15 超导体的电磁性质超导体的电磁性质2超导电性超导电性: 当温度下降到某临界当温度下降到某临界温度温度Tc以下时，一些元素、化以下时，一些元素、化合物、合金和其他材料，电阻合物、合金和其他材料，电阻率下降为零。（自率下降为零。（自1911年以来年以来发现）发现） 。1、概述、概述320世纪世纪70年代以前，超导临界温度一般年代以前，超导临界温度一般为几为几K，不超过，不超过30K。这些超导体称为常。这些超导体称为常规超导体。规超导体。20世纪世纪80年代以来，又陆续发现一系列年代以来，又陆续发现一系列有较高温度临界温度的超导材料。临界有较高温度临界温度的超导材料。临界温度一般为数十温度一般为数十K，超过，超过100K。这些超。这些超导体称为高温超导体。导体称为高温超导体。高温超导体材料将会有广阔的应用前景。高温超导体材料将会有广阔的应用前景。4超导体的宏观性质超导体的宏观性质宏观量子效应：超导电性，抗磁性宏观量子效应：超导电性，抗磁性超导理论：建立在量子力学基础上超导理论：建立在量子力学基础上的微观理论的微观理论51935年年London（伦敦）唯象理论和（伦敦）唯象理论和1950年年Ginzberg-Landau（金兹堡（金兹堡-朗道）唯象理论在一定程度上解释超导体朗道）唯象理论在一定程度上解释超导体的宏观量子性质。伦敦唯象理论以麦克斯韦议程为基础，建的宏观量子性质。伦敦唯象理论以麦克斯韦议程为基础，建立超导电流与电磁场的局域关系。因未涉及微观机制，与实立超导电流与电磁场的局域关系。因未涉及微观机制，与实验结果有偏差。验结果有偏差。1953年年Pippard（皮帕德）引入相干长度概（皮帕德）引入相干长度概念，提出非局域修正。念，提出非局域修正。1957年年J. Bardeen（巴丁）（巴丁）, L. N. Cooper（库珀）（库珀）, J. R. Schrieffer（施里弗）用电子声子机制建立了（施里弗）用电子声子机制建立了BCS理论，当材理论，当材料处于超导状态时，费米面附近动量和自旋大小相等、方向料处于超导状态时，费米面附近动量和自旋大小相等、方向相反的自由电子，通过交换虚声子产生的吸引力形成库珀对，相反的自由电子，通过交换虚声子产生的吸引力形成库珀对，库珀对不受晶格散射，是一种无电阻的超流电子。成功解释库珀对不受晶格散射，是一种无电阻的超流电子。成功解释常规超导体的超导电性及系列性质。高温超导的微观理论还常规超导体的超导电性及系列性质。高温超导的微观理论还有待完善。有待完善。6超导体之所以引起人们的关超导体之所以引起人们的关注，是因为它具有与众不同注，是因为它具有与众不同的性质。超导体的独特电磁的性质。超导体的独特电磁性质主要包括以下两个方面。性质主要包括以下两个方面。2 2、超导体的基本现象、超导体的基本现象7临界温度：临界温度：图示是图示是汞样品的电阻随温汞样品的电阻随温度变化关系。我们度变化关系。我们可以看到当温度可以看到当温度4.2K以下时，电阻以下时，电阻突然下降为零。这突然下降为零。这种电阻率为零的性种电阻率为零的性质称为超导电性。质称为超导电性。开始出现超导电性开始出现超导电性的温度称为临界温的温度称为临界温度度Tc，不同材料有，不同材料有不同的临界温度不同的临界温度Tc。（1）超导电性）超导电性8当物体处于超导当物体处于超导状态时，若加上状态时，若加上磁场，当磁场强磁场，当磁场强度增大到某一临度增大到某一临界值界值Hc时，超导时，超导性被破坏，超导性被破坏，超导体由超导态转变体由超导态转变为正常态。