专题04 多边形知识点 1 ： 三角形的重要线段重要线段概念图形性质三角形的高从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）AD是ABC中BC边的高ADB=ADC=90三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线AD是ABC中BC边的中线BD=CD SABD=SADCCACDCABD=ACAB三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线AD是ABC中BAC的角平分线BAD=DAC=12 BAC三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线DE是ABC的中位线AD=DB AE=ECDE=12 BC DEBC知识点2： 三角形的性质三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边推论：三角形的两边之差小于第三边三角形三边关系定理及推论的应用：1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|cab3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用：1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角知识点3： 多边形的相关概念多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n2)个三角形，n边形的对角线条数为n(n3)2多边形内角和定理：n边形的内角和为(n2)180（n3）.【解题技巧】1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180.2）任意多边形的内角和均为180的整数倍.3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：已知多边形的边数求内角和；已知多边形的内角和求边数；已知足够的角度条件下求某一个内角的度数多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360，与多边形的形状和边数无关.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.【解题技巧】1）正n边形的每个内角为（n2）180n，每一个外角为360n2）正n边形有n条对称轴3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形题型归纳【题型1 等面积法求高】 1（23-24八年级上内蒙古呼伦贝尔阶段练习）如图，在中， (1)画出中边上的高；(2)求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键（1）根据三角形的高定义作图即可（2）因为，所以是直角三角形，根据等面积法即可求出的长【详解】（1）（2）解：，2（21-22八年级上广西南宁期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法(1)如图1，在中，则长为 ；(2)如图2，在中，则的高与的比是 ；(3)如图3，在中，点D，P分别在边上，且，垂足分别为点E，F若，求的值【答案】(1)(2)(3)5【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握利用等面积法求线段的长是解题的关键（1）根据题意可得，即可求解；（2）根据题意可得，即可求解；（3）根据可得，再由，可得，即可求解【详解】（1）解：在中，；故答案为：；（2）解：，；故答案为：；（3）解：，且，又，即3（23-24八年级上广西南宁期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法(1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则_(2)如图1，若，是斜边上的高线，用等面积法求的长(3)如图2，在等腰三角形中，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，正确理解“等面积法”并正确的识别图形是解题的关键（1）直接运用三角形面积公式即可解答；（2）直接运用（1）的结论进行解答即可；（3）根据三角形的面积公式计算即可解答【详解】（1）解：故答案为（2）解：由（1）可得：，则，解得：（3）解： ，【题型2 利用三角形的中线求面积】4（23-24九年级上广西南宁期中）阅读理解：已知三角形的中线具有等分三角形面积的性质，即如图，是中边上的中线，则，理由：，即：等底同高的三角形面积相等回答下列问题：(1)如图，点分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为_；(2)如图，已知四边形的面积是分别是的中点，点是四边形内一点，求出图中阴影部分的面积【答案】(1)12(2)【分析】本题主要考查了中线与三角形的面积关系应用：（1）根据等底同高的三角形面积相等，可知道，阴影部分的面积为三个三角形，这三个三角形面积相等，于是得到结果（2）连接，根据等底同高的三角形面积相等，可求出结果【详解】（1）连接，同理可得：，阴影部分的面积为，故答案为：12；（2）连接，是边的中点，同理，图中阴影部分的面积四边形的面积5（22-23七年级下江苏盐城期中）典型题例：（1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）迁移应用：（3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：；（4）如图4，的三条中线，相交于点，请你写出所有与面积相等的三角形；写出与的数量关系式，并说明理由；拓展应用；（5）设的面积为a，如图将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；，以此类推，若，则a的值为_【答案】（1）；理由见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）与面积相等的三角形有，；，理由见解析；（5）27【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键（1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，即可求出结果；（2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可（3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论；（4）根据三角形的中线的性质、结合图形判断；根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明；（5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得【详解】解：（1）；理由见如下：过点A作于点H，如图所示：是的中线，；（2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：，；方法二：取、的中点E、D、F，连接、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：D为的中点，同理得：，；（3）是的中线，则，同理，；（4）；与面积相等的三角形有，；，理由如下：，；（5）在图中，连接，设，则，解得；在图中，连接、，则，设，则，解得；在图中，连、，则，设，则，解得，由可知，解得故答案为：27【题型3 与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题】 6（23-24七年级上吉林长春期末）【问题原型】如图，已知，试说明【解法1】下面是小京的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据：如图，连结在中，（_），（已知）（_）（等量代换）【解法2】下面是小开的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据：如图，作（已知）（_），（_）同理，【方法应用】如图，当点P在此位置时，试判断的数量关系请你参考小开的解法，利用内错角来说明你的结论【问题探究1】如图，点P在和之间，直接写出的数量关系为_【问题探究2】如图，点P在直线的下方，直接写出，的数量关系为_【答案】解法1：三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补；解法2：平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；方法应用：，理由见解析；问题探究1：；问题探究2：【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；解法1：结合图形，根据证明过程填写即可；解法2：结合图形，根据证明过程填写即可；方法应用：过点P作，延长到R，延长到Q，首先证，根据平行线的性质得，则，再根据平角的定义得，据此即可得出、的数量关系；问题探究1：过点P作，先证，再根据平行线的性质得，进而得，据此即可得出、的数量关系；问题探究2：设与交于点H，先由得，再根据三角形外角性质得，据此即可得出的数量关系【详解】解法1：如图，连结在中，（三角形内角和定理） ，（已知）（两直线平行，同旁内角互补）（等量代换）故答案为：三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补；解法2：如图，作（已知）（平行于同一直线的两条直线互相平行），（两直线平行，内错角相等）同理，故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；方法应用：、的数量关系为：，证明如下：过点P作，延长到R，延长到Q，如图所示：，即；问题探究1：过点P作，如图所示：，即；故答案为：问题探究2：设与交于点H，如图所示：，是的一个外角，故答案为：7（2023