第12章 动荷载 交变荷载12.1 12.1 概述概述 动荷载问题通常仍使用静荷载问题的计算公式动荷载问题通常仍使用静荷载问题的计算公式 ，但需作相应的动荷修正，即但需作相应的动荷修正，即式中式中: : d是是动荷应力动荷应力, , st为为静荷应力静荷应力, ,Kd为为动荷因数动荷因数。故处理动荷问题的关键是寻找正确的故处理动荷问题的关键是寻找正确的Kd。 动荷载动荷载：随时间作急剧变化的荷载以及作加速运：随时间作急剧变化的荷载以及作加速运动或转动的系统中构件的惯性力。动或转动的系统中构件的惯性力。 构件在交变应力作用下，其内部裂纹形成并扩构件在交变应力作用下，其内部裂纹形成并扩展，直至构件断裂的过程称为展，直至构件断裂的过程称为疲劳疲劳。构件破坏所经。构件破坏所经历的应力循环次数称为历的应力循环次数称为疲劳寿命疲劳寿命。交变应力交变应力：随时间作重复交替变化的应力。：随时间作重复交替变化的应力。3. 3. 疲劳破坏是突然发生的，构件破坏前无明显的塑性疲劳破坏是突然发生的，构件破坏前无明显的塑性变形，不易为人们察觉。变形，不易为人们察觉。 疲劳破坏比静荷破坏较为危险的原因是疲劳破坏比静荷破坏较为危险的原因是1. 1. 疲劳破坏所需的应力较小疲劳破坏所需的应力较小, ,通常不及静荷破坏应力通常不及静荷破坏应力的一半。的一半。2. 2. 疲劳破坏是一种局部现象疲劳破坏是一种局部现象, ,材料组织不均匀、缺口、材料组织不均匀、缺口、腐蚀、残余应力、构件表面光洁度等因素对疲劳破坏腐蚀、残余应力、构件表面光洁度等因素对疲劳破坏影响较静荷破坏大许多。影响较静荷破坏大许多。因此，处于交变应力下的构件应进行因此，处于交变应力下的构件应进行疲劳强度校核疲劳强度校核。12.2 12.2 构件有加速度时动应力计算构件有加速度时动应力计算 在构件运动的某一时刻，将分布惯性力加在构件运动的某一时刻，将分布惯性力加在构件上，使原来作用在构件上的外力和惯性在构件上，使原来作用在构件上的外力和惯性力假想地组成平衡力系，然后按静荷作用下的力假想地组成平衡力系，然后按静荷作用下的问题来处理。问题来处理。 计算采用计算采用动静法动静法例例题题： 匀匀加加速速起起吊吊一一根根杆杆件件（图图a a），杆杆的的长长度度为为l，横横截截面面面面积积为为A, ,材材料料的的密密度度为为 ，加加速速度度为为a。试试求求距杆下端为距杆下端为 x 的横截面上的动应力的横截面上的动应力 d 。 解解：取距下端为：取距下端为x的一段杆的一段杆为分离体，作用于这段杆上的重为分离体，作用于这段杆上的重力沿杆轴均匀分布，其集度为力沿杆轴均匀分布，其集度为 Ag，惯性力也沿杆轴均匀分布，惯性力也沿杆轴均匀分布，其集度为其集度为 Aa ，指向与，指向与a 指向相指向相反。于是，可按静荷问题求得横反。于是，可按静荷问题求得横截面上的轴力截面上的轴力FNd 。mm例题图例题图xla(a)mmx(b)得得从而可得横截面上的动应力为从而可得横截面上的动应力为由分离体平衡方程由分离体平衡方程是动荷因数是动荷因数是静应力是静应力式中式中 例例题题： 一一平平均均直直径径为为D的的薄薄壁壁圆圆环环，绕绕通通过过其其圆圆心心且且垂垂直直于于环环平平面面的的轴轴作作等等速速转转动动（图图a)a)。已已知知环环的的角角速速度度 、环环的的横横截截面面面面积积A和和材材料料的的密密度度 ，试试求圆环横截面上的正应力。求圆环横截面上的正应力。 解解：因因环环壁壁很很薄薄，可可认认为为环环内内各各点点的的向向心心加加速速度度都都与与环环轴轴线线上上各各点点的的向向心心加加速速度度相相等等。根根据据动动静静法法，作作用用于于环环上上的的惯惯性性力力必必然然为为沿沿环环轴轴线线均均匀匀分分布布的的线线分分布力，其指向远离转动中心（图布力，其指向远离转动中心（图b)b)。