为正常态。Hc与与温度有关。温度有关。（2）临界磁场）临界磁场9当材料处于超导状态时，随当材料处于超导状态时，随着进入超导体内部深度的增着进入超导体内部深度的增加磁场迅速衰减，磁场主要加磁场迅速衰减，磁场主要存在于导体表面一定百度的存在于导体表面一定百度的薄层内。对宏观超导体，可薄层内。对宏观超导体，可把这个厚度看成是零。近似把这个厚度看成是零。近似认为超导体内部的磁感应强认为超导体内部的磁感应强度度B0。（3）迈斯纳效应（）迈斯纳效应（ Meissner ）1. 如果物理初始处于超导状如果物理初始处于超导状态，当外加磁场时，只要磁态，当外加磁场时，只要磁场不超过临界值场不超过临界值Hc，磁场，磁场B不能进入超导体内。不能进入超导体内。2. 若把正常态物体放入磁场若把正常态物体放入磁场内，当温度下降使物体转变内，当温度下降使物体转变为超导体时，磁场为超导体时，磁场B被排出被排出超导体外。超导体外。超导体的抗磁性与超导体所经过的历史无关超导体的抗磁性与超导体所经过的历史无关超导体具有完全抗磁性称超导体具有完全抗磁性称之为理想迈斯纳态之为理想迈斯纳态不能理想化的状态称为一不能理想化的状态称为一般迈斯纳态。般迈斯纳态。10超导体内的电流超过某个临界值，超导体内的电流超过某个临界值，超导体变成正常态。对应于：超过超导体变成正常态。对应于：超过这个临界值的电流产生超过临界值这个临界值的电流产生超过临界值的磁场。的磁场。（4）临界电流）临界电流11第一类超导体：元素超导体多属于此。存在一个临界磁场。第一类超导体：元素超导体多属于此。存在一个临界磁场。第二类超导体：合金和化合物多属于此。存在两个临界磁第二类超导体：合金和化合物多属于此。存在两个临界磁场。在小临界值以下，磁场完全被排出。在两临界值之间，场。在小临界值以下，磁场完全被排出。在两临界值之间，磁场以量子化磁通线的形式进入样品中，使之处于正常态磁场以量子化磁通线的形式进入样品中，使之处于正常态和超导态的混合态，每一条磁通线穿过的线长区域处于正和超导态的混合态，每一条磁通线穿过的线长区域处于正常态，其余区域处于超导态。每一条磁通线的磁通量为一常态，其余区域处于超导态。每一条磁通线的磁通量为一个磁通量子。磁通线整条产生与湮灭。随外磁场增大，穿个磁通量子。磁通线整条产生与湮灭。随外磁场增大，穿过样品内部的磁通线逐渐增多，正常相区域逐渐扩大。在过样品内部的磁通线逐渐增多，正常相区域逐渐扩大。在上临界值以上，无表面超导相的样品整个转变为正常态。上临界值以上，无表面超导相的样品整个转变为正常态。此类超导具有较高的临界温度、临界磁场、通过较大的超此类超导具有较高的临界温度、临界磁场、通过较大的超导电流，故应用价值相应较大。导电流，故应用价值相应较大。（5）第一类和第二类超导体）第一类和第二类超导体12实验发现，第一类复连通超导体，如超实验发现，第一类复连通超导体，如超导环、空心超导圆柱体，单连通和复连导环、空心超导圆柱体，单连通和复连通的第二类超导体，磁通量只能是基本通的第二类超导体，磁通量只能是基本值值 0=h/2e=2.0710-15Wb的整数倍。的整数倍。 0称为磁通量子，称为磁通量子，h为普朗克常数，为普朗克常数，e为电为电子电荷的值。子电荷的值。