第03讲 勾股定理的应用模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题；2通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念3能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。知识点1：勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.知识点2 ：平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 考点一：应用勾股定理解决梯子滑落高度例1（23-24八年级下甘肃武威期中）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到处，问梯子底部B将外移多少米？【答案】梯子底部外移0.8米【分析】本题考查正确运用勾股定理，在中，根据已知条件运用勾股定理可将的长求出，又知的长可得的长，在中再次运用勾股定理可将求出，的长减去的长即为底部外移的距离【详解】解：在中，米，又，在中，米，则米故：梯子底部外移0.8米【变式1-1】（23-24八年级下广西柳州期中）如图1是篮球架侧面示意图，小明为了测量篮板的长度，设计了如下方案：如图2，垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一端点落在地面的点处测量得竹竿的长为5米，的长为3米，的长为4米根据以上测量结果，请你帮助小明求出篮板的长度【答案】篮板的长度为1米【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理分别求出的长即可得到答案【详解】解：由题意得，米，在中，由勾股定理得米，在中，由勾股定理得米，米，篮板的长度为1米【变式1-2】（23-24八年级下辽宁大连期中）一架长的梯子，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙(1)如图，求这架梯子的顶端距地面有多高？(2)如图，如果梯子靠墙下移，底端向右移动至点处，求它的顶端A沿墙下移多少米？【答案】(1)这架梯子的顶端距地面有(2)梯子的顶端沿墙下移【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握利用勾股定理计算是解题的关键（1）根据勾股定理，计算得出答案即可；（2）根据、，结合勾股定理计算，最后根据得出答案即可【详解】（1）解：于点，在中，根据勾股定理，得，答：这架梯子的顶端距地面有；（2）解：由题意，得，在中，根据勾股定理，得，答：梯子的顶端沿墙下移【变式1-3】（23-24八年级下黑龙江哈尔滨期中）如图1，一个梯子长为5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C之间的距离是4米(1)求梯子的顶端与墙角C之间的距离(2)如图2，将梯子的底端B向C方向挪动1米，若在墙的上方点E处须悬挂一个广告牌，点E与C之间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点E处？【答案】(1)3米(2)不能【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长；（1）根据勾股定理求边长即可；（2）先求出底端B向C方向挪动1米后底端到墙角C的距离，再由勾股定理求解梯子的顶端到达的高度，再与E的高度进行比较即可；【详解】（1）解：由题意知米，在中，米，梯子的顶端与墙角C之间的距离是3米；（2）不能，理由如下：设B向C方向挪动1米到，此时A向上挪动到，则米，米，米，米，米，在中，米，梯子的摆放位置不能够到点E处；考点二：应用勾股定理解决旗杆高度例2.（23-24八年级下河南漯河期中）如图，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）(1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度；(2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）【答案】(1)(2)【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题（1）根据题意可知构成直角三角形，设，根据勾股定理即可求得的长度；（2）过点D作，垂足为F，于是构成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度【详解】（1）设旗绳的长度为，则旗杆的长为，解得：，即答：旗绳的长度为（2）由题意可知：过点D作，垂足为F，则，答：标杆与旗杆的水平距离为【变式2-1】（23-24八年级下湖北荆门期中）为了测量学校旗杆的高度，某数学兴趣小组发现系在旗杆顶端A的绳子垂到了地面B并多出了一段的长度为1米，把绳子拉直向左走5米后，绳子底端C正好落在地面D处，请通过以上信息求出旗杆的高度【答案】12米【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则（米），在中由勾股定理得，解方程即可得到答案【详解】解：由题意知米，设旗杆的高度为x米，则（米），在中，由勾股定理得，解得，米.答；旗杆的高度为12米【变式2-2】（23-24八年级下吉林阶段练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米(1)求旗杆的高度；(2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，且小迪与旗杆的水平距离相等，即求小迪需要后退的距离的长度(结果保留根号)【答案】(1)旗杆的高度为米(2)小迪需要后退的距离的长度为米【分析】本题考查勾股定理的实际应用：（1）设旗杆的高度为米，根据系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，列出方程进行求解即可；（2）勾股定理求出的长，再用进行计算即可【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则绳子的长为米，由勾股定理，得：，解得：；即：旗杆的高度为米；（2）由（1）可知，绳子的长度为米，由题意，得：米，米，由勾股定理，得：米，米，（米）；答：小迪需要后退的距离的长度为米【变式2-3】（23-24八年级下湖北武汉期中）武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为15米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？(3)小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由【答案】(1)21.6米(2)8米(3)4.2米【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键（1）根据勾股定理求出的长即可得出结果；（2）设他应该往回收线米，根据勾股定理得出方程求解即可；（3）设收线的长度为米，根据勾股定理得出方程求解即可【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，（米），（米）；风筝的垂直高度为21.6米（2）解：设他应该往回收线米，根据勾股定理得，解得，答：他应该往回收线8米（3）解：设收线的长度为米，如图，则米，（米，米，根据勾股定理得，解得，答：收线的长度为4.2米考点三：应用勾股定理解决小鸟飞行的距离例3. （23-24八年级下新疆喀什期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米(1)求出的长度；(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离【答案】(1)米(2)小鸟下降的距离为米【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；（2）在中，根据勾股定理即可解答【详解】（1）由题意知，米，米在中米，（2）设，到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，则，在中，解得，小鸟下降的距离为米【变式3-1】（23-24八年级下浙江台州期中）如图，有两棵树，分别记为，其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离【答案】小鸟飞行的最短路程为10米【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接米，米，米，米，米，米，在中，(米)，故小鸟飞行的最短路程为10米【变式3-2】（2024八年级下全国专题练习）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米(1)求出的长度；(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离【答案】(1)15米；(2)米【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；（2）在中，根据勾股定理即可解答【详解】（1）由题意知，米，米在中 米，（2）设，到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，则，在中，解得，小鸟下降的距离为米考点四：应用勾股定理解决大树折断前的高度例4. （23-24八年级下西藏日喀则期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？【答案】8米【分析】本题考查了勾股定理的应用，据勾股定理，计算，后根据树高为计算即可【详解】如图：由题意得：，（米）答：根旗杆被吹断裂前高为8米【变式4-1】（23-24八年级下安徽蚌埠期中）九章算术是我国古代最重要的数学著作之