专题13 二次函数性质压轴目 录题型01 待定系数法求二次函数解析式题型02 二次函数的图象与性质题型03 二次函数图象与各项系数的关系题型04 根据二次函数的对称性求解题型05 利用二次函数的性质求最值题型06 二次函数与坐标轴交点问题题型07 二次函数与不等式题型08 二次函数中的平移、翻折、旋转问题题型09 函数图象判断综合题型10 二次函数与实际问题（时间：60分钟）题型01 待定系数法求二次函数解析式1（2024广东佛山一模）二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A，B两点(1)若A，B两点坐标分别是(1,0)，(6,0)，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；(2)若该二次函数的最小值为4，求bc的最大值【答案】(1)y=x25x6，x=52；(2)bc的最大值是5【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的构建二次函数，再利用二次函数的性质解决问题即可（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y=(xx1)(xx2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，从而可得答案；（2）由二次函数的性质可得c=14b24，再建立bc与b的函数关系式即可求出其最大值【详解】（1）解：二次函数y=x2+bx+c过点(1,0)、(6,0)，y=(x+1)(x6)=x25x6，即y=x25x6抛物线的对称轴为直线x=b2a=52（2）y=x2+bx+c，当x=b2时，函数取最小值最小值为y=14b212b2+c=4，c=14b24，bc=b14b24=14b2+b+4，当b=1214=2时，bc有最大值，最大值为1422+2+4=1+2+4=5， bc的最大值是52（2023浙江宁波模拟预测）如图所示，已知拋物线，y=x2+bx+c经过原点O，且与x轴交于点A4,0(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)若抛物线向上平移m（m0）个单位长度后，平移后的顶点到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围【答案】(1)y=x24x，顶点坐标为2,4(2)1m0）个单位长度后，抛物线的解析式为y=x224+m，可得新抛物线的顶点坐标为2,4+m，新抛物线的顶点到x轴距离为4+m，平移后的顶点到x轴距离小于3， 4+m3，解得：1m73（2024河南周口一模）如图，抛物线y=12x2+bx+c经过A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，点G为抛物线的顶点，(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；(2)连接AC，将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出m的取值范围【答案】(1)抛物线的解析式为 y=12x2+x+32，G点坐标为1,2；(2)2m4【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象的交点问题，关键是让线段AC运动起来，找到临界值（1）由A、B点坐标1，0和3，0，求抛物线的解析式，用配方法求顶点的坐标；（2）找到与抛物线有交点时的临界值，一个是平移后C的纵坐标为32，一个是A与B重合【详解】（1）解：抛物线 y=12x2+bx+c经过A(1,0)、B(3,0)两点,1212b+c=0,1232+3b+c=0.b=1,c=32.抛物线的解析式为 y=12x2+x+32.y=12x2+x+32=12x12+2,抛物线顶点G的坐标为(1,2).（2）解：把 y=32代入 y=12x2+x+32,整理得 x2x=0,解得x1=0,x2=2,点C关于抛物线对称轴的对应点D 的坐标为 2,32.如图所示, 过点D作DEAC交AB 于点E,过点 B 作 BFAC 交 CD的延长线于点F,当线段AC 向右平移到DE 与FB之间时，AC 与抛物线只有一个交点，此时CD=2, CF=AB=31=4,当线段AC向右水平移动m个单位长度，与抛物线只有一个交点时，m的取值范围是2m4题型02 二次函数的图象与性质4（2024江苏淮安一模）在平面直角坐标系xOy中，点Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线y=x22tx+1上任意两点(1)求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；(2)当x=1，x2=2时，y1y2，求t的取值范围；若对于1x10，1x22，都有y1y2，则t的取值范围为 【答案】(1)t(2)t12 ；t0【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系.（1）直接利用对称轴x=b2a即可求解（2）先分别求出y1，y2，然后根据y1y2即可求出t的取值范围先分别求出y1，y2，然后作差得出关于x1和x2的关系式，再根据已知条件得出，x1x20，0x1+x22，即可求解t得取值范围【详解】（1）解：对称轴为：直线x=b2a=2t21=t；（2）当x1=1时，y1=122t1+1=2+2t，当x2=2时，y2=222t2+1=54t，y1y2，2+2t54t，解得：t12点Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线y=x22tx+1上任意两点，y1=x122tx1+1，y2=x222tx2+1，y1y2=x122tx1+1x222tx2+1=x122tx1+1x22+2tx21，=x12x222tx1x2=x1x2x1+x22t1x10，1x22，x1x20 ，1+1x1+x20+2，0x1+x22，y1y2，y1y20，即x1x2x1+x22t0 ，即x1+x22t，0x1+x22，2t0，t0，故答案为：t05（2023云南保山模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx5a经过点A，将点B向右平移6个单位长度，得到点C(1)求抛物线的对称轴；(2)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求出a的取值范围【答案】(1)x=2(2)a27或a0或a0时，如下，图象开口向上，x=0时，y=5a，x=6时，y=36a24a5a=7a，5a27a2，解得：a27；a27时，抛物线与线段BC恰有一个公共点；当a27a2，a25，a25时，抛物线与线段BC恰有一个公共点；当抛物线的顶点在线段BC上时，如图，则抛物线顶点为2,2，将点2,2代入y=ax24ax5a，得：2=4a8a5a，解得：a=29；综上，当a27或a25或a=29时，抛物线与线段BC恰有一个公共点【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了一次函数与坐标轴交点，点的平移，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，学会利用分类讨论的思想求解问题6（2024浙江一模）在二次函数y=x2+ax+1中a0，(1)当a=2时，求该二次函数图象的顶点坐标；当0x3时，求y的取值范围；(2)若Aa2,b，Ba,c两点都在这个二次函数的图象上，且bc，求a的取值范围【答案】(1)1,2；2y2(2)0a2【分析】本题考查了二次函数图像的知识点（1）将a代入即可求出顶点，再根据二次函数的特点即可求解；（2）求出二次函数的对称轴，再分情况讨论即可【详解】（1）解：把a=2代入得y=x2+2x+1=x12+2，抛物线的顶点坐标为1,2；当0x1时，y随x的增大而增大，当1x3时，y随x的增大而减小，当x=1时，y有最大值2，当x=0时，y=1；当x=3时，y=2，当0x3时，2y2；（2）抛物线的对称轴为直线x=12a，当a212aa，即0a4时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离a12a12aa2，解得a2，0aa，即a0时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，12aa12aa2成立，a0，对称轴在点A左侧不合题意，舍去综上所述，0a27（2024浙江杭州模拟预测）顶点为D的二次函数y=ax2+bx+ca0满足以下三个条件的任意两个：其与y轴的交点为0，1；其与x轴的交点为1，0和3，0；该函数其最大值为12(1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式；(2)若存在直线y=1，二次函数上的存在一个点A，使得AD等于A到直线的距离，求出A点的坐标【答案】(1)y=13x2+23x+1(2)1+72323，4369或172323，4369【分析】本题考查的重点是利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握点和直线，两点间距离公式（1）选择任意两个条件用待定系数法，就可以求出函数的表达式；（2）根据函数的表达式，计算出点D的坐标，利用点和直线，两点间距离公式就可以计算出点A的坐标【详解】（1）解：选择条件和，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点为0，1c=1，二次函数与x轴的交点为1，0和3，0；将点1，0和3，0代入函数，ab