（6）磁通量子化）磁通量子化133 3、伦敦唯象理论与皮帕德修正、伦敦唯象理论与皮帕德修正超导体具有的独特性质是来自于它所超导体具有的独特性质是来自于它所特有的电磁性质方程，超导体除了满特有的电磁性质方程，超导体除了满足麦克斯韦方程，还满足伦敦第一和足麦克斯韦方程，还满足伦敦第一和第二方程。第二方程。14（1）伦敦第一方程）伦敦第一方程超导性是一种量子现象。当物体处于超导超导性是一种量子现象。当物体处于超导状态时，一部分电子作完全有序运动，不状态时，一部分电子作完全有序运动，不受到晶格散射，没有电阻效应。其余电子受到晶格散射，没有电阻效应。其余电子仍属于正常电子。仍属于正常电子。15n ns nn用二流体模型来描述这种情况。设超导体内的用二流体模型来描述这种情况。设超导体内的传导电子密度传导电子密度n为超导电子密度为超导电子密度ns和正常电子密和正常电子密度度nn之和之和相应地，超导体内的电流密度相应地，超导体内的电流密度J为超导电流为超导电流密度密度Js与正常电流密度与正常电流密度Jn之和之和J Js Jn16正常电流满足欧姆定律正常电流满足欧姆定律Jn E由于超导电子运动不受阻尼，电由于超导电子运动不受阻尼，电场场E将使电子加速，设将使电子加速，设v为超导电为超导电子速度，则有子速度，则有17-第一伦敦方程第一伦敦方程代替欧姆定律的超导电流方程代替欧姆定律的超导电流方程超导电流密度超导电流密度Js -ns e v因此可以得到因此可以得到18由伦敦第一方程可以导出超导体的零电阻性。由伦敦第一方程可以导出超导体的零电阻性。在恒定情况下，超导体在恒定情况下，超导体内的电流完全来自超导内的电流完全来自超导电子，电子，没有电阻效应没有电阻效应。Jn EE0恒定恒定电流电流Jn0恒定情况恒定情况19交变情况：有电阻损耗交变情况：有电阻损耗Jn E对低频交流电，电阻损耗是很小的对低频交流电，电阻损耗是很小的20伦敦第一方程只导出了超导体的超导伦敦第一方程只导出了超导体的超导电性，还不足以完全描述超导体的全电性，还不足以完全描述超导体的全部电磁性质。我们考虑部电磁性质。我们考虑Meissner效应效应（2 2）伦敦第二方程）伦敦第二方程21它指出在超导体内部它指出在超导体内部B0，由磁场边值关系，由磁场边值关系当超导体外部有磁场时，紧贴超导体表面两当超导体外部有磁场时，紧贴超导体表面两侧处应有边值关系侧处应有边值关系 H2t=H1t， B2n=B1n，因此，磁场不可能在超导体内侧紧贴因此，磁场不可能在超导体内侧紧贴表面处变为零，它必存在于超导体表表面处变为零，它必存在于超导体表面一薄层内。面一薄层内。22由麦氏方程由麦氏方程既然超导体内部既然超导体内部B0，则超导体，则超导体内部的电流亦为零。内部的电流亦为零。在超导体内，在超导体内， 一定存在着电流与磁场相互制一定存在着电流与磁场相互制约的机制，使它们都只能存在于表面薄层内，约的机制，使它们都只能存在于表面薄层内，而不能深入到超导体内部。而不能深入到超导体内部。23-伦敦第二方程伦敦第二方程伦敦假设除了麦氏方程外，在超导体内还伦敦假设除了麦氏方程外，在超导体内还有另一个磁场和电流相互制约的关系有另一个磁场和电流相互制约的关系24与时间无关，但可与时间无关，但可以有某种空间分布，以有某种空间分布，取决于超导体的初取决于超导体的初始状态。伦敦理论始状态。伦敦理论取这个量为零取这个量为零因为因为25由麦克斯韦方程和第二方程可以导出迈纳斯效应由麦克斯韦方程和第二方程可以导出迈纳斯效应对恒定电流，对恒定电流，J=Js对一般超导体，对一般超导体， L=10-7m。 