(b)例题图例题图D(a)沿环轴线均匀分布的惯性力集度沿环轴线均匀分布的惯性力集度qd为为将环沿一直径假想地截分为二，并研将环沿一直径假想地截分为二，并研究留下的半环（图究留下的半环（图c)c)的平衡。半环上的平衡。半环上的惯性力沿的惯性力沿 y 轴方向的合力为轴方向的合力为其作用线与其作用线与 y 轴重合。轴重合。Fdy(c)m mn n 由于环壁很薄，可认为在环的横截面由于环壁很薄，可认为在环的横截面m-m 或或 n-n 上各点处的正应力相等；又由对称关系可知，两侧横上各点处的正应力相等；又由对称关系可知，两侧横截面上的正应力必组成相等的合力截面上的正应力必组成相等的合力FNd 。于是，横截面上的正应力于是，横截面上的正应力 d 为为由平衡条件由平衡条件 ，求得，求得 FNd 为为 解解：飞轮的惯性力矩为：飞轮的惯性力矩为(1)式中，式中，I0 为飞轮的转动惯量，为飞轮的转动惯量， 为角加速度。为角加速度。(a) 例例题题： 直直径径d=100mm的的圆圆轴轴，一一端端有有重重量量 P=0.6kN 、直直径径 D=400mm的的飞飞轮轮，以以均均匀匀转转速速n=1000r/min 旋旋转转（图图a)a)。现现因因在在轴轴的的另另一一端端施施加加了了掣掣动动的的外外力力偶偶矩矩 Me ，而而在在t=0.01s内内停停车车。若若轴轴的的质质量量与与飞飞轮轮相相比比很很小小而而可可以以略略去去不不计计，试试求求轴轴内内最最大大动动切应力切应力 d,max 。 Adn在掣动时，若为匀减速旋转，则在掣动时，若为匀减速旋转，则 ，(3) 沿与沿与 相反的转向，将相反的转向，将 Md 作用于轴上作用于轴上 （图（图b b），得到），得到一个假想的平衡力偶系。可得一个假想的平衡力偶系。可得轴横截面上的扭矩轴横截面上的扭矩 Td 为为而而 ，故，故 代入式代入式(1)(1)，得，得 (2)A(b)naBMd轴的最大动切应力轴的最大动切应力 d,max 为为(4)飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量将已知数据代入式（将已知数据代入式（4 4），得），得 例题例题： 一长度一长度 l=12m 的的1616号工字钢，用横截面号工字钢，用横截面面积面积为为 A=108mm2 的钢索起吊，如图的钢索起吊，如图a a所示，并以等所示，并以等加速度加速度 a=10m/s2 上升。若只考虑工字钢的重量而不上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险计吊索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险点的动应力点的动应力 d,max 欲使工字钢中的欲使工字钢中的 d,max 减至最小，吊减至最小，吊索位置应索位置应如何安置？如何安置？例题图例题图(d)AB2.484m2.484m7.032mAa4mB2m2mCyz4m(a)于是，工字钢上总的均布力集度为于是，工字钢上总的均布力集度为 解解：将集度为：将集度为 qd=A a 的惯性力加在工字钢上，的惯性力加在工字钢上，使工字钢上的起吊力与其重量和惯性力假想地组成平使工字钢上的起吊力与其重量和惯性力假想地组成平衡力系。若工字钢单位长度的重量记为衡力系。