专题02 一次函数与几何图形综合九种常见题型解题技巧题型01一次函数中面积问题题型02 一次函数中等腰三角形的存在性问题题型03 一次函数中直角三角形的存在性问题题型04 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题题型05 一次函数中平行四边形存在性问题题型06一次函数中矩形的存在性问题题型07 一次函数中菱形的存在性问题题型08 一次函数中正方形的存在性问题题型09一次函数中最值问题题型01 一次函数中面积问题处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：1.铅锤法求三角形面积2.知底求高、转化线段；3.图形割补、面积和差；4.平行交轨、等积变换。题型02一次函数中等腰三角形的存在性问题动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例：1、代数法（1）设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标.（2）利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.（3）分类讨论：AB=BC,BC=CA,AB=AC.（4）列出方程求解题型03 一次函数中直角三角形的存在性问题若ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：A=90，B=90，C=90，然后利用勾股定理解题。题型04 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题对于等腰直角三角形的存在性问题,不论是给出一个定点,还是两个定点,关键是找出一条核心线段,以这条线段两侧补全等腰直角三角形(或补正方形),区分这条线段是作为直角三角形的直角边还是斜边,再利用“K型图”全等求出线段长,进而表示出相应的点坐标,有时需要结合函数的性质及图形的特征,注意分类时,要不重不漏.方法小结:几何法:分类、画图、计算;代数法：罗列三边长、分类列方程、解方程并检验.题型05 一次函数中平行四边形存在性问题在解决一次函数背景下的平行四边形的存在性问题，我们需要首先先厘清平行四边形的性质： 1、平行四边形的对边平行且相等； 2、平行四边形的对角线互相平分。总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意题型06一次函数中矩形的存在性问题矩形的判定定理有3条：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；3个角是直角的四边形是矩形。 判定对应在坐标系中就是使用勾股定理，这样的计算过程比较复杂，因此判定不做为选择的方法。 矩形的存在性问题的题型往往是“两定点+一个半动点+一个全动点”，以边和对角线进行分类讨论。当两定点所在线段为矩形的对角线时，往往利用判定画出图形，利用矩形对角线得对角线互相平分且相等来做；当两定点所在线段为矩形的一边时，往往利用判定画出图形，利用勾股定理或锐角三角比解决问题。我们的解题思路是“先Rt再平四”，即选择半动点构造直角三角形，利用平行四边形的对称性求出全动点坐标。题型07 一次函数中菱形的存在性问题1 菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2解题思路： （1）思路 1：先等腰，再菱形 在构成菱形的 4 个点中任取 3 个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确 定第 3 个点，再确定第 4 个点 （2）思路 2：先平行，再菱形 设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD 为对角线），再结合一组邻 边相等，得到方程组方法总结： 菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。题型08 一次函数中正方形的存在性问题一、判定方法正方形由于其特殊性(四个角是直角及四边相等)，往往通过构造一线三等角模型，利用三角形全等求出点坐标。常见的题型也是“两个顶点+一个半动点+一个全动点”。二、构造模型 如左图，ABC为等腰直角三角形，利用平行四边形的对称性，可以求出第四点坐标；如右图，AED为等腰直角三角形，利用平行四边形的对称性，可以求出第四点坐标。因此，正方形的存在性问题就是利用构造的全等三角形求出点的坐标。题型09一次函数中最值问题（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型题型归纳题型01一次函数中面积问题【例1】（23-24八年级下黑龙江哈尔滨期中）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点， (1)如图1， 求点 A坐标；(2)如图2，点C为x轴正半轴上一点，连接，若点C的横坐标为t，设 的面积为S，用含有t的式子表示S；(3)如图3， 在（2）的条件下， 点D在BA的延长线上， 点E在BC上， 连接交x轴于点F， 点G在第一象限的直线AB上，连接，若，求四边形的面积【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了勾股定理，一次函数，全等三角角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，以及正确作出辅助线，构造全等三角形（1）根据勾股定理求出，即可得出点A的坐标；（2）先得出，则，最后根据，即可解答；（3）取中点M， 