L是在超导体内是在超导体内B值发生显著变化的线度。值发生显著变化的线度。26简单示例简单示例设超导体占满设超导体占满z0的上的上半空间，并设半空间，并设B沿沿x方方向向, Bx=B(z).当当z为数个为数个 L线度时，线度时，B(z)基本上为零。基本上为零。 L标志标志着磁场透入超导体内的线度着磁场透入超导体内的线度-穿透深度穿透深度27 L-电流穿透深度电流穿透深度电流分布电流分布28例例1 求理想迈斯纳状态下，超导体求理想迈斯纳状态下，超导体的面电流密度的面电流密度 s与边界上的磁感应与边界上的磁感应强度强度B之间的关系。之间的关系。29切向切向法向法向30由于迈纳斯效应由于迈纳斯效应,在超导体表面产在超导体表面产生超导电流生超导电流 s，它所产生的磁场它所产生的磁场在超导体内部与在超导体内部与外场反向，因而外场反向，因而把外磁场屏蔽把外磁场屏蔽，使超导体内部使超导体内部B=031（3 3）超导电流与矢势的局域关系）超导电流与矢势的局域关系伦敦规范：超导体表面伦敦规范：超导体表面法向分量为零法向分量为零超导体内外：超导体内外：矢势唯一确定：矢势唯一确定：32伦敦第二方程伦敦第二方程单连通区域闭合曲线单连通区域闭合曲线C，斯托克斯定理，斯托克斯定理， 单值单值 常数常数恒定情形下单连通超导体内恒定情形下单连通超导体内电流与矢势的局域关系电流与矢势的局域关系33（4 4）皮帕德非局域修正）皮帕德非局域修正伦敦理论是局域理论，假伦敦理论是局域理论，假定超导电流只与该点领域定超导电流只与该点领域的电磁场直接发生作用，的电磁场直接发生作用，得出伦敦穿透深度与电子得出伦敦穿透深度与电子自由程无关。自由程无关。但对合金超导体实验发现，实但对合金超导体实验发现，实际穿透深度比伦敦穿透深度大际穿透深度比伦敦穿透深度大几倍，并随电子平均自由程减几倍，并随电子平均自由程减小而增大。实际上，超导电子小而增大。实际上，超导电子以库珀对为单元组成量子态，以库珀对为单元组成量子态，不同点上超导电子的运动互相不同点上超导电子的运动互相关联，导致超导电流与电磁场关联，导致超导电流与电磁场的有效相互作用不是局域的。的有效相互作用不是局域的。即一点上的电流不仅与该点的即一点上的电流不仅与该点的矢势有关，还会受到附近的场矢势有关，还会受到附近的场的作用。的作用。皮帕德皮帕德1953年提出相干长年提出相干长度的概念，提出非非局域度的概念，提出非非局域方程方程34 0：大块金属超导体的相干长度。：大块金属超导体的相干长度。（相应存在有效穿透深度）（相应存在有效穿透深度） p：有效相干长度，与材料有关：有效相干长度，与材料有关l: 正常态下纯金属的电子平均自由程正常态下纯金属的电子平均自由程d: 与材料有关的系数，与材料有关的系数，d 1此时在此时在 p范围内电磁场变化平缓，上述积范围内电磁场变化平缓，上述积分上矢势移出积分外分上矢势移出积分外35皮帕德局域近似皮帕德局域近似皮帕德有效皮帕德有效穿透浓度：穿透浓度：36第二类超导体，可用皮帕德局域近似理论第二类超导体，可用皮帕德局域近似理论第一类超导体，要用皮帕德非局域理论第一类超导体，要用皮帕德非局域理论374. 4. 