若工字钢单位长度的重量记为 qst ，则惯性，则惯性力集度为力集度为引入动荷因数引入动荷因数 则则 由对称关系可知，两吊索的轴力由对称关系可知，两吊索的轴力 （参见图（参见图b b）相等，其值可由平衡方程相等，其值可由平衡方程 ，求得求得吊索的静应力为吊索的静应力为故得吊索的动应力为故得吊索的动应力为(b)ABFNNFqst由型钢表查得由型钢表查得 qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已知数据及已知数据代入上式，即得代入上式，即得 同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力由工字钢的弯矩图由工字钢的弯矩图( (图图c)c)可知，可知，Mmax=6qstNm ，并由，并由型钢表查得型钢表查得Wz=21.2 10-6 m3以及已知数据代入上式，以及已知数据代入上式，得得 欲使工字钢的最大弯矩减小，可将吊索向跨中移欲使工字钢的最大弯矩减小，可将吊索向跨中移动，使梁在吊索处的负弯矩与梁跨中点处的正弯矩值动，使梁在吊索处的负弯矩与梁跨中点处的正弯矩值相等，即得工字钢梁的最大弯矩减至最小时的吊索位相等，即得工字钢梁的最大弯矩减至最小时的吊索位置。置。2qstM 图图（Nm)q6st(c)12.3 12.3 构件受冲击时动应力计算构件受冲击时动应力计算 冲击物在冲击过程中减少的动能冲击物在冲击过程中减少的动能 Ek 和势能和势能Ep 等等于被冲击构件所增加的应变能于被冲击构件所增加的应变能 V d ，即，即(a) 计算采用计算采用能量守恒定律能量守恒定律 设重量为设重量为P的重物，从高度的重物，从高度h自由落下，冲击到等自由落下，冲击到等截面直杆截面直杆AB的的B端。杆端。杆AB长度为长度为l ，横截面面积为，横截面面积为A。B(c)PA(b)BAFdA(a)PBhl则当冲击物速度降为零时，杆则当冲击物速度降为零时，杆ABAB发生最大伸长发生最大伸长 d ，则，则冲击物减少的势能为冲击物减少的势能为 (b)(b)假设：假设：1.1.冲击物变形与回弹可忽略。冲击物变形与回弹可忽略。 2.AB2.AB杆质量可忽略。杆质量可忽略。 3.3.冲击过程的能量耗散可忽略。冲击过程的能量耗散可忽略。而冲击物的初速与终速均为零，故而冲击物的初速与终速均为零，故(c)(c)杆内应变能杆内应变能(d)(d)将将( (b)(c)(db)(c)(d) )代入代入(a)(a)得得 解出解出 d 的两个根，取其中大于的两个根，取其中大于 st 的那个根，即得的那个根，即得引用记号引用记号则则(e)(e)注意注意 ，即在静载，即在静载P下下ABAB杆的伸长，则上式可杆的伸长，则上式可简化成简化成将上式两边乘以将上式两边乘以 E/l 后得后得(1)当当 h0 时，相当于时，相当于P 骤加在杆件上，这时骤加在杆件上，这时对于实际情况，以上计算是偏于安全的。对于实际情况，以上计算是偏于安全的。 例题例题： 钢吊索钢吊索ACAC的下端挂一重量为的下端挂一重量为 P=20kN 的重物的重物( (图图a)a)，并以等速度，并以等速度 v=1m/s 下降。当吊索长度下降。当吊索长度为为 l=20m 时，滑轮时，滑轮D D突然被卡住。试求吊索受到的冲突然被卡住。试求吊索受到的冲击荷击荷载载 Fd 及冲击应力及冲击应力 d 。已知吊索内钢丝的横截面。已知吊索内钢丝的横截面面积面积 A=414mm2 ，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E=170GPa ，滑轮，滑轮的重量可略去不计。若在上述情况下，在吊索与重物的重量可略去不计。若在上述情况下，在吊索与重物之间安置一个刚度系数之间安置一个刚度系数 k=300kN/m 的弹簧，则吊索受的弹簧，则吊索受到的冲击荷载又是多少？到的冲击荷载又是多少？