连接，在上截取，连接，根据中位线定理得出，进而求证，通过证明得出，则，即可解答【详解】（1）解，在中， ，（2）解：点C的横坐标为t，（3）解：取中点M， 连接，在上截取，连接， ，点M为中点，又， ， 【变式1-1】（23-24八年级下四川成都期中）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点(1)直接写出正比例函数的表达式；若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；(2)在（1）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键（1）直接利用待定系数法求正比例函数解析式即可；先根据的面积为的面积的倍得出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）作点A关于y轴的对称点，连接，由对称可得平分，先求出直线的解析式，再求直线与直线的交点坐标即可【详解】（1）解：正比例函数的图象经过点，解得，正比例函数的表达式为：；的面积为的面积的倍，把，代入，得，解得，一次函数的表达式为：；（2）解：如图，作点A关于y轴的对称点，连接，由对称可知，即平分，平分，由对称可知，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，令，解得，【变式1-2】（23-24八年级下内蒙古期中）如图，直线分别交x轴，y轴于点，直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知(1)求直线的表达式；(2)求的面积；(3)直接写出时，x的取值范围【答案】(1)(2)5(3)【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：（1）利用待定系数法求直线的表达式；（2）分别求出A，C，E点坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）观察函数图象，直线在直线的上方时对应的点的横坐标的范围，即为所求【详解】（1）解：根据题意得，解得，直线的表达式为；（2）解：，把代入得，解得，联立，解得，又，；（3）解：由（2）知，观察函数图象得，当时，函数的图象在函数的图象上方，所以，时，x的取值范围是题型02 一次函数中等腰三角形的存在性问题【例2】（23-24八年级下内蒙古呼和浩特期中）如图，在四边形中，延长到，使，连接，由直角三角形的性质可知动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒 (1)当时， (2)当 时，点运动到的角平分线上；(3)请用含的代数式表示的面积；(4)当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，说明理由【答案】(1)(2)当时，点运动到的角平分线上(3)(4)当或或时，为等腰三角形【分析】本题考查了角平分线的定义、矩形的判定与性质、等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键（1）根据题意可得，进而即可得出答案；（2）作的角平分线交于，证明出，得出，求出，得出，求解即可；（3）分三种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；当点在上运动时；分别利用三角形面积公式求解即可；（4）分三种情况：当时；当时；当时；分别建立方程求解即可【详解】（1）解：当时，；（2）解：如图，作的角平分线交于，则，四边形为矩形，解得：，当时，点运动到的角平分线上，（3）解：当点在上运动时，；当点在上运动时，；当点在上运动时，；综上所述，；（4）解：，由题意得：，则为等腰三角形，当时，即，解得：；当时，即，解得：；当时，解得：；综上所述，当或或时，为等腰三角形【变式2-1】（23-24八年级下广东佛山期中）综合应用如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与一次函数的图象于点C(1)A点的坐标是 ，B点的坐标是 (2)若不等式的解集是连接，求的面积；若一次函数的图象与x轴交于点D，当是以为腰的等腰三角形时，求直线的表达式【答案】(1)，(2)；或或【分析】本题考查了一次函数综合知识，难度适中，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用（1）由一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，可求A、B两点的坐标；（2）由不等式的解集是，可得点的横坐标为1，再根据点在得点的坐标为，即可求解；分两种情况讨论：当时，当时，分别求解【详解】（1）一次函数的图象与轴交于点B，令时，令时，解得：，故答案为：，（2）由不等式的解集是，可得当时，函数的函数值大于函数的函数值；点的横坐标为1，把点的横坐标为1代入得，点的坐标为，的面积当时，一次函数的图象经过点与，解得，一次函数的表达式为；当时，或，一次函数的图象经过点与，解得，一次函数的表达式为；一次函数的图象经过点与，解得，一次函数的表达式为；综上所述直线表达式为或或【变式2-2】（23-24八年级下湖南衡阳期中）如图1，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与正比例函数的图象交于点，将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点(1)求、的长度和点的坐标；(2)如图2，点是轴上一动点，当最小时，求点的坐标；(3)若