有第二类超导体存在时磁场分布的求解有第二类超导体存在时磁场分布的求解考虑在恒定情形下，有第二类超导体存考虑在恒定情形下，有第二类超导体存在时磁场和超导电流分布的求解在时磁场和超导电流分布的求解（1 1）一般迈斯纳状态下场分布的求解）一般迈斯纳状态下场分布的求解在麦克斯韦在麦克斯韦- -伦敦方程中作出修正：伦敦方程中作出修正：38例例2 处于一般迈斯纳态、半径为处于一般迈斯纳态、半径为a的无穷的无穷长超导圆柱体，放入均匀磁场长超导圆柱体，放入均匀磁场B=B0ez中，中，柱轴与磁场方向平行。求磁场分布和超柱轴与磁场方向平行。求磁场分布和超导电流分布。导电流分布。39柱外：因电流为零，磁场的旋度和散度柱外：因电流为零，磁场的旋度和散度均为零，因此磁场常数。均为零，因此磁场常数。柱内：将柱内：将 L换为换为 p。由对称性，磁场只。由对称性，磁场只能是柱坐标中径向坐标能是柱坐标中径向坐标 的函数，服从的函数，服从方程方程常数常数零阶虚宗量贝塞尔函数零阶虚宗量贝塞尔函数40边值关系边值关系 当当a p, 磁场和电流磁场和电流均呈指数衰减均呈指数衰减41 超导电流在柱体内产生的磁超导电流在柱体内产生的磁场与外磁场相反，部分抵消进场与外磁场相反，部分抵消进入柱体的外磁场。入柱体的外磁场。 当当 a a, ,超导电流为超导电流为理想化的面电流分布，理想化的面电流分布，完全抵消进入柱体内的完全抵消进入柱体内的外磁场。外磁场。42例例3 半径为半径为a、处于理想迈斯纳态的超导、处于理想迈斯纳态的超导球体置于均匀外磁场球体置于均匀外磁场H0中，求外部真空中，求外部真空中的磁场分布和超导面电流分布。中的磁场分布和超导面电流分布。此时超导体内此时超导体内B=0, Js=0， 超导电流被视超导电流被视为面电流。只需求解超导体外部的磁场，为面电流。只需求解超导体外部的磁场，边值关系为边值关系为（2 2）理想迈斯纳状态下场分布的求解）理想迈斯纳状态下场分布的求解43解：解：球外没有电流，可引入磁标势，求解标势的拉球外没有电流，可引入磁标势，求解标势的拉普拉斯方程。由轴对称性和无穷远处场，可获普拉斯方程。由轴对称性和无穷远处场，可获得解的形式为得解的形式为磁场只沿表面，法向导数为零，可得磁场只沿表面，法向导数为零，可得磁偶极矩贡献磁偶极矩贡献表面电流：表面电流：思考思考: :猜想镜象场源。这里只有表面电流，球内没有磁场猜想镜象场源。这里只有表面电流，球内没有磁场44例例4 有一小磁铁（或小线圈）位于大块有一小磁铁（或小线圈）位于大块超导体平坦的表面附近的真空中，其中超导体平坦的表面附近的真空中，其中磁矩磁矩m的方向与超导体表面垂直。试估的方向与超导体表面垂直。试估算超导体外部的磁场分布和磁矩受到的算超导体外部的磁场分布和磁矩受到的作用力。作用力。45解：解：设想大块超导体为无限大。设设想大块超导体为无限大。设z0的空间为真空。的空间为真空。在在z=a取取可在可在z=-a取镜象取镜象由场叠加原理得上半空间任一点的磁感应强度由场叠加原理得上半空间任一点的磁感应强度产生磁场产生磁场产生磁场产生磁场46m在在z=a处产生磁场处产生磁场超导体对磁矩超导体对磁矩m的作用能的作用能作用力：作用力：排斥排斥思考：将平面改换成球面，同样可用镜象法求解思考：将平面改换成球面，同样可用镜象法求解475 磁介质观点磁介质观点所用观点：超导体的磁导率和处于正常态所用观点：超导体的磁导率和处于正常态时的磁导率都有时的磁导率都有 0因为：因为：在恒定情况，超导体内的电流包括在恒定情况，超导体内的电流包括超导电流超导电流Js 和分子磁化电流和分子磁化电流JM。磁化电流。磁化电流和通常磁介质内的磁化电流相同。和通常磁介质内的磁化电流相同。