C(a)DlAFd(b)PACD因此，重物在冲击过程中所减少的总能量为因此，重物在冲击过程中所减少的总能量为 解解：由于滑轮突然被卡住，所以重物下降的速：由于滑轮突然被卡住，所以重物下降的速度也由度也由 降到零，其动能的减少为降到零，其动能的减少为 ，其势，其势能的减少为能的减少为 其中其中滑轮被卡住前，吊索内应变能滑轮被卡住前，吊索内应变能滑轮被卡住后，吊索内的应变能滑轮被卡住后，吊索内的应变能其增量为其增量为 根据机械能守恒定律，并利用根据机械能守恒定律，并利用 可得可得将上式两端乘以将上式两端乘以 ，并利用，并利用 ，可简化为，可简化为由此解出由此解出 的两个根，并取其中大于的两个根，并取其中大于 的一个，得的一个，得动位移为动位移为于是，可得于是，可得将已知数据及将已知数据及 g=9.81m/s2 代入上式，可得代入上式，可得Kd 为为 于是，吊索受到的冲击荷载于是，吊索受到的冲击荷载 Fd 为为吊索内的冲击应力为吊索内的冲击应力为PACD(c)弹簧弹簧 在吊索与重物间安置一个刚度在吊索与重物间安置一个刚度系数系数 k=300kN/m 的弹簧的弹簧( (图图c),c),当吊索长度当吊索长度 l=20m，滑轮被突然卡，滑轮被突然卡住前瞬间，由重物住前瞬间，由重物 P 所引起的静所引起的静伸长应为吊索的伸长量与弹簧沿重伸长应为吊索的伸长量与弹簧沿重物方向的位移之和，即物方向的位移之和，即吊索受到的冲击荷载吊索受到的冲击荷载 Fd 为为于是便可得安置有弹簧时的动荷因数于是便可得安置有弹簧时的动荷因数 Kd 为为作业:63；611；614。 例题例题： 弯曲刚度为弯曲刚度为EI的简支梁如图的简支梁如图a所示。重量所示。重量为为P的冲击物从距梁顶面的冲击物从距梁顶面h处自由落下，冲击到简支梁处自由落下，冲击到简支梁跨中点跨中点C处的顶面上。试求处的顶面上。试求C处的最大挠度处的最大挠度 d 。若梁。若梁的两端支承在刚度系数为的两端支承在刚度系数为k的弹簧上，则梁受冲击时的弹簧上，则梁受冲击时中点处的最大挠度又是多少？中点处的最大挠度又是多少？(不计梁和弹簧的自重不计梁和弹簧的自重) 解解：重物：重物P落至最大位移位置时所减少的势能落至最大位移位置时所减少的势能 Ep ，将等于积蓄在梁内的应变能，将等于积蓄在梁内的应变能V d ，即，即(1)l2l2CAB(a)hPABC(b)Fd 重物重物P落至最大位移位置落至最大位移位置 (h+ d) 时所减少的势能时所减少的势能(2)(3) 当梁在线弹性范围时，当梁在线弹性范围时，V d= Fd d /2。而梁的。而梁的 d 与与Fd 间关系为间关系为 或或(4) 即即(5)从而从而或或(6)将式将式(6)左端的左端的 用用 替代，可将式替代，可将式(6)改写为改写为(7)P(c)ABC由此解得由此解得 d 的两个根，并取其中大于的两个根，并取其中大于 st 的一个，得的一个，得 (8)于是得动荷因数于是得动荷因数 Kd 为为(9)(10)若梁的两端支承在两个刚度相同的弹簧上，则梁在冲若梁的两端支承在两个刚度相同的弹簧上，则梁在冲击点沿冲击方向的静位移为击点沿冲击方向的静位移为(11)将将 st 代入式代入式(9)，即得动荷因数，即得动荷因数Kd 为为(12)将式将式(11)和和(12)代入式代入式(10)，得，得(13) 设设 P=2kN , h=20mm , EI= 5.25 103kN m2 ， k=300kN/m，l =3m。将已知数据代入上式，可分别。将已知数据代入上式，可分别求得该梁的冲击动荷因数为求得该梁的冲击动荷因数为无弹簧支承时无弹簧支承时 有弹簧支承时有弹簧支承时 解解：当在：当在A端被骤然刹车卡紧时，可以认为端被骤然刹车卡紧时，可以认为B端端飞轮的动能全部转变为轴的应变能而使轴受到扭转冲飞轮的动能全部转变为轴的应变能而使轴受到扭转冲击，即击，即由此得由此得AdnB 例题例题： 若前例中的若前例中的AB 转轴在转轴在A端被骤然刹车卡端被骤然刹车卡紧，试求轴内的最大切应力。已知轴长紧，试求轴内的最大切应力。