专题06 圆中的相关证明及计算 目 录题型01 圆中的角度和线段计算问题题型02 垂径定理的实际应用题型03 与圆有关的弧长、扇形面积计算题型04 利用弧长、扇形公式解决实际问题题型05 求弓形面积或不规则图形面积题型06 正多边形与圆的相关计算题型07 与圆有关的位置关系题型08 切线的判定题型09 三角形内切圆、外接圆的相关计算题型10 三角形内切圆与外接圆的综合题型11 四点共圆题型12 圆幂定理题型13 阿基米德折弦定理题型14 圆与相似综合题型15 圆与三角函数综合（时间：60分钟）题型01 圆中的角度和线段计算问题1（2024四川泸州一模）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为（）A BC D【答案】B【分析】连接、，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，进而求出，根据余弦的定义计算，得到答案【详解】解：如图，连接、，过点作于点，则，为等边三角形，故选：B【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质、余弦的定义，掌握圆周角定理是解题的关键2（2022河北衡水模拟预测）如图，点A，B，C在上，连接并延长，交于点，连接，若，下列结论不正确的是（）AB直线垂直平分CD【答案】D【分析】根据圆周角定理可得，从而根据三角形内角和求出，A选项即可判断；根据平行的性质及圆周角定理设，则，根据三角形内角和即可求出的值，从而求出，从而可判断C、D选项；延长交于点，根据对顶角相等可得到，从而求出，再结合垂径定理可判断出与的关系，即可判断出选项B【详解】解：如图，延长交于点， 是的直径，故A选项正确，不符合题意；，设，则， ， 故D选项不正确，符合题意；，；故C选项正确，不符合题意；根据对顶角相等可得：，是圆心，直线垂直平分；故B选项正确，不符合题意故选：D【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、三角形内角和等，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理3（2023山东青岛二模）如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（）ABCD【答案】D【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果【详解】解：连接，分别切圆于、，是圆的直径， 故选：D4（2022山西大同一模）如图，是的直径，、分别切于点B、C，若，则的度数是 ；【答案】/50度【分析】连接，由切线长定理证明，再求得，最后由三角形的内角和定理求得的度数【详解】解：连接， 、分别切于点B、C， ， ，是的直径， ， ，；故答案为50【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理等知识，综合性强，难度一般题型02 垂径定理的实际应用5（2023河北石家庄模拟预测）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具如图，半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B、长为4m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒（用点表示）若以某个盛水筒（点P）刚浮出水面时开始计算时间(1)设点D为盛水筒在运行中的最高点，请在图中画出线段，用其长度表示盛水筒到水面的最大距离（不说理由），并求最大距离约为多少米（结果保留小数点后一位）；(2)筒车每秒转 ， ；(3)浮出水面2.6秒后，盛水筒（点P）距离水面多高？（参考数据：，）【答案】(1)作图见解析，最大距离为5.2米(2)5，43(3)0.7米【分析】（1）如图1，过点作于，交于，连接，由垂径定理得，由题意知，由勾股定理得，根据，计算求解即可；（2）由题意知，每分钟转的弧长为，由，解得，则每秒钟转，由，可求的值；（3）由题意知，则，如图2，连接，过作于，于，则四边形是矩形，则，进而可求浮出水面2.6秒后，盛水筒（点P）距离水面的高度【详解】（1）解：如图1，过点作于，交于，连接，由垂径定理得，由题意知，由勾股定理得，（m），最大距离约为5.2米；（2）解：由题意知，每分钟转的弧长为，解得，每秒钟转，故答案为：5，43；（3）解：由题意知，如图2，连接，过作于，于，则四边形是矩形，（m），（m），浮出水面2.6秒后，盛水筒（点P）距离水面0.7米【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，正弦，余弦，矩形的判定与性质解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用6（2023广东佛山三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图中），已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是_；(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图），若水面宽，拱顶P（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式；(3)如图，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度【答案】(1)25(2)(3)此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为【分析】（1）设所在圆的圆心为点，连接，则，再设这条桥主桥拱的半径是，则，然后在中，利用勾股定理求解即可得；（2）以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，则，再利用待定系数法求解即可得；（3）根据（1）可得，利用勾股定理可求出的长，再利用垂径定理即可得此时桥的水面宽度；根据（2）的结论求出时，的值，由此即可得此时桥的水面宽度【详解】（1）解：如图，设所在圆的圆心为点，连接，由垂径定理得：点共线，则，设这条桥主桥拱的半径是，则，在中，即，解得，故答案为：25（2）解：如图，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，由题意得：，则设桥拱抛物线的解析式为，将点代入得：，解得，所以桥拱抛物线的解析式为（3）解：如图，桥中，由（1）可知：，由题意得：，在中，由垂径定理得：，即此时桥的水面宽度为；如图，桥中，当时，解得或，所以此时桥的水面宽度为，答：此时桥的水面宽度为，桥的水面宽度为【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键7（2023宁夏中卫二模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域（单位：海里）(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东，同时在监测点O测得C位于南偏东，求监测点O到C船的距离（结果精确到整数，参考数据：，）(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答【答案】(1)海里(2)不会，见详解【分析】（1）过点C作轴于点D，设，则，在中，解直角三角形求得x，进而求得；（2）由（1）知，根据三角函数的定义得到，过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，过点作于点F，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论【详解】（1）解：过点C作轴于点D，依题意，得，设，则，在中，即，所以监测点O到C船的距离为海里；（2）解：不会，计算如下：由（1）知，过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，过点作于点F，则四边形是矩形，由已知得，线段是的直径，直线与相离，C船不会闯入安全警戒区域【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、直线与圆的位置关系熟练掌握垂径定理以及锐角三角函数的知识是解题关键8（2023河北石家庄模拟预测）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知仪器在A处测得点D的仰角为，水深（点D到河底线的距离）(1)求的大小及的长；(2)受暴雨影响，水面以平均每小时的速度升高，若不及时进行开闸泄洪，则经过多长时间水面将淹没整个桥洞？（参考数据：取4）【答案】(1)，(2)6小时【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求出，连接，解和，求出，再由求解即可；（2）过O作，与交于点E，与半圆O交于点F求出，即可求出结论【详解】（1）的长表示点D到河底线的距离， 连接，是直径，且，即的长为；（2）如图，过O作，与交于点E，与半圆O交于点F ，（小时）即经过6小时水面将淹没整个桥洞【点睛】本题主要考查了解直角三角形以及圆周角定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键题型03 与圆有关的弧长、扇形面积计算9（2023贵州黔东南二模）如图，在平行四边形中，以为直径的恰好经过点，交于点，当点为的中点时，下列结论错误的是（）A平分BCD的长为【答案】B【分析】本题考查了圆的相关计算，根据平行四边形的性质和判定、圆周角定理、弧长公式和扇形面积公式计算即可，熟练掌握弧长公式和扇形面积公式是解此题的关键【详解】解：如图，连接、，作于，点为的中点，平分，故A正确，不符合题意；四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意；，故B错误，不符合题意；，故D正确，符合题意；故选：B10（2023广东东莞三模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，斜边长为三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 【答案】【分析】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据三角形内角和和含度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可【详解】解：， ，三角板绕直角顶点顺时针旋转，点落在边上，为等边三角形，弧的长度，即点所转过的路径长故答案为：11（2023吉林长春二模）如图，边长为1的正方形的顶点A在扇形的半径上，点BC在上，点D在上，若，则扇形的面积为 【答案】【分析】本题考查了正方形的性质和扇形的面积计算