点的坐标是，由点在x轴正半轴上得到，分和两种情况进行求解即可【详解】（1）解：设点的“2系友好点”的坐标是，根据题意可得，点的“2系友好点”的坐标是；设点的“系友好点”的坐标是，则，解得，这个点的坐标是；故答案为：；（2）点A是点的“系友好点”，或，点在第二象限，；（3）设点的坐标是，点在x轴正半轴上，“k系友好点”为点，点的坐标是，点在x轴正半轴上，当时，对任意t都成立，即，解得或（舍去），当时，对任意t都成立，此方程无解，综上可知，即k的值为1【点睛】此题考查了点的坐标，涉及新定义，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，理解“k系友好点”的定义【变式2-2】对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”例如：，452是“七巧数”；，724不是“七巧数”.(1)判断766，285是否为“七巧数”？请说明理由(2)若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，求的值【答案】(1)766是“七巧数”， 285不是“七巧数”，理由见解析；(2)m的值为801或711或621或531【分析】（1）根据定义判断即可；（2）利用定义和已知列方程，分情况讨论即可【详解】（1），766是“七巧数”， 285不是“七巧数”；（2）设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c,根据题意得：，（n为正整数）且得：，当时，或，或，或，当，3，4得不到符合题意的m，m的值为801或711或621或531【点睛】本题考查了实数与整式的新定义，以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题【变式2-3】定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点(1)在；三点中，是方程图象的关联点有_(填序号)；(2)已知两点是方程图象的关联点，两点是方程图象的关联点若点在轴上，点在轴上，求四边形的面积；(3)若三点是二元一次方程图象的关联点，探究与的大小【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将；三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题；（2）根据图象的关联点定义，解方程组求出点，三点坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积；（3）将，三点分别代入二元一次方程即可求得与的大小关系【详解】（1）解：将；三点，分别代入方程，在；三点中，是方程图象的关联点有，故答案为：；（2），两点是方程图象的关联点，两点是方程图象的关联点，解得，点在轴上，当时，点在轴上，当时，四边形的面积；（3），三点是二元一次方程图象的关联点，将，代入得整理，得，将代入得，得，解得将代入得即解得，将代入得即解得，【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题题型三：已知二元一次方程组的解的情况求参数【例3】（22-23七年级下河南新乡期末）延时课上，小红和小明在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：已知关于x，y的方程组的解满足为非负数求m的取值范围小红：用含有m的式子分别表示x，y，再让即可小明：哈哈，直接可以简便地求出m的取值范围请结合他们的对话，解答下列问题：(1)按照小红的方法，_，_；（用含m的代数式表示）(2)小明的方法体现了整体代入的思想，请按照小明的思路求出m的取值范围【答案】(1)；(