已知轴长 =2m，轴的，轴的切变模量切变模量G=80GPa，轴的质量可略去不计。，轴的质量可略去不计。将已知数据代入上式，可得将已知数据代入上式，可得与前例相比较，可见骤停时轴内最大冲击切应力与前例相比较，可见骤停时轴内最大冲击切应力 d,max 为前例的为前例的5.7倍。倍。轴截面上的最大切应力为轴截面上的最大切应力为 例题例题： 一下端固定、长度为一下端固定、长度为 的铅直圆截面杆的铅直圆截面杆AB，在，在C点处被一物体点处被一物体G沿水平方向冲击（图沿水平方向冲击（图a）。）。已知已知C点到杆下端的距离为点到杆下端的距离为a，物体，物体G的重量为的重量为P，物，物体体G在与杆接触时的速度为在与杆接触时的速度为v。试求杆在危险点的冲。试求杆在危险点的冲击应力。击应力。 解解：杆内的应变能为杆内的应变能为由此得由此得(b)AGCB(a)AlBCGav 由机械能守恒定律可得由机械能守恒定律可得由此解得由此解得 d 为为式中，式中， 于是，可得杆内的应变能为于是，可得杆内的应变能为AFCB(c) 当杆在当杆在C点受水平力点受水平力F作用时，杆的固定端横作用时，杆的固定端横截面最外缘（即危险点）处的静应力为截面最外缘（即危险点）处的静应力为于是，杆在危险点处的冲击应力于是，杆在危险点处的冲击应力 d 为为12.4 12.4 交变应力交变应力 疲劳极限疲劳极限 交变应力的基本参量交变应力的基本参量 在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为为应力谱应力谱。 随着时间的变化，应力在随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化，应力每作周期性的交替变化，应力每重复变化一次的过程称为一个重复变化一次的过程称为一个应力循环应力循环。一个应力循环一个应力循环图图 5 5tO 通常用以下参数描述循环应力的特征通常用以下参数描述循环应力的特征(1)应力比应力比 r r = -1 ：对称循环：对称循环 ； r = 0 ：脉动循环：脉动循环 。 r 0 ：拉拉循环：拉拉循环 或压压循环。或压压循环。(2)应力幅应力幅(3)平均应力平均应力 一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力力 m 上叠加一个应力幅为上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合的对称循环应力组合构成。构成。 疲劳极限疲劳极限 将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行试验机上依次进行r = -1的常幅疲劳试验。各试样加的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅载应力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历的应力循均不同，因此疲劳破坏所经历的应力循环次数环次数N各不相同。各不相同。 以以 为纵坐标，以为纵坐标，以N为横坐标（通常为对数坐为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应力标），便可绘出该材料的应力寿命曲线即寿命曲线即S-N曲线曲线如图（以如图（以40Cr钢为例）钢为例） 注注：由于在：由于在r =-1时，时， max = /2，故，故 S-N曲线纵曲线纵坐标也可以采用坐标也可以采用 max 。从图从图12-7可以得出可以得出三点结论：三点结论：(1) 对于疲劳，决定寿命的对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅最重要因素是应力幅 。