第03讲：相似三角形【考点精讲】考点一：A字词型相似问题考点二：8型相似问题考点三：母子型相似问题考点四：旋转相似问题考点五：K字型相似问题考点六：三角形内接矩形相似问题考点七：相似三角形的动点问题考点八：相似三角形和其他知识交汇问题【题型精讲】题型一：A字词型相似问题1（2021山东临沂三模）如图，在ABC中，DEBC，若AE2，EC3，则ADE与ABC的面积之比为（）A4：25B2：3C4：9D2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADEABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【详解】解：AE=2，EC=3，AC=AE+EC=5，DEBC，ADEABC，故选：A【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键2（2020湖北武汉一模）如图，在中，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则 【答案】2【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，在中，又， ，在等腰直角三角形中，在中， ，又， ，即， ，又，又，又，故答案为：2【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案3（20-21九年级上吉林阶段练习）如图已知正方形DEFG的顶点D、E在ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上如果BC=4，ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是 【答案】【分析】过点A作AMBC于M，由ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长【详解】如图，过点A作AMBC于M，ABC的BC边上的高是3，AM=3，四边形DEFG是正方形，GD=FG,GFBC,GDAM，AGFABC，BGDBAM，GF=故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键题型二：8型相似问题4（2021山东聊城一模）如图，在平行四边形中，点是上的点，直线交于点，交的延长线于点，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】由，可以假设，则，证明，再利用平行线分线段成比例即可解决问题【详解】由，可以假设，则，四边形是平行四边形，故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题5（2020四川遂宁中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF2FD，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，证明ABAF2k，DFDGk，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题【详解】解：由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ABCD，AFBFBCDFG，ABFG，BE平分ABC，ABFCBG，ABFAFBDFGG，ABCD2k，DFDGk，CGCD+DG3k，ABDG，ABECGE，故选：C【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键6（2020安徽合肥一模）如图，在ABC中，BC6，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，CBP的平分线交CE于点Q，当CQCE时，EP+BP的值为（）A9B12C18D24【答案】C【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G首先证明PBPG，EP+PBEG，由EGBC，推出3，即可求出EG解决问题【详解】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G，EGBC，GGBC，GBCGBP，GPBG，PBPG，PE+PBPE+PGEG，CQEC，EQ3CQ，EGBC，EQGCQB，3，BC6，EG18，EP+PBEG18，故选：C题型三：母子型相似问题7（2020重庆沙坪坝一模）如图，在RtABC中，BAC90，BACA6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接当时，BC的长为（）ABCD【答案】D【分析】如图，连接CC，过点C作CHEC于H设AB交DE于N，过点N作NTEF于T，过点D作DMEC于M证明CCB=90，求出CC，BC即可解决问题【详解】解：如图，连接CC，过点C作CHEC于H设AB交DE于N，过点N作NTEF于T，过点D作DMEC于MFAE=CAB=90，EF：AF：AE=5：4：3，CHAF，EAFEHC，EC：CH：EH=EF：AF：AE=5：4：3，设EH=3k，CH=4k，EC=EC=5k，则CH =2k，由翻折可知，AEN=TEN，NAEA，NTET，NAE=NTE，NE=NE，NEANET（AAS），AN=NT，EA=ET，设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，在RtFNT中，FN2=NT2+FT2，（4mx）2=x2+（2m）2，解得：，AC=AB=，CAB=90，BC=AC=，CD=BD=，DMCM，DCM=45，CM=DM=，ANDM，EM=，EC=，CH=，CH=，CC=，DC=DC=DB，CCB=90，BC=，故选：D【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题8（2021江苏南通一模）如图，中，点，分别在，上，把绕点旋转，得到，点落在线段上若点在的平分线上，则的长为（）ABCD【答案】C【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明PQCBAC，再根据相似三角形的性质得出CPQ=B，由此可得出PQAB；连接AD，根据PQAB和点D在BAC的平分线上可证ADQ=DAQ，由此可得AQDQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程124x2x，解出x，即可求出CP【详解】解：在RtABC中，AB15，BC9，AC12，CC，PQCBAC，CPQB，PQAB；连接AD，PQAB，ADQDAB点D在BAC的平分线上，DAQDAB，ADQDAQ，AQDQPDPC3x，QC=4x在RtCPQ中，根据勾股定理PQ=5x.DQ2xAQ124x，124x2x，解得x2，CP3x6故选C【点睛】本题考查几何变换旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键9（2024浙江一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 【答案】【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值【详解】，四边形是正方形, ，又平分交于, ，,，在 和 中,， ，即 ，即 ,即 ，故答案为： 题型四：旋转相似问题10（2021广东佛山一模）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点(1)求证：；(2)如图2，如果，且，求的值；(3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值【答案】(1)见解析(2)(3)，或，【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题（2）延长交于点证明，可得，由，可得（3）因为与相似，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出接下来分两种情形分别求解即可【详解】（1）证明：如图1中，平分，同理，（2）解：延长交于点，平分，（3）与相似，中必有一个内角为是锐角，当时，此时当时，与相似，此时综上所述，【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题11（22-23九年级上河南周口期末）在中，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，.(1)观察猜想如图，当时，的值是_，直线与直线相交所成的较小角的度数是_(2)类比探究如图，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图的情形说明理由【答案】(1)1，；(2)，理由见解析【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果；(2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得，即可证得，如图中，设直线交于G，交于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果【详解】（1）解：，与都是等边三角形，在与中，；设与的延长线交于点I，如图，直线与直线相交所成的较小角的度数为；（2）解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为，理由如下：，同理可得：，.，即，设交于点G，交于点H，如