压轴题01 二次函数图象性质与几何问题目 录题型一 二次函数与最值问题题型二 二次函数与图形面积问题题型三 二次函数与图形判定问题类型一 与特殊三角形相关类型二 与特殊四边形相关二次函数图象性质与几何问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想.此类题型常涉及以下问题：求抛物线、直线的解析式；求点的坐标、线段长度、图形面积；探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题.下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.题型一 二次函数与最值问题解题模板： 【例1】（2023枣庄节选）如图，抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D（0，2），连接DM，DH，MH+DHMH+DHDM，即MH+DH的最小值为DM，利用两点间距离公式即可求得答案；【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），C（0，3）两点，解得：，该抛物线的表达式为yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，顶点M（1，4），设直线AM的解析式为ykx+d，则，解得：，直线AM的解析式为y2x+2，当x0时，y2，D（0，2），作点D关于x轴的对称点D（0，2），连接DM，DH，如图，则DHDH，MH+DHMH+DHDM，即MH+DH的最小值为DM，DM，MH+DH的最小值为；【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键【变式1-1】（2023内蒙古节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）先求直线AC的解析式，设P（t，t22t+3），则D（t，0），E（t22t，t22t+3），可得PD+PE2（t+）2+，当t时，PD+PE取最大值，此时P（，）；【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入yx2+bx+c得：，解得，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）在yx22x+3中，令y0得0x22x+3，解得x3或x1，A（3，0），由A（3，0），C（0，3）得直线AC解析式为yx+3，设P（t，t22t+3），则D（t，0），E（t22t，t22t+3），PD+PEt22t+3+（t22t）t2t25t+32（t+）2+，20，当t时，PD+PE取最大值，此时P（，）；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键【变式1-2】（2023眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；【分析】（1）运用待定系数法，将点A（3，0），B（1，0），C（0，3）代入yax2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为yx+3，过点P作PEx轴交直线AC于点E，设P（t，t22t+3），则E（t22t，t22t+3），可得PEt22ttt23t，由PEx轴，得EPDABD，进而得出（t+）2+，再运用二次函数的性质即可求得答案；【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），解得：，该抛物线的解析式为yx22x+3；（2）设直线AC的解析式为ykx+n，则，解得：，直线AC的解析式为yx+3，过点P作PEx轴交直线AC于点E，如图，设P（t，t22t+3），则E（t22t，t22t+3），PEt22ttt23t，A（3，0），B（1，0），AB1（3）4，PEx轴，EPDABD，（t+）2+，0，当t时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（，）；【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PMCM为解题关键【变式1-3】（2023西宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x1（1）求直线l的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PCx轴，垂足为C，交直线1于点D，过点P作PMl，垂足为M求PM的最大值及此时P点的坐标【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）根据抛物线的对称轴是直线x1，可设ya（x1）2+k，利用待定系数法即可求得答案；（3）由PCA90，OAB45，可得PDMADC45，利用解直角三角形可得PMPD，设点P（t，t2t6），则D（t，t6），可得PDt6（t2t6）t2+t（t3）2+，利用二次函数的性质即可求得答案【解答】解：（1）设直线l的解析式为ymx+n（m0），直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，6），解得：，直线l的解析式为yx6；（2）设抛物线的解析式为ya（xh）2+k（a0），抛物线的对称轴是直线x1，ya（x1）2+k，抛物线经过点A，B，解得：，抛物线的解析式为y（x1）2；（3）A（6，0），B（0，6），OAOB6，在AOB中，AOB90，OABOBA45，PCx轴，PMl，PCAPND90，在RtADC中，PCA90，OAB45，ADC45，PDMADC45，在RtPMD中，PMD90，PDM45，sin45，PMPD，y（x1）2x2x6，设点P（t，t2t6），D（t，t6），PDt6（t2t6）t2+t（t3）2+，0，当t3时，PD有最大值是，此时PM最大，PMPD，当t3时，t2t6936，P（3，），PM的最大值是，此时点P（3，）【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形等，本题难度适中，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题关键题型二 二次函数与图形面积问题解题模板：技巧精讲：表示图形面积的方法【例2】（2023娄底）如图，抛物线yx2+bx+c过点A（1，0）、点B（5，0），交y轴于点C（1）求b，c的值（2）点P（x0，y0）（0x05）是抛物线上的动点当x0取何值时，PBC的面积最大？并求出PBC面积的最大值；【分析】（1）由抛物线过点A，B，可直接得出抛物线的表达式为：y（x+1）（x5），展开即可得出结论；（2）过点P作PDx轴，交线段BC于点D，则SPBCOBPD，根据二次函数的性质可得结论；（2）由题意可知PFPE，若PEF是等腰直角三角形，则PEPF，分别表达PE及PF，可求出x0的值，进而求出点P的坐标【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c过点A（1，0）、点B（5，0），抛物线的表达式为：y（x+1）（x5）x24x5，b4，c5；（2）由（1）得，抛物线的解析式为：yx24x5，令x0，则y5；C（0，5）直线BC的表达式为：yx5，P（x0，4x05），如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，则D（x0，x05），SPBCOBPD5（x05+4x0+5）+x0（x02.5）2+，当x02.5时，S的值取最大，最大值为；【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大【变式2-1】（2023怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx8与x轴交于A（4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标；【分析】（1）运用待定系数法，将A（4，0）、B（2，0）代入yax2+bx8，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y2x8，设P（t，t2+2t8），过点P作PFy轴，交AC于点F，则F（t，2t8），进而可得SPACSPAF+SPCF2（t24t）2（t+2）2+8，运用二次函数的性质即可求得答案；【解答】（1）解：抛物线yax2+bx8与x轴交于A（4，0）、B（2，0）两点，解得：，抛物线的函数表达式为yx2+2x8，yx2+2x8（x+1）29，抛物线的顶点坐标为（1，9）；（2）解：抛物线yx2+2x8与y轴交于点C，C（0，8），设直线AC的解析式为ymx+n，则，解得：，直线AC的解析式为y2x8，设P（t，t2+2t8），过点P作PFy轴，交AC于点F，如图，则F（t，2t8），PF2t8（t2+2t8）t24t，SPACSPAF+SPCFPF（t+4）+PF（t）2PF2（t24t）2（t+2）2+8，20，当t2时，SPAC