压轴题解题模板02 反比例函数的综合问题目 录题型一 反比例函数与一次函数交点问题题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题题型三 反比例函数与几何图形结合题型解读：反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填空题的形式出现，解答题考查居多.此类题型多是反比例函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：求反比例函数的解析式；求交点坐标、图形面积；利用函数图象比较一次函数与反比例函数值的大小；反比例函数与几何图形综合.下图为反比例函数综合问题中各题型的考查热度.下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.题型一 反比例函数与一次函数交点问题解题模板：技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：【例1】（2023四川攀枝花统考中考真题）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)当为何值时，？【答案】(1)；(2)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可【详解】（1）解：将点代入，将代入，将和代入，解得：，；（2）解：根据图象可得，当时，的取值范围为：【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式求的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合【变式1-1】（2023湖南常德统考中考真题）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点(1)求m的值和反比例函数解析式；(2)当时，求x的取值范围【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式；（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可【详解】（1）将点代入得：解得：将代入得：（2）由得：，解得所以的坐标分别为由图形可得：当或时，【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质【变式1-2】（2023山东滨州统考中考真题）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点(1)求直线的解析式；(2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；(3)请直接写出关于的不等式的解集【答案】(1)(2)当或时，；当时，(3)或【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解；（3）根据函数图象即可求解【详解】（1）解：将点代入反比例函数，将点代入，将，代入，得解得：，（2），反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，当或时，当时，根据图象可得，综上所述，当或时，；当时，（3）根据图象可知，当时， 或【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题解题模板：【例2】（2023山东东营统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求的面积；(3)请根据图象直接写出不等式的解集【答案】(1)，；(2)9；(3)或【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论【详解】（1）点在反比例函数的图象上，解得：反比例函数的表达式为在反比例函数的图象上，解得，（舍去）点A的坐标为点A，B在一次函数的图象上，把点，分别代入，得，解得，一次函数的表达式为；（2）点C为直线与y轴的交点，把代入函数，得点C的坐标为，（3）由图象可得，不等式的解集是或【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键【变式2-1】（2023湖北黄冈统考中考真题）如图，一次函数与函数为的图象交于两点(1)求这两个函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标【答案】(1)，(2)(3)点P的坐标为或【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可【详解】（1）解：将代入，可得，解得，反比例函数解析式为；在图象上，将，代入，得：，解得，一次函数解析式为；（2）解：，理由如下：由（1）可知，当时，此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，即满足时，x的取值范围为；（3）解：设点P的横坐标为，将代入，可得，将代入，可得，整理得，解得，当时，当时，点P的坐标为或【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想【变式2-2】（2023四川乐山统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点(1)求m的值和一次函数的表达式；(2)已知P为反比例函数图象上的一点，求点P的坐标【答案】(1)(2)或【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）先求出，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，又点，都在一次函数的图象上，解得，一次函数的解析式为（2）解：对于，当时，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，解得点P的纵坐标为2或将代入得，将代入得，点或【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键【变式2-3】（2023四川巴中统考中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为(1)求反比例函数的表达式(2)观察图象，直接写出不等式的解集(3)将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可；（3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可；方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可【详解】（1）解：直线与双曲线交于A、B两点，A、B关于原点对称， ，在双曲线上，反比例函数的表达式为 ；（2），不等式的解集为：或 ；（3）方法一：连接，作轴于G，在直线上，直线的表达式为， ，直线CD的表达式为方法二：连接BF，作轴于，在直线上，直线的表达式为，设直线的表达式为，在直线上，直线的表达式为【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键【变式2-4】（2023四川统考中考真题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E(1)求k，m的值及C点坐标；(2)连接，求的面积【答案】(1)；(2)【分析】（1）把点代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出点C的坐标即可；（2）延长交x轴于点F，先求出平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出解析式，得出点F的坐标，根据求出结果即可【详解】（1）解：把点代入和得：，解得：，的解析式为，反比例函数解析式为，把代入得：，解得：，点C的坐标为；（2）解：延长交x轴于点F，如图所示：将直线沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：，联立，解得：，点，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，直线的解析式为，把代入得，解得：，点F的坐标为，【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标题型三 反比例函数与几何图形结合解题模板：【例3】（2023四川泸州统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