(2) 材料的疲劳寿命材料的疲劳寿命N随应力幅随应力幅 的增大而减小。的增大而减小。 (3) 存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅称为不会发生，该应力幅称为疲劳极限疲劳极限，记为，记为 -1 。图图 7 7104105106107108550650750850Nsmax/MPa 对低碳钢，其对低碳钢，其其弯曲疲劳极限其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限拉压疲劳极限 对于铝合金等有色金属，其对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的曲线没有明显的水平部分，一般规定水平部分，一般规定 时对应的时对应的 称为称为条件疲劳极限条件疲劳极限，用，用 表示。表示。12.5 12.5 钢结构构件疲劳计算钢结构构件疲劳计算 当交变应力幅小于材料疲劳极限，构件具有无限当交变应力幅小于材料疲劳极限，构件具有无限疲劳寿命。疲劳寿命。 当交变应力幅大于材料疲劳极限，构件具有有限当交变应力幅大于材料疲劳极限，构件具有有限疲劳寿命。疲劳寿命。常幅有限寿命疲劳：常幅有限寿命疲劳： 校核点处的应力幅校核点处的应力幅 对焊接部位对焊接部位 = max- min 对非焊接部位对非焊接部位 = max- 0.7 min 许用应力幅许用应力幅 N 构件在服役期内预计承受的疲劳循环次数构件在服役期内预计承受的疲劳循环次数C, 两个参数，由书中本章表两个参数，由书中本章表1和表和表2查出查出 如应力循环中无拉应力，则不必验算疲劳强度。如应力循环中无拉应力，则不必验算疲劳强度。 上述计算公式的理论基础是疲劳寿命曲线上述计算公式的理论基础是疲劳寿命曲线 解解：(1)计算跨中截面计算跨中截面危险点处的应力幅危险点处的应力幅当当 Fmin= 10 kN 作用时作用时(a)(b)FF2F28751750z1010175yCa15019010151618 例题：例题： 一焊接箱形钢梁在跨中截面受到一焊接箱形钢梁在跨中截面受到Fmin= 10 kN 和和 Fmax= 100kN 的常幅交变荷载作用，跨中截面的常幅交变荷载作用，跨中截面对其形心主轴对其形心主轴z的惯性矩的惯性矩 Iz=68.5 10-6 m4 。该梁由手。该梁由手工焊接而成，属第工焊接而成，属第4类构件，若欲使构件在服役期限内，类构件，若欲使构件在服役期限内，能经受能经受2 106 次交变荷载作用，试校核其疲劳强度。次交变荷载作用，试校核其疲劳强度。 当当 Fmax= 100kN 作用时作用时则则(2) 确定许用应力幅，并校核跨中确定许用应力幅，并校核跨中截面的疲劳强度截面的疲劳强度 因该焊接钢梁属第因该焊接钢梁属第4类构件，类构件，从表从表1查出查出(c)s sts smins smaxO将将C和和 值代入式值代入式 可得可得将工作应力幅与许用应力幅比较，显然将工作应力幅与许用应力幅比较，显然 变幅有限寿命疲劳：变幅有限寿命疲劳： 先将变幅疲劳按应力幅大小分成数组，则先将变幅疲劳按应力幅大小分成数组，则 等效应力幅，等效应力幅，其中，其中， 是构件在服役期内预计承受的疲劳循环是构件在服役期内预计承受的疲劳循环次数，即次数，即N ； i 是第是第i种应力幅；种应力幅；ni 是对应是对应 i 的预的预计应力循环次数。计应力循环次数。图图 9 9表达式为表达式为Ot smaxs1s2sismin此计算公式的理论基础此计算公式的理论基础 线性累积损伤律线性累积损伤律及及 疲劳寿命曲线疲劳寿命曲线 许用应力幅，表达式为许用应力幅，表达式为 ，由，由本章表本章表1、2确定。确定。