第五章数列、推理与证明第1讲数列的概念与简单表示法考纲要求考点分布考情风向标1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数2012年新课标卷考查利用Sn与an的关系求通项；2013年新课标卷考查利用Sn与an的关系求通项；2014年新课标卷考查数列的递推关系1.高考试题主要以数列的概念、通项公式的解法为主，因此要把握好由关系式求通项公式的方法.2.能结合通项公式或简单的递推关系去分析数列的性质，如单调性、周期性等，并能利用性质解题.3.从近几年的高考试题来看，Sn与an的关系一直是高考的热点，复习时应特别关注1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列可以看作是定义域为 N*的非空子集的函数，其图象是一群孤立的点.2.数列的分类无限an其中nN*递减数列an1_an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列an的符号正负相间，如1，1,1，1，3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式如果数列an的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式 anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.an1an-1BBD1.数列1,2,4,8,16,32，的一个通项公式是( ) A.an2n1 B.an2n1C.an2n D.an2n12.数列1,3,5,7,9,的一个通项公式为( ) A.an2n1 B.an(1)n1(2n1)C.an(1)n(2n1) D.an(1)n(2n1)4.如图 5-1-1，根据下面的图形及相应的点数，写出点数构5n4成的数列的一个通项公式 an_.图 5-1-1考点 1 由数列的前几项写数列的通项公式例 1：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前 4 项已给出.(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，；(4)5,4,5,4，.【规律方法】对于一个公式能否成为一个给出的前 n 项的数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可.根据数列an的前 n 项求通项公式，我们常常取其形式上较简便的一个即可.另外，求通项公式，一般可通过观察数列中各项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加以验证.已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：负号用(1)n与(1)n1或(1)n1来调节；分数形式的数列，分析分子、分母的特征，且充分借助分子、分母的关系；相邻项的变化特征；拆项后的特征；对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列(后面专门学习)和其他方法解决；此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法.【互动探究】A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析：由三角函数公式知，和实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列 1,0,1,0 的通项公式；对于，易看出，它不是数列an的通项公式；对于，将 n3 代入，a331，故不是an的通项公式；显然是数列an的通项公式.综上所述，可作为数列an的通项公式的有 3 个.故选 C.答案：C2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图 5-1-2.图 5-1-2他们研究过图 5-1-2(1)中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 5-1-2(2)中的1,4,9,16，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()CA.289B.1024C.1225D.1378考点 2 由数列的前 n 项和求数列的通项公式例2：已知数列an满足an12an1，nN*.(1)若 a11，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项公式；(2)若 a11，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项公式.【规律方法】数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项(基础)两个因素所确定的，即使递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列；适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体把握是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一.解：(1)a1a2a3a41，可推测该数列an的通项公式为an1.(2)a11，a22113，a32317，a427115，可推测该数列an的通项公式为an2n1.【互动探究】_.考点 3 由数列的递推关系求数列的通项公式例3：(1)设数列an中，a12，an1ann1，则通项an_.(2)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为 an_.方法二，(迭代法)an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1)，所以an23n11(n2).又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.答案：23n11【规律方法】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现 anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现an解.【互动探究】B4.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1(nN*)，则a5等于( )A.16 B.16 C.31 D.32解析：当n1时，S12a11，a11.当n2时，Sn12an11，an2an2an1.an2an1.an是等比数列且a11，q2.故a5a1q42416.思想与方法用函数的思想探讨数列的单调性例题：已知单调递增数列an，ann2kn(nN*)，求实数k 的取值范围.解：ann2kn(nN*)，an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k.数列an单调递增，an1an0，即2n1k0恒成立.k2n1，即kan，则数列为递增数列；若an1an，则数列为递减数列.解本题易出现的错误是an是关于n的二次函1.根据数列的前几项，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思想方法，考查了基本的数学分析能力和观察能力.熟知一些常见数列的通项公式可起到事半功倍的效果.一般步骤为：(1)分数中的分子与分母的特点；(2)相邻项的变化规律；(3)各项的符号特征：(4)拆项后的变化规律.并对此进行归纳、化归、展开联想.(2)考虑数列的单调性.