在这观点下，超导体的迈斯纳效应不是来在这观点下，超导体的迈斯纳效应不是来自超导体作为特殊介质的性质，而是来自自超导体作为特殊介质的性质，而是来自超导体电流的屏蔽效应。超导体电流的屏蔽效应。 48磁场的基本物理量是磁场的基本物理量是B，它与总电流密度，它与总电流密度J相相联系。至于总电流如何划分为自由电流和磁联系。至于总电流如何划分为自由电流和磁化电流，以及相应地化电流，以及相应地B如何分解为如何分解为H和和M，则，则是带有一定任意性的。是带有一定任意性的。我们用另一观点来描述超导体我们用另一观点来描述超导体49一种方法：把超导体电流看作自由电流，一种方法：把超导体电流看作自由电流，与与H相联系，而分子磁化电流则与磁化相联系，而分子磁化电流则与磁化矢量矢量M相联系。相联系。另一方法：另一方法：把超导电流也看作磁化电流，把超导电流也看作磁化电流，而与而与M相联系。相联系。当超导体置于外磁场中当超导体置于外磁场中时，它受到磁化而诱导出超导电流，使时，它受到磁化而诱导出超导电流，使超导体带有磁矩超导体带有磁矩M。50为了简单起见，我们略去超导体的分子磁为了简单起见，我们略去超导体的分子磁化电流（通常是很小的），因此有化电流（通常是很小的），因此有再限制再限制M由由得得超导体内磁场强度不再与超导电流直接相联系超导体内磁场强度不再与超导电流直接相联系51由由B 0（HM）得）得超导体内超导体内B=0MH（1）理想迈斯纳态）理想迈斯纳态磁导率磁导率超导体是完全抗磁体的另一种表述。超导体是完全抗磁体的另一种表述。 M1 0(1+ M)052若用面超导电流密度若用面超导电流密度 s描述，仿照第一描述，仿照第一章的推导，可得章的推导，可得按磁介质观点，表面超导电流在超导体按磁介质观点，表面超导电流在超导体内形成的磁矩和逆向电流，完全抵消了内形成的磁矩和逆向电流，完全抵消了外磁场，从而把磁场排出体外。外磁场，从而把磁场排出体外。由由可引入磁标势可引入磁标势边值关系：边值关系：H2t=H1t， B2n=B1n，53例例5 （用磁介质观点求解）半径为（用磁介质观点求解）半径为a、处、处于理想迈斯纳态的超导球体置于均匀外于理想迈斯纳态的超导球体置于均匀外磁场磁场H0中，求外部真空中的磁场分布和中，求外部真空中的磁场分布和超导面电流分布。超导面电流分布。54解解用磁介质观点，把超导电流也看作磁化电用磁介质观点，把超导电流也看作磁化电流，与流，与M相联系。当超导体相联系。当超导体 置于外磁场中置于外磁场中时，它受到磁化而诱导出超导电流，使超时，它受到磁化而诱导出超导电流，使超导体带有磁矩导体带有磁矩M。理想迈斯纳态下超导球内磁场和超导理想迈斯纳态下超导球内磁场和超导电流均为零，本不要求解。但是把磁电流均为零，本不要求解。但是把磁感应强度划分为磁场强度和磁化强度感应强度划分为磁场强度和磁化强度两部分，于是仍需求解。两部分，于是仍需求解。55此时没有自由电流，在超导体内此时没有自由电流，在超导体内外均可以用磁标势来描述磁场。外均可以用磁标势来描述磁场。磁标势满足拉普拉斯方程磁标势满足拉普拉斯方程56采用球坐标系，取极轴沿外方向，采用球坐标系，取极轴沿外方向，原点在球心上。均匀外磁场原点在球心上。均匀外磁场H0的磁的磁标势为标势为57 1和和 2可用勒让德多项式展开可用勒让德多项式展开因为：参考点因为：参考点球心磁标势为球心磁标势为0，因而零次，因而零次幂项为幂项为0，高，高次幂在远处又次幂在远处又不存在。不存在。