第08讲 难点探究专题：特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题【题型一 特殊平行四边形中折叠问题】例1（23-24九年级上陕西西安期末）如图，菱形的周长为8，点M为边的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当是直角三角形时，的长度为 【答案】或1【分析】根据菱形的周长为8，可得菱形的边长为2，根据翻折的性质可得，根据题意分两种情况进行讨论：当时，根据菱形的性质可得，从而得到，根据直角三角形的性质求得的值；当时，点E落在菱形对角线上，推出为等边三角形，从而得到的值【详解】解：菱形的周长为8，点M为的中点，由翻折可知，当时，菱形，；当时，则：点E落在菱形对角线上，点M为的中点，为折痕，此时于点E，为等边三角形，当或1时，是直角三角形故答案为：或1【点睛】本题考查了菱形的性质，翻折变换，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质解题关键是熟练掌握各个知识点【变式1-1】（23-24八年级上上海青浦期末）如图已知长方形中，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 cm【答案】3【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边求的长，应先设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长【详解】解：四边形是矩形，根据题意得：，设，则，在中由勾股定理得：，即，在中，由勾股定理可得：，即，即故答案为：3【变式1-2】（23-24八年级上山东青岛期末）如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为 【答案】/【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，解题的关键是【详解】解：四边形是边长为2的正方形，由折叠得点与点关于直线对称，垂直平分，四边形是矩形，故答案为：【变式1-3】（22-23八年级下江苏无锡期末）如图，在菱形中，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边、交于点、当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 【答案】 【分析】如图中，求出等边的高即可如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接证明，求出的最小值，可得结论【详解】解：如图中， 四边形是菱形，都是等边三角形，当点与重合时，是等边的高，如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接 ，四边形是矩形，的最小值为，的最大值为故答案为：，【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题【题型二 特殊平行四边形中旋转问题】例2.（23-24九年级上重庆合川期末）如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，则 【答案】 【分析】本题考查中心对称及旋转的性质，菱形的性质给出菱形的面积，结合的长即可解决问题【详解】四边形是菱形，令菱形的面积为，又，又由绕点D旋转得到，在中，故答案为：，（答案不唯一）【变式2-1】（23-24九年级上广西柳州期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（）A1B2CD【答案】C【分析】证明，得到，要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求出【详解】解：正方形，故要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，线段的最小值为故选：C【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键【变式2-2】（23-24九年级上福建莆田期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，求证：(1)(2)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据“”得到是解题关键（1）由平行线的性质可得，再证明，然后根据“”可得；（2）由全等三角形的性质得，等量代换可证【详解】（1）四边形是矩形，又，（2），【变式2-3】（23-24八年级上山东烟台期末）【问题呈现】四边形和都是正方形，直线，交于点P【问题解决】（1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明；【类比探究】（2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由；若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离_【答案】（1），证明见解析；（2）成立，见解析；【分析】（1）证明和全等，可得，即可求解；（2）证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解；连接根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解【详解】解：（1），证明如下：四边形和是正方形，点G在边AB上，点E，A，D三点在同一条直线上，在和中，；（2）成立，理由如下：如图，设交于点I，则，四边形和是正方形，在和中，；如图，连接，四边形是正方形，故答案为：【点睛】此题考查正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键【题型三 特殊平行四边形中最值问题】例3. （22-23九年级上四川成都期末）如图，在正方形中，是上的一点，且，是上的动点，且，连接，当的值最小时，的长为 【答案】【分析】本题考查了轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，过点作于，证明，推出，设，则，可得，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出直线的解析式即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键【详解】解：过点作于，则四边形是矩形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，则，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，时，的值最小，定值，当时，的值最小故答案为：【变式3-1】（22-23八年级上山东泰安期末）如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，G，H分别为，的中点，连接若，则的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题【详解】解：连接，如图所示：四边形是菱形，分别为，的中点，是的中位线，当时，最小，得到最小值，则，是等腰直角三角形，即的最小值为，故选：D【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型【变式3-2】（22-23八年级下河南驻马店期末）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，(1)求点C和点D的坐标(2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出，由四边形是菱形，则，在中，求出，即可得到点C和点D的坐标（2）点B，D关于直线对称设交于，连接，则，即则当点P和点重合时，的值最小在中，则，则，求出，即可得到点P的坐标【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，四边形是菱形，在中，则，（2）四边形是菱形，D关于直线对称设交于，连接，则，即当点P和点重合时，的值最小在中，则，即，【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、菱形的性质、轴对称的性质、点的坐标等知识，数形结合和准确计算是解题的关键【变式3-3】（22-23八年级下广东广州期末）如图，菱形中，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点(1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值；(2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值；(3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值【答案】(1)4(2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值(3)作图见解析，的最小值为6【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，利用三角形中位线定理即可求解；（2）由题可知，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值；（3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解【详解】（1）解：四边形是菱形，则，均为等边三角形，点为菱形对角线的交点，点为的中点，连接，为的中位线，也为的中位线，则，；（