欢欢迎迎光光临临指指导导！14.1.1勾股定理勾股定理华东师大版华东师大版 八年级数学（上册）八年级数学（上册）直角三角形三边的关系数形结合之美 人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人人”，并，并试图与试图与“他们他们”取得联系。那么我们怎么样才能与取得联系。那么我们怎么样才能与“外外星人星人”接触呢？我国数学家华罗庚曾建议接触呢？我国数学家华罗庚曾建议向宇宙发向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系。射勾股定理的图形与外星人联系。 ABC 左图中正方形左图中正方形、对在一起中间构成了对在一起中间构成了一个什么图形？一个什么图形？三角形ABC是什么三角形？是什么三角形？ABC是等腰直角三角形（小方格的面积为（小方格的面积为1个单位面积）个单位面积）S的面积是多少？的面积是多少？S=AB =12S.S的面积呢？的面积呢？S=BC =12S=AC =22三个正方形的面积有什么数量关系？三个正方形的面积有什么数量关系？S+ S =S那构成的等腰直角三角形的三边有什么关系？那构成的等腰直角三角形的三边有什么关系？AB +BC =AC 222（图中（图中每个小方格代表一个单位面积）每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（1）观察图）观察图1-1 正方形正方形中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。99918（2）在）在图图1-2中，正方形中，正方形，中各含有多少个小方格？它们中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？的面积各是多少？（3）你）你能能发现图发现图1-1中三个正方形中三个正方形 ， ， 的面积之间有什的面积之间有什么关系吗？么关系吗？图图1-2中呢？中呢？ABCABC图图1-3图图1-4（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）（1）观察图）观察图1-3 正方形正方形中含有中含有 个个小方格，即小方格，即的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。（2）在图）在图1-4中，正方形中，正方形 ， ， 中各中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现图）你能发现图1-3中三个正方形中三个正方形 ， ， 的面积之间的面积之间有什么关系吗？图有什么关系吗？图1-4中呢？中呢？1616925ABCABC（1）你能发现直角三角形三边长度）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。交流。（2）分别以）分别以3厘米、厘米、4厘米为直角边厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（的长度。（1）中的规律对这个三角）中的规律对这个三角形仍然成立吗？形仍然成立吗？ABCS SA A=a=a2 2S SB B=b=b2 2S SC C=c=c2 2abcc2=a2+b2 SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积.表现在边中就是：表现在边中就是：直角三角形中两直角边的平方的和等于斜直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方。边的平方。我知道了！我知道了！分析猜想：分析猜想：ABCacb对于任意的直角三角形对于任意的直角三角形ABC,ABC,你你发现三边有怎样的数量关系？发现三边有怎样的数量关系？勾股定理勾股定理( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) ) 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方. .a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b勾勾股股弦弦勾股定理揭示勾股定理揭示的可是直角三的可是直角三角形三边关系角形三边关系呀！呀！abcabcabcb2= a2+c2 c2=a2 +b2abc确定斜边确定斜边a2=b2 + c2b2= c2 - a2a2= c2 - b2c2= a2+b2灵活运灵活运用公式用公式？选一选选一选 已知已知ABC的三边分别是的三边分别是a，b，c，若若B=Rt，则有关系式（则有关系式（ ）A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2BABC86算一算算一算ACAC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2=6=62 2+8+82 2=100=100AC=AC=100 = 10100 = 10ABC求图中直角三角形的未知边的长度。求图中直角三角形的未知边的长度。在在RtABCRtABC中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，1517BCBC2 2= =ACAC2 2-AB-AB2 2=17=172 2-15-152 2=64=64BC=BC=64 = 864 = 8例例1 1、在、在RtABCRtABC中，已知中，已知AB=15AB=15AC=17,AC=17,求求BCBC的长。的长。ABC根据勾股定理得：根据勾股定理得：知识应用知识应用例例2 2：在：在RtABCRtABC中中, a=6,b=8, a=6,b=8,试求试求第三边第三边c c的值的值? ?（注意分类思想的应用（注意分类思想的应用) )C=10或c=28我知道了我知道了 我感受了我感受了 我做了我做了 c2=a2+b2 布置作业：布置作业：1、课本、课本P51练习题练习题1 ， 22、准备、准备4张全等的直角三角形纸片张全等的直角三角形纸片谢谢谢谢光光临临请请您您指指导导！史史 话话 勾勾 股股由于勾股定理简单明白而且重要，因而，由于勾股定理简单明白而且重要，因而，两千多年来引起了中外许多人士的兴趣，两千多年来引起了中外许多人士的兴趣，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明，这个定理堪称世上了一个证明，这个定理堪称世上证法最证法最多的定理之一多的定理之一。据不完全统计，勾股定。据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达理的证明方法已经多达400余种余种了。这了。这些证明方法不仅验证了勾股定理，而且些证明方法不仅验证了勾股定理，而且丰富了研究数学问题的思想，促进了数丰富了研究数学问题的思想，促进了数学的发展学的发展. 在中国古代的数学家中，最早对勾在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家学家赵爽赵爽。赵爽对勾股定理的证明，显。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。简明、直观。以后的数学家大多继承了这以后的数学家大多继承了这一风格，只是具体图形的分一风格，只是具体图形的分合移补略有不同而已。合移补略有不同而已。 例例如稍后一点的如稍后一点的刘徽刘徽在证明勾在证明勾股定理时也是用以形证数的股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了方法，刘徽用了“出入相补出入相补法法”即剪贴证明法，他把勾即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区股为边的正方形上的某些区域剪下来域剪下来( (出出) )，移到以弦为，移到以弦为边的正方形的空白区域内边的正方形的空白区域内( (入入) )，结果刚好填满，完全，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。用图解法就解决了问题。史史 话话 勾勾 股股勾股定理的证明是剪纸勾股定理的证明是剪纸拼图拼图证明几何定证明几何定理的典范。在西方有文字记载的最早的理的典范。在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说，公元证明是毕达哥拉斯给出的。据说，公元前前550年左右，当他证明了勾股定理以年左右，当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为故西方亦称勾股定理为“毕达哥拉斯定毕达哥拉斯定理理”或或“百牛定理百牛定理”。遗憾的是，毕达。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。目前所能见到的最早的知道他的证法。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家一种证法，属于古希腊数学家欧几里得欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著数学巨著几何原本几何原本里。里。 关于勾股定理的关于勾股定理的400多种证明方法多种证明方法中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话在数学史上被传为佳话 史史 话话 勾勾 股股幻灯片 16再见再见