a和和b为待求系数为待求系数58在球面边界在球面边界R=R0上，上，即即 2 0(1+ M)059 2 0(1+ M)06061球内球内62球外球外6364（1）一般迈斯纳态）一般迈斯纳态此时，超导电流不能看成表面电流，此时，超导电流不能看成表面电流，超导体内超导体内B 0，Js 0, B中中H和和M的的关系未知。关系未知。例例6 （用磁介质观点求解）处于一般迈斯（用磁介质观点求解）处于一般迈斯纳态、半径为纳态、半径为a的无穷长超导圆柱体，放入的无穷长超导圆柱体，放入均匀磁场均匀磁场B=B0ez中，柱轴与磁场方向平行。中，柱轴与磁场方向平行。求磁场分布和超导电流分布。求磁场分布和超导电流分布。65柱外：因电流为零，磁场的柱外：因电流为零，磁场的旋度和散度均为零，因此磁旋度和散度均为零，因此磁场常数。与均匀磁场正交的场常数。与均匀磁场正交的平面为等磁势面，取为平面为等磁势面，取为柱内：仍可使用磁标势，柱内：仍可使用磁标势，考虑到边值关系，有考虑到边值关系，有柱内外均为均匀磁场。但不能确定磁化强度，柱内外均为均匀磁场。但不能确定磁化强度，因为因为B2未知。未知。如前求角磁感应强如前求角磁感应强度，则可求得度，则可求得M可以看出，磁化强度与磁场强度并非简单线性关系。可以看出，磁化强度与磁场强度并非简单线性关系。 =a处处M=0。随着随着 减少，减少，M值增加。值增加。 =0处处M= H2，B2=0666 超导体内的磁通量子化超导体内的磁通量子化设设当当TTc时时,把把一一个个处处于于正正常常态态的的超超导导环环放放置置于于外外磁磁场场中中。降降低低温温度度使使TTc，该该环环转转变变为为超超导导态态，然然后后撤撤去去外外磁磁场场。结结果果是是通通过过环环孔孔的的磁磁通通量量仍仍然然被被保保持持着着，同同时时在在超超导导环环面面薄薄层层内内诱诱导导出出超超导导电电流流，它它维维持持着着通通过过环环孔孔的的磁磁通通量量。若若无无其其他他扰扰动动，超超导导电电流流与与通通过过环环孔孔的的磁磁通量将长期存在着。通量将长期存在着。67其中其中为通过为通过C内部的磁通量，也就是通过环孔的通内部的磁通量，也就是通过环孔的通量（严格地说，应包括通过环面薄层内的部分）。量（严格地说，应包括通过环面薄层内的部分）。 首先，环孔内的磁通量不变性。首先，环孔内的磁通量不变性。取环体内一条闭合回路取环体内一条闭合回路C，并设，并设C足够深入到环体足够深入到环体内，使内，使C上的超导电流上的超导电流Js=0。由。由Jn E，在，在C上有上有E=0。把电磁感应定律应用于回路。把电磁感应定律应用于回路C上，有上，有68其次这磁通量其次这磁通量是量子化的是量子化的由由69即它只能等于某一个磁通量子即它只能等于某一个磁通量子0的整数倍。这现象是由于超的整数倍。这现象是由于超导电性的量子力学本质所引起的。因为超导电子处于一个量导电性的量子力学本质所引起的。因为超导电子处于一个量子态中，绕闭合曲线一周时，由于波函数的单值性，它的相子态中，绕闭合曲线一周时，由于波函数的单值性，它的相位变化只能是位变化只能是2的整数倍。的整数倍。绕绕C一周后的相位变化为一周后的相位变化为702n，n0,1,2式中因子式中因子2e的来源是凝聚于量子态中的基本单元是电的来源是凝聚于量子态中的基本单元是电子对（库柏对）子对（库柏对）,它带有电荷它带有电荷-2e。由于。由于C上上J=0,由条件由条件71即得即得其中其中磁通量子磁通量子